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PRODUCER THEORY

生産集合

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商品集合

市場経済において売買される\(N\)種類の商品の数量の組み合わせを表すベクトルを、\begin{equation*}y=\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{N}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}で表記し、これを商品ベクトル(commodity vector)と呼びます。商品ベクトル\(y\)は\(N\)次元ベクトルであり、その第\(n\)成分である\(y_{n}\)は\(n\)番目の商品の数量を表す実数です。\(n\)番目の商品を商品\(n\)(commodity \(n\))や\(n\)(good \(n\))などと呼びます。

商品ベクトルを列ベクトルとして定義しましたが、多くの場合、スペースの制約を考慮した上で、これを行ベクトル\begin{equation*}
y=\left( y_{1},\cdots ,y_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表記することもあります。本来、列ベクトルと行ベクトルは数学的には互いに区別されるべき概念ですが、ここでは特に断りのない限り両者を同一視し、両者は交換可能であるものとします。

\(N\)種類の商品の数量の組み合わせは無数に存在するため、商品ベクトルは無数に存在します。すべての商品ベクトルからなる集合をユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N}\)とみなし、これを商品集合(commodity set)や商品空間(commodity space)などと呼びます。

例(商品集合)
2種類の商品が存在する経済における商品集合は\(\mathbb{R} ^{2}\)であり、これは下図のグレーの領域に相当します。
図:商品集合
図:商品集合

 

生産計画

生産者は原料や材料などの生産要素(input)を市場で購入し、それらを利用して新たな生産物(output)を作り出し、市場で販売します。つまり、生産要素や生産物はいずれも市場において売買される商品であるため、生産活動とは商品から商品を作り出す活動、もしくは商品を別の商品へ変換する活動であると言えます。したがって、生産者にとっての選択肢は、どの商品をどれだけ投入し、どの商品をどれだけ生産するか、その組み合わせに相当する生産計画(production plan)として表現可能です。具体的には、個々の生産計画は商品ベクトル\begin{equation*}
y=\left( y_{1},\cdots ,y_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として定式化されます。\(y\)のそれぞれの成分\(y_{n}\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)は任意の実数を値としてとりますが、これは生産計画\(y\)を実行した場合の商品\(n\)の純産出量(netput)に相当します。つまり、\(y_{n}>0\)であることは生産計画\(y\)を実行することにより商品\(n\)が\(y_{n}\)だけ増加することを意味し、\(y_{n}<0\)であることは生産計画\(y\)を実行することにより商品\(n\)が\(y_{n}\)だけ減少することを意味し、\(y_{n}=0\)であることは生産計画\(y\)を実行しても商品\(n\)は増減しないことを意味します。

例(生産計画)
3種類の商品が存在する状況において、\(3\)単位の商品\(1\)と\(4\)単位の商品\(2\)を原材料として使えば\(6\)単位の商品\(3\)を生産できるのであれば、このような生産計画は、\begin{equation*}y=\left( -3,-4,6\right)
\end{equation*}と表現されます。また、原材料である商品\(1,2\)の投入量を\(2\)倍にすれば商品\(3\)の生産量も\(2\)倍になるのであれば、そのような生産計画は、\begin{equation*}y^{\prime }=\left( -6,-8,12\right)
\end{equation*}と表現されます。

注意しなければならないのは、以下の例が示唆するように、ある生産計画\(y\)を実行する際に、そのプロセスにおいて同一の商品\(n\)が生産要素であるとともに生産物であるような状況が起こり得るということです。そのような場合、生産計画\(y\)を実行した結果として、商品\(n\)の生み出される量が使われる量よりも多ければ\(y_{n}>0\)となり、逆に使われる量のほうが多ければ\(y_{n}<0\)となります。\(y_{n}\)を商品\(n\)の産出量とは呼ばず、あえて「純」産出量と言う理由は以上の通りです。ちなみに、\(y_{n}>0\)の場合には\(y_{n}\)を純生産量(net output)と呼び、\(y_{n}<0\)の場合には\(y_{n}\)を純投入量(net input)と呼ぶこともあります。

