効率生産集合

狭義の効率生産集合

\(N\)種類の商品が存在する経済において生産ベクトルは純産出量の組\begin{equation*}y=\left( y_{1},\cdots ,y_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合を生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として定式化しましたが、生産集合が複数の生産ベクトルを含む場合、生産者はその中から自身にとって最も望ましいものを選択することになります。では、どのような指標をもとに生産ベクトルどうしを比較すればよいでしょうか。最もシンプルな指標は効率性です。つまり、より少ない投入でより多くを生産できるのであればより望ましいという考え方です。効率性の概念を以下で定式化します。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に属する2つの生産ベクトル\(y,y^{\prime }\in Y\)を任意に選んだとき、両者の間に、\begin{equation*}y>y^{\prime }
\end{equation*}が成り立つ場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}\geq
y_{n}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:y_{n}>y_{n}^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(y\)は\(y^{\prime }\)を広義に支配する（weaklydominate）とか支配する（dominate）などと言います。

商品\(n\)が生産物である場合、\(y_{n}\geq y_{n}^{\prime }\)が成り立つことは、\(y\)を実行した場合に得られる商品\(n\)の生産量が、\(y^{\prime }\)を実行した場合に得られる商品\(n\)の生産量以上であることを意味します。一方、商品\(n\)が生産要素である場合、\(y_{n}\geq y_{n}^{\prime }\)が成り立つことは、\(y\)を実行した場合の商品\(n\)の投入量が、\(y^{\prime }\)を実行した場合の商品の投入量以下であることを意味します。したがって条件\(\left( a\right) \)が成り立つことは、生産者が\(y^{\prime }\)から\(y\)へ移行すると、任意の生産物の生産量が減少せず、なおかつ任意の生産要素の投入量が増加しないことを意味します。加えて条件\(\left( b\right) \)が成り立つことは、生産者が\(y^{\prime }\)から\(y\)へ移行すると、何らかの生産物の生産量が増加するか、または何らかの生産要素の投入量が減少することを意味します。つまり、\(y\)が\(y^{\prime }\)を広義支配する場合には、生産者は\(y^{\prime }\)から\(y\)へ移行することにより、任意の生産物の生産量を減らすことなく、なおかつ任意の生産要素の投入量を増やすことなく、何らかの生産物の生産量を増やすことができるか、または何らかの生産要素の投入量を減らすことができることを意味します。したがって\(y\)は\(y^{\prime }\)よりも効率的な生産計画であると言えます。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に属する生産ベクトル\(y\in Y\)に対して、それを広義支配する生産ベクトルが\(Y\)の中に存在しない場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall y^{\prime }\in Y:\lnot (y^{\prime }>y)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(y\)は狭義効率的（strictly efficient）であるとか効率的（efficient）であるなどと言います。

生産ベクトル\(y\in Y\)が狭義効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}\exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}^{\prime }>y_{n}
\end{equation*}を満たす生産ベクトル\(y^{\prime }\in Y\)を任意に選びます。つまり、\(y\)を基準に、何らかの生産物の生産量を増やすか、もしくは何らかの生産要素の投入量を減らすことで得られる生産ベクトルが\(y^{\prime }\)です。ただ、\(y\)は狭義効率的であるため、\(y^{\prime }\)は\(y\)を広義支配しません。したがって、\begin{equation*}\forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}^{\prime }\geq y_{n}
\end{equation*}は成り立たず、その否定に相当する、\begin{equation*}
\exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}>y_{n}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(y\)から\(y^{\prime }\)へ移行すると、何らかの生産物の生産量が減少するか、もしくは何らかの生産要素の投入量が増加してしまいます。つまり、ある生産ベクトルが狭義効率的であることとは、そこを出発点に何らかの生産物の生産量を増やしたり、何らかの生産要素の投入量を減らそうとすると、必ず何らかの生産物の生産量が減少するか、もしくは何らかの生産要素の投入量が増加してしまうことを意味します。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に属する生産ベクトルの中でも狭義効率的なものだけをすべて集めてできる集合を狭義効率生産集合（strictly efficient production set）や効率生産集合（efficientproduction set）などと呼び、これを、\begin{equation*}
Y^{\ast }
\end{equation*}で表記します。明らかに\(Y^{\ast }\subset Y\)という関係が成り立ちます。

