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PRODUCER THEORY

効率生産集合

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生産ベクトルの効率性

生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合として生産集合という概念を定義しましたが、生産集合が複数の生産ベクトルを含む場合、生産者はその中から自身にとって最も望ましいものを選択する必要があります。では、どのような指標をもとに生産ベクトルどうしを比較すればよいでしょうか。最もシンプルな指標は効率性です。つまり、より少ない投入でより多くを生産できるのであればより望ましいという考え方です。効率性の概念を以下で定式化します。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に属する2つの生産ベクトル\(y,y^{\prime }\in Y\)を任意に選んだとき、両者の間に、\begin{equation*}y>y^{\prime }
\end{equation*}が成り立つ場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}\geq
y_{n}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:y_{n}>y_{n}^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(y\)は\(y^{\prime }\)に優越する(dominate)とか弱優越する(weakly dominate)などと言います。

商品\(n\)が生産物である場合、\(y_{n}\geq y_{n}^{\prime }\)が成り立つことは、\(y\)を実行した場合に得られる商品\(n\)の生産量が、\(y^{\prime }\)を実行した場合に得られる商品\(n\)の生産量以上であることを意味します。一方、商品\(n\)が生産要素である場合、\(y_{n}\geq y_{n}^{\prime }\)が成り立つことは、\(y\)を実行した場合の商品\(n\)の投入量が、\(y^{\prime }\)を実行した場合の商品の投入量以下であることを意味します。したがって条件\(\left( a\right) \)が成り立つことは、生産者が\(y^{\prime }\)から\(y\)へ移行すると、任意の生産物の生産量が減少せず、なおかつ任意の生産要素の投入量が増加しないことを意味します。加えて条件\(\left( b\right) \)が成り立つことは、生産者が\(y^{\prime }\)から\(y\)へ移行すると、何らかの生産物の生産量が増加するか、または何らかの生産要素の投入量が減少することを意味します。つまり、\(y\)が\(y^{\prime }\)に優越する場合には、生産者は\(y^{\prime }\)から\(y\)へ移行することにより、任意の生産物の生産量を減らすことなく、なおかつ任意の生産要素の投入量を増やすことなく、何らかの生産物の生産量を増やすことができるか、または何らかの生産要素の投入量を減らすことができることを意味します。したがって\(y\)は\(y^{\prime }\)よりも効率的な生産計画であると言えます。

例(生産ベクトルどうしの優越関係)
3財モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{3}\)について、\begin{equation*}y=\left( -2,-3,4\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(2\)単位の商品\(1\)と\(3\)単位の商品\(2\)を投入すれば\(4\)単位の商品\(3\)を生産できるということです。仮に、\(y\)において商品\(2 \)の一部は使われずに余ってしまうため、商品\(2\)の投入量を\(1\)単位減らしてもなお商品\(3\)の生産量を維持できるのであれば、\begin{equation*}y^{\prime }=\left( -2,-2,4\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つことになります。\(y^{\prime }\)は\(y\)に優越しています。別のシナリオとして、仮に、\(y\)において商品\(1,2\)はすべて使われておらず、もし商品\(1,2\)を使い切れば商品\(3\)の生産量を\(1\)単位増やせるのであれば、\begin{equation*}y^{\prime \prime }=\left( -2,-3,5\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つことになります。\(y^{\prime \prime }\)は\(y\)に優越しています。ちなみに、\(y^{\prime }\)と\(y^{\prime \prime }\)の間には優越関係は成立していません。

 

効率生産集合

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に属する生産ベクトル\(y\in Y\)に対して、それに優越する生産ベクトルが\(Y\)の中に存在しない場合、すなわち、\begin{equation*}\forall y^{\prime }\in Y:\lnot (y^{\prime }>y)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(y\)は効率的(efficient)であるとか強効率的(strongly efficient)であるなどと言います。