例(生産計画)
単純化された例ですが、石油と発電設備を利用して電気を生産する状況を想定します。商品\(1\)が電気、商品\(2\)が石油、商品\(3\)が発電設備です。石油を\(10\)単位、発電設備を\(1\)単位投入すれば、電気を\(100\)単位生産できるものとします。ただ、発電設備などを動かすために電気を\(5\)単位だけ利用する必要があるものとします。つまり、この生産計画\(y\)において電気は生産物であるとともに生産要素でもあります。この生産計画\(y\)は、\begin{equation*}y=\left( -10,-1,100-5\right) =\left( -10,-1,95\right)
\end{equation*}と表現されます。
例(生産計画)
生産を行う過程において、ある商品が生産され、その商品がまた別の商品を生産するための原材料として使われる場合、そのような商品を中間生産物(intermediate product)と呼びます。単純化された例ですが、お店が自家製麺のうどんを提供する状況を想定します。商品\(1\)が小麦、商品\(2\)が麺、商品\(3\)はうどんです。小麦を\(100\)単位投入すれば麺を\(50\)単位生産できるものとします。さらに\(1\)単位の麺から\(1\)単位のうどんを生産できるものとします。生産した麺をすべて店内でうどんとして提供するのであれば、この生産計画\(y\)は、\begin{equation*}y=\left( -100,50-50,50\right) =\left( -100,0,50\right)
\end{equation*}と表現されます。一方、自家生産した麺の半分を通販で売り、残りの半分を店内でうどんとして提供するのであれば、この生産計画\(y^{\prime }\)は、\begin{equation*}y^{\prime }=\left( -100,50-25,25\right) =\left( -100,25,25\right)
\end{equation*}と表現されます。

 

生産集合

後述するように、現実の生産者は様々な制約に直面しているため、商品空間\(\mathbb{R} ^{N}\)に属するすべての商品ベクトル、すなわち生産計画を自由に選択できるわけではありません。このような事情を踏まえた上で、生産者が選択可能な生産計画からなる集合を生産集合(production set)や生産空間(production space)などと呼びます。生産集合を\(Y\)で表記するとき、明らかに、\begin{equation*}Y\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、生産集合は商品集合の部分集合です。生産計画\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)が\(y\in Y\)を満たす場合には\(y\)は実現可能(feasible)であると言います。逆に、\(y\not\in Y\)である場合には\(y\)は実現不可能(unfeasible)であると言います。以降において生産計画(production plan)や生産ベクトル(production vector)などと言うとき、特に断りのない場合には、それは実現可能な生産計画を指しているものとします。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)の境界を変換フロンティア(transformation frontier)と呼び、これを、\begin{equation*}Y^{f}
\end{equation*}で表記します。変換フロンティアの重要性については後ほど解説します。

例(生産集合)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として、変換フロンティア\(Y^{f}\)がその境界として描かれています。生産者はグレーの領域とその境界上にある生産ベクトルが選択可能であり、それ以外の生産ベクトルは選択可能ではありません。
図:生産集合
図:生産集合

 

生産要素と生産物が区別可能である場合の生産集合

経済に存在する\(N\)種類の商品はいずれも生産要素または生産物になり得ることを踏まえると、生産計画を\(\mathbb{R} ^{N}\)の点として定義することはもっともらしいと言えます。一方、経済に存在する商品の中の特定の商品が生産要素であり、残りの商品が生産物であることを事前に区別できる場合には、生産計画や生産集合を別の形で定式化できます。

分析対象となる生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは別の\(M\)種類の商品が生産物である状況を想定します。生産要素\(i\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の投入量を\(x_{i}\geq 0\)と表記するのであれば、すべての生産要素の投入量の組み合わせを、\begin{equation*}x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}と表現できます。これを投入ベクトル(input vector)と呼びます。一方、生産物\(i\ \left( =1,\cdots,M\right) \)の産出量を\(y_{i}\geq 0\)で表記するのであれば、すべての生産物の産出量の組み合わせを、\begin{equation*}y=\left( y_{1},\cdots ,y_{M}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{M}
\end{equation*}と表現できます。これを産出ベクトル(output vector)と呼びます。この場合、生産ベクトルは投入ベクトルと産出ベクトルの組\begin{equation*}
\left( x,y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y_{1},\cdots ,y_{M}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}
\end{equation*}として表現されます。

生産要素と生産物を事前に区別しない場合、生産ベクトル\(y\)の任意の成分\(y_{n}\)は任意の実数を値としてとる一方で、生産要素と生産物を事前に区別する場合には、生産ベクトル\(\left( x,y\right) \)の任意の成分\(x_{n},y_{m}\)は非負の実数を値としてとることに注意してください。それにあわせて、生産集合\(Y\)は、\begin{equation*}Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}
\end{equation*}を満たす集合として定義されます。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)および産出ベクトル\(y\in \mathbb{R} _{+}^{M}\)が与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}R\left( y\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義される投入ベクトルの集合を\(y\)の必要投入量集合(input requirement set)と呼びます。これは生産ベクトル\(y\)を実現できる投入ベクトルからなる集合です。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)および投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}P\left( x\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}^{M}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義される産出ベクトルの集合を\(x\)の可能産出量集合(productible output set)と呼びます。これは投入ベクトル\(x\)のもとで実現できる生産ベクトルからなる集合です。