例（狭義効率生産集合）

2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

狭義効率生産集合は、\begin{equation*}
Y^{\ast }=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}=-y_{1}\right\}
\end{equation*}です（演習問題）。

例（狭義効率生産集合）

2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

狭義効率生産集合は、\begin{equation*}
Y^{\ast }=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}=-y_{1}\right\}
\end{equation*}です（演習問題）。

例（狭義効率生産集合）

2財モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

狭義効率生産集合は、\begin{equation*}
Y^{\ast }=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}=\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}です（演習問題）。

広義の効率生産集合

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に属する2つの生産ベクトル\(y,y^{\prime }\in Y\)を任意に選んだとき、両者の間に、\begin{equation*}y\gg y^{\prime }
\end{equation*}が成り立つ場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}>y_{n}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(y\)は\(y^{\prime }\)を狭義に支配する（weakly dominate）と言います。

商品\(n\)が生産物である場合、\(y_{n}>y_{n}^{\prime }\)が成り立つことは、\(y\)を実行した場合に得られる商品\(n\)の生産量が、\(y^{\prime }\)を実行した場合に得られる商品\(n\)の生産量よりも多いことを意味します。一方、商品\(n\)が生産要素である場合、\(y_{n}>y_{n}^{\prime }\)が成り立つことは、\(y\)を実行した場合の商品\(n\)の投入量が、\(y^{\prime }\)を実行した場合の商品の投入量よりも少ないことを意味します。したがって\(y\)が\(y^{\prime }\)を狭義に支配することとは、生産者が\(y^{\prime }\)から\(y\)へ移行すると、任意の生産物の生産量が増加し、なおかつ任意の生産要素の投入量が減少することを意味します。したがって\(y\)は\(y^{\prime }\)よりも効率的な生産計画であると言えます。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に属する生産ベクトル\(y\in Y\)に対して、それを狭義支配する生産ベクトルが\(Y\)の中に存在しない場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall y^{\prime }\in Y:\lnot (y^{\prime }\gg y)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(y\)は広義効率的（weakly efficient）であると言います。

生産ベクトル\(y\in Y\)が広義効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{i}^{\prime }>y_{i}
\end{equation*}を満たす生産ベクトル\(y^{\prime }\in Y\)を任意に選びます。つまり、\(y\)を基準に、何らかの生産物の生産量を増やすか、もしくは何らかの生産要素の投入量を減らすことで得られる生産ベクトルが\(y^{\prime }\)です。ただ、\(y\)は広義効率的であるため、\(y^{\prime }\)は\(y\)を狭義支配しません。したがって、\begin{equation*}\forall j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{j}^{\prime }>y_{j}
\end{equation*}は成り立たず、その否定に相当する、\begin{equation*}
\exists j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{j}\geq y_{j}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、ある生産ベクトルが広義効率的であることとは、そこを出発点に何らかの生産物の生産量を増やしたり、何らかの生産要素の投入量を減らそうとすると、必ず何らかの生産物の生産量は増加しないか（減少することもある）、もしくは何らかの生産要素の投入量は減少しません（増加することもある）。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に属する生産ベクトルの中でも広義効率的なものだけをすべて集めてできる集合を広義効率生産集合（weakly efficient production set）と呼び、これを、\begin{equation*}Y^{\ast \ast }
\end{equation*}で表記します。明らかに\(Y^{\ast \ast }\subset Y\)という関係が成り立ちます。

例（広義効率生産集合）

2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

広義効率生産集合は、\begin{equation*}
Y^{\ast \ast }=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}=-y_{1}\right\}
\end{equation*}です（演習問題）。

例（広義効率生産集合）

2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

広義効率生産集合は、\begin{equation*}
Y^{\ast \ast }=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}=-y_{1}\right\} \cup \left\{ \left( 0,y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq 0\right\}
\end{equation*}です（演習問題）。

