1生産物モデルにおける制約付き要素需要関数

制約付き要素需要対応

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)ないし生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)に直面した生産者が解くべき費用最小化問題は、以下のような制約付き最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq q
\end{equation*}として定式化されます。ただし、\(P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)は目標産出量がとり得る値からなる集合であり、\begin{equation*}P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists x\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義されます。一般に、\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題には解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そのような事情を踏まえた上で、\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題の解であるような投入ベクトルからなる集合を\(Z^{\ast }\left( w,q\right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}Z^{\ast }\left( w,q\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ f\left( x\right) \geq q\wedge \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ f\left( x^{\prime }\right) \geq q\Rightarrow w\cdot
x^{\prime }\geq w\cdot x\right] \right\}
\end{equation*}です。さらに、それぞれの\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)に対して\(Z^{\ast }\left( w,q\right)\subset \mathbb{R} _{+}^{N}\)を像として定める対応\begin{equation*}Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}を定義し、これを制約付き要素需要対応（conditional factor demand correspondence）と呼びます。

例（制約付き要素需要対応）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めます。目標産出量がとり得る値からなる集合は、\begin{eqnarray*}
P\left( \mathbb{R} _{+}\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists x\in \mathbb{R} _{+}:y\leq x\right\} \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}です。要素価格と目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)のもとでの費用最小化問題は、\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}}wx\quad \text{s.t.}\quad q\leq x
\end{equation*}となります。これを解くと、\begin{equation*}
x=q
\end{equation*}という1つの解が得られるため、制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)がそれぞれの\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{+}\)に対して定める像は、\begin{equation*}Z^{\ast }\left( w,q\right) =\left\{ q\right\}
\end{equation*}となります。

制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が与えられたとき、要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)に対して、\begin{equation*}Z^{\ast }\left( w,q\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(Z^{\ast }\)が\(\left( w,q\right) \)において非空値をとることは、\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題に解が存在することを意味します。さらに、\begin{equation*}\forall \left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) :Z^{\ast }\left( w,q\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(Z^{\ast }\)が非空値をとることは、要素価格ベクトルと目標産出量の水準に関わらず、費用最小化問題には必ず解が存在することを意味します。では、どのような条件のもとで\(Z^{\ast }\)は非空値をとるのでしょうか。ベルジュの最大値定理を用いることにより以下の命題が導かれます。

生産関数\(f\)が連続である場合には生産集合\(Y\)は連続性を満たし、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は操業停止可能性を満たし、\(f\)が単調増加（単調非減少）であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N+1},\ \forall y\in \left[ 0,f\left( x\right) \right] :\left(
x,y\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は無償廃棄可能性を満たし、\(f\)が凹関数である場合に\(Y\)は凸性を満たし、\begin{equation*}\forall \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:f\left( x\right) \geq y\wedge f\left( x+x^{\prime }\right)
<y+y^{\prime }\right] \end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は中立性を満たします。\(f\)が以上の条件を満たす場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になることが保証されます。

例（制約付き要素需要対応）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めます。この生産集合\(Y\)は連続性、操業停止可能性、凸性、中立性を満たすため、上の命題より、制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になります。要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)のもとでの費用最小化問題は、\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}}wx\quad \text{s.t.}\quad q\leq x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}となりますが、\(\left( w,q\right) \)の水準によらずこの問題には常に解が存在するということです。実際、制約条件は、\begin{equation*}q^{2}\leq x
\end{equation*}と必要十分であるとともに目的関数\(wx\)は狭義単調増加であるため、\begin{equation*}x=q^{2}
\end{equation*}が解になります。つまり、制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)に対して、\begin{equation*}Z^{\ast }\left( w,q\right) =\left\{ q^{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。

要素需要関数

制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が非空値をとるとともに、\begin{equation*}\forall \left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) :\left\vert Z^{\ast }\left( w,q\right) \right\vert =1
\end{equation*}を満たす場合には、要素価格ベクトルと目標産出量の水準に関わらず、費用最小化問題には必ず解が1つずつ存在することを意味します。この場合、集合\(Z^{\ast }\left( w,q\right) \)とその唯一の要素を同一視することにより、制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }\)を\(\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)から\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)への写像とみなすことができます。そこで、改めてそのような写像を、\begin{equation*}z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}で表記し、これを制約付き要素需要関数（conditional factor demand function）と呼びます。定義より、制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }\)と制約付き要素需要関数\(z^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) :Z^{\ast }\left( w,q\right) =\left\{ z^{\ast }\left(
w,q\right) \right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

制約付き要素需要関数\(z^{\ast }\)がそれぞれの\(\left(w,q\right) \)に対して定める像\(z^{\ast }\left( w,q\right) \)は投入ベクトルであるため、その成分を明示的に表現する場合には、\begin{equation*}q^{\ast }\left( w,q\right) =\left(
\begin{array}{c}
z_{1}^{\ast }\left( w,q\right) \\
\vdots \\
z_{N}^{\ast }\left( w,q\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}と表記します。ただ、多くの場合、スペースの制約を考慮した上で、これを行ベクトル\begin{equation*}
q^{\ast }\left( w,q\right) =\left( z_{1}^{\ast }\left( w,q\right) ,\cdots
,z_{N}^{\ast }\left( w,q\right) \right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}として表記することもできるものとします。本来、列ベクトルと行ベクトルは数学的には互いに区別されるべき概念ですが、ここでは特に断りのない限り両者を同一視し、両者は交換可能であるものとします。

例（制約付き要素需要関数）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めます。先に示したように、制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)に対して、\begin{equation*}Z^{\ast }\left( w,q\right) =\left\{ q^{2}\right\}
\end{equation*}を定めます。これは1点集合であるため、制約付き要素需要関数\(z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、それぞれの\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \)に対して、\begin{equation*}z^{\ast }\left( w,q\right) =q^{2}
\end{equation*}を定めます。