例(生産集合)
経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である場合、投入ベクトルは、\begin{equation*}x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}となり、生産物の産出量は、\begin{equation*}
y\in \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}となるため、生産ベクトルは、\begin{equation*}
\left( x,y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}と表現されます。したがって、生産集合\(Y\)は、\begin{equation*}Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}を満たす集合として定義されます。また、産出ベクトル\(y\in \mathbb{R} _{+}\)の必要投入量集合は、\begin{equation*}R\left( y\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}であり、投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)の可能産出量集合は、\begin{equation*}P\left( x\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}となります。例えば、生産要素と生産物が1種類ずつ存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。ただし、\(x\)が生産要素の投入量、\(y\)が生産物の生産量です。境界が変換フロンティア\(Y^{f}\)に相当します。
図:生産集合
図:生産集合

 

生産者に課される物理的な制約

生産者は物理的な制約(physical constraint)に直面します。例えば、生産者が生産要素として利用する労働の投入量を\(x\)で表し、その単位を労働者1人当たりの「時間」とするとき、その投入量には\(0\leq x\leq 24\)という制約が課されます。

生産者がある期間中に生産する「車」の産出量を\(y\)で表し、その単位として「台」を採用するとき、例えば、\(1.5\)台など非整数量の車を生産することは不可能であるため、その産出量には\(y\in \mathbb{Z} _{+}\)という制約が課されます。つまり、\(y\)は非負の整数を値としてとり得ます。この例のように、非負の整数単位でのみ生産ないし消費可能な商品を非分割財(indivisiblecommodity)と呼びます。他方で、任意の実数量で生産ないし消費可能な商品を分割財(divisible commodity)と呼びます。

 

生産者に課される制度的な制約

生産者は制度的な制約(institutional constraint)に直面します。つまり、社会において運用されている制度や法体系が原因で、生産者が選択可能な生産ベクトルが制限されることがあります。

例えば、生産者が生産要素として利用する労働の投入量を\(x\)で表し、その単位を労働者1人当たりの「時間」とするとき、例えば、1日の労働時間は8時間以内でなければならないという法律が存在するならば\(0\leq x\leq 8\)という制約が課されます。

特定の制度の有無が生産行動に与える影響に興味がある場合には、制度的な制約を明示的に考慮した生産集合を利用することで分析目的を達成することができます。ただ、生産者理論の一般的な分析においては、制度的な制約を明示的に考慮した生産集合を利用することは稀です。

 

生産者に課される技術的な制約

生産者がある時点において保有している、生産要素の投入量と生産物の産出量の関係についての知識の総体を技術(technology)と呼びます。つまり、技術とは、どの生産要素の投入をどれだけ増加させたときに、どの生産物の産出量がどれだけ変化するかということに関する知識の総体です。

生産者は技術的な制約(technological constraint)に直面します。つまり、生産者がある時点において保有する技術を前提としたとき、その生産者が選択可能な生産ベクトルは限定されます。これまで解説したように生産者は様々な種類の制約に直面していますが、生産者理論ではその中でも技術的な制約を重視します。つまり、技術的な制約を考慮してもなお選択可能な消費ベクトルからなる集合として生産集合を定義するということです。

 

生産者に課される時間的な制約

多くの場合、企業は一定の期間を見据えた上で、その期間内で実現可能な生産ベクトルだけを選択対象とします。したがって、ある生産ベクトルが技術的には選択可能であっても、生産や投資には時間がかかるため、その限られた期間内ではその生産ベクトルが選択可能ではないという事態が起こり得ます。生産者は時間的な制約(time constraint)に直面しているということです。

例えば、工場や機械、熟練労働力などの耐久生産財を生産要素として利用する場合、投入の意思決定を行ってからそれらを生産要素として実際に利用できるようになるまでには長い時間が必要です。耐久生産財を調達するために必要な期間の長さが問題としている生産物の生産期間よりも長い場合には、生産者はその耐久生産財の投入量を増やすことはできず、既存のストックを投入することしかできません。

また、耐久生産財の購入契約は購入時に行われ、廃棄しても支払われた対価を直接取り戻すことはできません。また、多くの場合、耐久生産財の中古市場は存在しないため、不要になった耐久生産財を売却して対価を取り戻すことは困難です。そのような事情もあり、生産者が生産期間の途中で耐久生産財を廃棄もしくは売却することは稀です。したがって、耐久生産財の投入量は短期的には固定されているものと考えられます。

以上の例から明らかであるように、ある生産要素の投入量が可変的であるか、もしくは固定的であるかは生産期間の長さに依存する形で決定されます。そこで、すべての生産要素の投入量を変更できるほど長い計画期間を長期(long-run)と呼び、固定生産要素が少なくとも1種類存在するほど短い計画期間を短期(short-run)と呼びます。生産者理論においては、生産者が直面する時間的な制約を考慮するために、長期と短期のそれぞれの場合について考察を行います。

次回は効率生産集合について解説します。

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DISCUSSION

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