生産ベクトル\(y\in Y\)が効率的であるものとします。これに対して、\begin{equation*}\exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}^{\prime }>y_{n}
\end{equation*}を満たす生産ベクトル\(y^{\prime }\in Y\)を任意に選びます。つまり、\(y\)を基準に、何らかの生産物の生産量を増やすか、もしくは何らかの生産要素の投入量を減らすことで得られる消費ベクトルが\(y^{\prime }\)です。ただ、\(y\)は効率的であるため、\(y^{\prime }\)は\(y\)を支配しません。したがって、\begin{equation*}\forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}^{\prime }\geq y_{n}
\end{equation*}は成り立たず、その否定に相当する、\begin{equation*}
\exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}>y_{n}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(y\)から\(y^{\prime }\)へ移行すると、何らかの生産物の生産量が減少するか、もしくは何らかの生産要素の投入量が増加してしまいます。つまり、ある生産ベクトルが効率的であることとは、そこを出発点に何らかの生産物の生産量を増やしたり、何らかの生産要素の投入量を減らそうとすると、必ず何らかの生産物の生産量が減少するか、もしくは何らかの生産要素の投入量が増加してしまうことを意味します。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に属する生産ベクトルの中でも効率的なものだけをすべて集めてできる集合を効率生産集合(efficientproduction set)や強効率生産集合(strongly efficient production set)などと呼び、これを\(Y^{\ast }\)で表記します。明らかに\(Y^{\ast }\subset Y\)という関係が成り立ちます。

例(効率生産集合)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。境界\(Y^{f}\)が変換フロンティアです。

図:効率生産集合
図:効率生産集合

変換フロンティア上の生産ベクトル\(y\in Y^{f}\)を上図のように選びます。これと生産ベクトル\(y^{\prime }\in Y\)を比較すると、\(y^{\prime }\)における商品\(2\)の産出量は\(y\)の場合と同様ですが、\(y^{\prime }\)における商品\(1\)の投入量は\(y\)の場合よりも多く、したがって\(y^{\prime }\)は\(y\)に優越されています。同様に考えると、\(y\)より左側にある任意の消費ベクトルが\(y\)によって優越されることが確認されます。また、\(y\)とベクトル\(y^{\prime \prime }\in Y\)を比較すると、\(y^{\prime \prime }\)における商品\(2\)の投入量は\(y\)の場合と同様ですが、\(y^{\prime \prime }\)における商品\(1\)の産出量は\(y\)の場合よりも少なく、したがって\(y^{\prime \prime }\)は\(y\)に支配されています。同様に考えると、\(y\)より下部にある任意の消費ベクトルが\(y\)によって優越されることが確認されます。変換フロンティア\(Y^{f}\)上の任意の点において同様の議論が成立します。

 

利潤を最大化する生産ベクトルは効率的

生産ベクトル\(y\in Y\)と価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)が与えられたとき、その第\(n\)成分どうしの積\(p_{n}y_{n}\in \mathbb{R} \)に注目すると、\(y_{n}<0\)の場合にはこれは生産要素である商品\(n\)を市場で調達するに必要な費用を表し、\(y_{n}>0\)の場合にはこれは生産物である商品\(n\)を市場で販売したときの収入を表します。利潤(profit)は収入から費用を差し引いたものであるため、価格ベクトル\(p\)が与えられたときに生産ベクトル\(y\)を選択することで生産者が得る利潤は、\begin{equation*}p\cdot y=\sum_{n=1}^{N}p_{n}y_{n}
\end{equation*}となります。

例(利潤)
3種類の商品が存在する状況において、\(3\)単位の商品\(1\)と\(4\)単位の商品\(2\)を原材料として使えば\(6\)単位の商品\(3\)を生産できるのであれば、このような生産ベクトルは、\begin{equation*}y=\left( -3,-4,6\right)
\end{equation*}と表現されます。これらの商品の価格が、\begin{equation*}
p=\left( 2,3,4\right)
\end{equation*}であるならば、生産者が\(y\)を実行することにより得られる利潤は、\begin{eqnarray*}p\cdot y &=&\left( 2,3,4\right) \cdot \left( -3,-4,6\right) \\
&=&-6-12+24 \\
&=&6
\end{eqnarray*}となります。

価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)が与えられたとき、生産者が得られる利潤は生産ベクトル\(y\in Y\)のもとで最大化されるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall y^{\prime }\in Y:p\cdot y\geq p\cdot y^{\prime }
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\(y\)は効率的であること、すなわち\(y\in Y^{\ast }\)が成り立つことが保証されます。

