コブ・ダグラス型生産関数のもとでの費用最小化問題
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産者の技術がコブ・ダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの投入ベクトル\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、\begin{equation*}f\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}です。ただし、\(k,\alpha_{1},\cdots ,\alpha _{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ k>0 \\
&&\left( b\right) \ \alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{eqnarray*}を満たします。
コブ・ダグラス型生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加な連続関数であるとともに、\begin{equation*}f\left( 0\right) =k0^{\alpha _{1}}\cdots 0^{\alpha _{N}}=0
\end{equation*}であることを踏まえると、\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\mathbb{R} _{+}
\end{equation*}となります。要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) =\left( w_{1},\cdots ,w_{N},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{+}\)のもとでの費用最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & w\cdot x \\
s.t. & kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}\geq q \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
となります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)です。生産要素価格と目標産出量\(\left( w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{+}\)のもとでの費用最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( K,L\right) } & w_{1}K+w_{2}L \\
s.t. & AK^{\alpha }L^{\beta }\geq q \\
& K\geq 0 \\
& L\geq 0
\end{array}$$
となります。
コブ・ダグラス型生産関数のもとでの制約付き要素需要関数
コブ・ダグラス型生産関数\(f\)のもとでの費用最小化問題において、目標産出量が\(q=0\)である場合、要素価格ベクトル\(w\)がいかなるものであっても、ゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が明らかに\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題の解です。そこで以降では\(q>0\)の場合について考えます。ただし、少なくとも1つの生産要素の投入量がゼロである場合、すなわち\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)である場合には\(f\left(x\right) =0\)です。一方、すべての生産要素の投入量が正である場合、すなわち\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)である場合には\(f\left(x\right) >0\)であるため、\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に属する投入ベクトルだけが比較対象になります。この場合、任意の商品\(n\)について、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}=\frac{\alpha _{n}}{x_{n}}kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}\not=0
\end{equation*}が成り立つため、クーン・タッカーの条件を満たす投入ベクトルが費用最小化問題の候補になります。
以上の方針のもとで問題を解くと以下を得ます。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。この場合、制約付き要素需要関数\(z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在して、それぞれの\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}z_{n}^{\ast }\left( w,q\right) =\left( \frac{q}{k}\right) ^{\left( \alpha
_{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) ^{-1}}\left( \frac{\alpha _{n}}{w_{n}}\right) \left( \frac{\alpha _{1}}{w_{1}}\right) ^{-\alpha _{1}\left( \alpha
_{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) ^{-1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{w_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) ^{-1}}
\end{equation*}を定める。特に、\begin{equation*}
\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
z_{n}^{\ast }\left( w,q\right) =\left( \frac{q}{k}\right) \left( \frac{\alpha _{n}}{w_{n}}\right) \left( \frac{\alpha _{1}}{w_{1}}\right) ^{-\alpha
_{1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{w_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)です。先の命題より、制約付き要素需要関数\(z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、それぞれの\(\left( w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}z^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
z_{1}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right) \\
z_{2}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( \dfrac{q}{A}\right) ^{\left( \alpha +\beta \right) ^{-1}}\left(
\dfrac{\alpha }{w_{1}}\right) ^{1-\alpha \left( \alpha +\beta \right)
^{-1}}\left( \dfrac{\beta }{w_{2}}\right) ^{-\beta \left( \alpha +\beta
\right) ^{-1}} \\
\left( \dfrac{q}{A}\right) ^{\left( \alpha +\beta \right) ^{-1}}\left(
\dfrac{\alpha }{w_{1}}\right) ^{-\alpha \left( \alpha +\beta \right)
^{-1}}\left( \dfrac{\beta }{w_{2}}\right) ^{1-\beta \left( \alpha +\beta
\right) ^{-1}}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。特に、\begin{equation*}
\alpha +\beta =1
\end{equation*}の場合には、\begin{eqnarray*}
z^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
z_{1}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right) \\
z_{2}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( \dfrac{q}{A}\right) \left( \dfrac{\alpha }{w_{1}}\right) ^{1-\alpha
}\left( \dfrac{\beta }{w_{2}}\right) ^{-\beta } \\
\left( \dfrac{q}{A}\right) \left( \dfrac{\alpha }{w_{1}}\right) ^{-\alpha
}\left( \dfrac{\beta }{w_{2}}\right) ^{1-\beta }\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
コブ・ダグラス型生産関数のもとでの費用関数
生産者の技術がコブ・ダグラス型生産関数として表される場合には制約付き要素需要関数が存在することが明らかになりました。したがって、制約付き要素需要関数を費用を表す式に代入することにより費用関数が以下のように特定されます。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。この場合、費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}c\left( w,q\right) =\left( \frac{q}{k}\right) ^{\left( \alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}\right) ^{-1}}\left( \frac{\alpha _{1}}{w_{1}}\right) ^{-\alpha
_{1}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right) ^{-1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{w_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha
_{N}\right) ^{-1}}\left( \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\right)
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)です。先の命題より、費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)に対して、\begin{equation*}c\left( w_{1},w_{2},q\right) =\left( \frac{q}{A}\right) ^{\left( \alpha
+\beta \right) ^{-1}}\left( \frac{\alpha }{w_{1}}\right) ^{-\alpha \left(
\alpha +\beta \right) ^{-1}}\left( \frac{\beta }{w_{2}}\right) ^{-\beta
\left( \alpha +\beta \right) ^{-1}}\left( \alpha +\beta \right)
\end{equation*}を定めます。特に、\begin{equation*}
\alpha +\beta =1
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
c\left( w_{1},w_{2},q\right) =\left( \frac{q}{A}\right) \left( \frac{\alpha
}{w_{1}}\right) ^{-\alpha }\left( \frac{\beta }{w_{2}}\right) ^{-\beta }
\end{equation*}となります。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A>0\)かつ\(\alpha>0\)かつ\(\beta >0\)かつ\(\gamma >0\)です。
- 費用最小化問題を定式化してください。
- 制約付き要素需要関数を求めてください。
- 費用関数を求めてください。
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