例（広義効率生産集合）

2財モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

広義効率生産集合は、\begin{equation*}
Y^{\ast \ast }=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}=\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\} \cup \left\{ \left( 0,y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq 0\right\}
\end{equation*}です（演習問題）。

狭義効率性と広義効率性の関係

狭義効率的な生産ベクトルは広義効率的でもあるため以下を得ます。

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、広義効率的な生産ベクトルは狭義効率的であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例（狭義効率性と広義効率性の関係）

2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

生産ベクトル\begin{equation*}
y=\left( y_{1},y_{2}\right) =\left( 0,-1\right) \in Y
\end{equation*}を狭義支配する生産ベクトルは\(Y\)の中に存在しない一方で、\(y\)は以下の生産ベクトル\begin{equation*}y^{\prime }=\left( y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime }\right) =\left( 0,0\right)
\in Y
\end{equation*}によって広義支配されます。したがって、\(y\)は広義効率的である一方で狭義効率的ではありません。

効率生産集合と変換フロンティアの関係

生産集合\(Y\)の境界\(Y^{f}\)を変換フロンティアと呼びます。狭義効率生産集合\(Y^{\ast }\)や広義効率生産集合\(Y^{\ast \ast }\)は明らかに生産集合\(Y\)の部分集合ですが、これらは変換フロンティア\(Y^{f}\)の部分集合でもあります。つまり、効率的な生産ベクトルは生産集合の境界点であるということです。

生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N}\)上の閉集合でない場合、\(Y\)の境界点は\(Y\)に含まれるとは限りません。仮に\(Y\)のすべての境界点が\(Y\)の要素でない場合には\(Y\cap Y^{f}=\phi \)となりますが、すると上の命題より、\begin{equation*}Y^{\ast }=Y^{\ast \ast }=\phi
\end{equation*}となり、効率的な生産ベクトルが存在しないことになってしまいます。一方、生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N}\)上の閉集合である場合、これは\(Y^{f}\subset Y\)が成り立つことと必要十分であるため、先の命題より以下を得ます。

効率的な生産ベクトルは生産集合の境界点であることが明らかになりました。では、その逆もまた成立するのでしょうか。まずは、生産集合の境界点がいずれも効率的であるような例を挙げます。

例（効率生産集合と変換フロンティアの関係）

2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれているものとします。\(Y^{f}\)は生産集合の境界、すなわち変換フロンティアです。

変換フロンティア上の生産ベクトル\(y\in Y^{f}\)を上図のように選びます。これと生産ベクトル\(y^{\prime }\in Y\)を比較すると、\(y^{\prime }\)における商品\(2\)の産出量は\(y\)の場合と同様ですが、\(y^{\prime }\)における商品\(1\)の投入量は\(y\)の場合よりも多く、したがって\(y^{\prime }\)は\(y\)に広義支配されています。同様に考えると、\(y\)より左側にある任意の消費ベクトルが\(y\)によって広義支配されることが確認されます。また、\(y\)とベクトル\(y^{\prime \prime }\in Y\)を比較すると、\(y^{\prime \prime }\)における商品\(2\)の投入量は\(y\)の場合と同様ですが、\(y^{\prime \prime }\)における商品\(1\)の産出量は\(y\)の場合よりも少なく、したがって\(y^{\prime \prime }\)は\(y\)に広義支配されています。同様に考えると、\(y\)より下部にある任意の消費ベクトルが\(y\)によって広義支配されることが確認されます。変換フロンティア\(Y^{f}\)上の任意の点において同様の議論が成立します。

一般には、先の命題の逆は成立するとは限りません。生産集合の境界点は効率的であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

例（効率生産集合と変換フロンティアの関係）

2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。境界\(Y^{f}\)が変換フロンティアです。

変換フロンティア上の生産ベクトル\(y,y^{\prime }\in Y^{f}\)を上図のように選びます。\(y\)は\(y^{\prime }\)を広義支配するため、\(y^{\prime }\)は狭義効率的ではないにも関わらず\(Y^{f}\)の点です。

演習問題