命題(利潤を最大化する生産ベクトルは効率的)
価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)が与えられたとき、生産ベクトル\(y\in Y\)のもとで利潤が最大化されるならば、\(y\)は効率的である。すなわち、\begin{equation*}\left( \forall y^{\prime }\in Y:p\cdot y\geq p\cdot y^{\prime }\right)
\Rightarrow y\in Y^{\ast }
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の命題より、与えられた価格ベクトル\(p\)のもとで利潤を最大化する生産ベクトルを探す場合には、効率的な生産ベクトルだけを候補とすればよいことが明らかになりました。ただ、以下で解説するように、そもそも効率的な生産ベクトルが存在しないような状況が起こり得るため注意が必要です。

 

効率的な生産ベクトルは生産集合の境界点

生産集合\(Y\)の境界\(Y^{f}\)を変換フロンティアと呼びます。効率生産集合\(Y^{\ast }\)は明らかに生産集合\(Y\)の部分集合ですが、変換フロンティア\(Y^{f}\)の部分集合でもあります。つまり、効率的な生産ベクトルは生産集合の境界点であるということです。

命題(効率的な生産ベクトルは生産集合の境界点)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)について、\begin{equation*}Y^{\ast }\subset Y\cap Y^{f}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N}\)上の閉集合でない場合、\(Y\)の境界点は\(Y\)に含まれるとは限りません。仮に\(Y\)のすべての境界点が\(Y\)の要素でない場合には\(Y\cap Y^{f}=\phi \)となりますが、すると上の命題より\(Y^{\ast }=\phi \)となり、効率的な生産ベクトルが存在しないことになってしまいます。一方、生産集合\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N}\)上の閉集合である場合、これは\(Y^{f}\subset Y\)が成り立つことと必要十分であるため、先の命題より以下を得ます。

命題(効率生産集合と変換フロンティアの関係)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が閉集合であるならば、\begin{equation*}Y^{\ast }\subset Y^{f}\subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ。

効率的な生産ベクトルは生産集合の境界点であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(効率的ではない変換フロンティア上の点)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。境界\(Y^{f}\)が変換フロンティアです。

図:効率生産集合
図:効率生産集合

変換フロンティア上の生産ベクトル\(y,y^{\prime }\in Y^{f}\)を上図のように選びます。\(y\)は\(y^{\prime }\)に優越するため、\(y^{\prime }\)は効率的ではないにも関わらず\(Y^{f}\)の点です。

 

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける効率生産集合

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)として表現されます。2つの生産ベクトル\(\left( x,y\right) ,\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、\(\left( x,y\right) \)が\(\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \)に優越することとは、生産者が\(\left( x^{\prime },y^{\prime}\right) \)から\(\left( x,y\right) \)へ移行することにより、生産物の産出量を減らすことなく(\(y\geq y^{\prime }\))、なおかつ任意の生産要素の投入量を増やすことなく(\(x_{n}^{\prime }\geq x_{n}\))、なおかつ生産物の生産量を増やすことができるか(\(y>y^{\prime}\))、または何らかの生産要素の投入量を減らすことができる(\(x_{n}^{\prime }>x_{n}\))ことを意味します。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ y\geq y^{\prime }\wedge \forall n\in \left\{ 1,\cdots
,M\right\} :x_{n}^{\prime }\geq x_{n} \\
&&\left( b\right) \ y>y^{\prime }\vee \exists n\in \left\{ 1,\cdots
,M\right\} :x_{n}^{\prime }>x_{n}
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)に属する生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in Y\)が効率的であることとは、\(\left(x,y\right) \)に優越する生産ベクトルが\(Y\)の中に存在しないことを意味します。また、効率的な生産ベクトルからなる集合が効率ベクトル集合\(Y^{\ast }\)です。\(Y^{\ast}\subset Y\)が成り立ちます。

 

演習問題

問題(効率生産ベクトル)
生産ベクトル\(y\in Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{equation*}\left( Y-\left\{ y\right\} \right) \cap \left( \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \left\{ 0\right\} \right) =\phi
\end{equation*}が成り立つことは、\(y\)が効率的な生産ベクトルであるための必要十分条件であることを証明してください。ただし、\(-\)はミンコフスキー差を表す記号です。
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次回は変換関数(生産関数)について解説します。

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