限界生産
前節では、生産集合から生産関数を導き、生産要素の投入量と、その投入量のもとで実現可能な最大産出量との関係を学びました。生産関数を用いれば、投入量が変化したときに最大産出量がどのように変化するかを分析できます。
しかし、生産関数だけを見ても、生産要素を少しだけ増やしたときに、生産量がどれだけ増加するのかは分かりません。例えば、生産要素を10単位から11単位へと1単位だけ増やした場合と、100単位から101単位へと1単位だけ増やした場合とでは、生産量の増加幅は同じとは限りません。
そこで、生産者理論では、生産要素を1単位増加させたときに産出量がどれだけ増加するかを表す限界生産という概念を導入します。限界生産は、生産要素の追加投入が生産にどの程度貢献するかを表す指標であり、生産技術の特徴を分析するうえで重要な役割を果たします。
以下では、まず限界生産の定義を与え、その後、具体例を通じて限界生産の意味や性質について考えていきます。
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。さらに、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)の可能産出量集合は、\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}として定義しましたが、これは\(\boldsymbol{x}\)のもとで実現できるすべての生産量からなる集合です。その上で、それぞれの投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\(\boldsymbol{x}\)のもとで実現可能な産出量の最大値\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\max P\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を特定する関数として生産関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}は定義されます。
投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を任意に選んだ上で、そこを出発点として特定の生産要素\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の投入量\(x_{n}\)だけを\(\Delta x_{n}\)だけ変化させると、それに応じて生産物の最大産出量は\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)から\(f\left(x_{1},\cdots ,x_{n}+\Delta x_{n},\cdots ,x_{N}\right) \)まで変化します。このとき、最大産出量\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の変化量と生産要素\(n\)の投入量\(x_{n}\)の変化量の比\begin{equation*}MP_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}+\Delta
x_{n},\cdots ,x_{N}\right) -f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\Delta x_{n}}
\end{equation*}を\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(n\)の限界生産（marginal product of input \(n\) at \(\boldsymbol{x}\)）と呼びます。これは、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を出発点に生産要素\(n\)の投入量だけを\(1\)単位だけ変化させたときの、投入量1単位当たりの平均的な最大産出量の変化量を表す指標です。「限界」とは「投入量を少しだけ変化させたときの変化」を意味します。
\end{equation*}と定義されます。
\end{equation*}を定めるものとします。投入量\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\(x\)における生産要素の限界生産は、\begin{eqnarray*}MP_{n}\left( x\right) &=&\frac{f\left( x+\Delta x\right) -f\left( x\right)
}{\Delta x} \\
&=&\frac{\left( x+\Delta x\right) ^{2}-x^{2}}{\Delta x} \\
&=&\frac{x^{2}+2x\Delta x+\left( \Delta x\right) ^{2}-x^{2}}{\Delta x} \\
&=&2x+\Delta x
\end{eqnarray*}です。例えば、\(x=1\)における生産要素の限界生産は、\begin{equation*}MP_{n}\left( 1\right) =2+\Delta x
\end{equation*}であり、\(x=2\)における生産要素の限界生産は、\begin{equation*}MP_{n}\left( 2\right) =4+\Delta x
\end{equation*}です。この例から明らかであるように、通常、限界生産の大きさは基準とする投入量\(x\)と変化量\(\Delta x\)の双方に依存して変化します。つまり、同一の生産関数を扱っていても点\(x\)や変化量\(\Delta x\)が変われば\(x\)における限界生産は変化するということです。
x_{1},x_{2}\right) -f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\Delta x_{1}} \\
MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{f\left( x_{1},x_{2}+\Delta
x_{2}\right) -f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\Delta x_{2}}
\end{eqnarray*}と定義されます。
\end{equation*}を定めるものとします。投入ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における生産要素\(1\)の限界生産は、\begin{eqnarray*}MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{f\left( x_{1}+\Delta
x_{1},x_{2}\right) -f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\Delta x_{1}} \\
&=&\frac{\left( x_{1}+\Delta x_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}-x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}}{\Delta x_{1}}
\end{eqnarray*}であり、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における生産要素\(2\)の限界生産は、\begin{eqnarray*}MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{f\left( x_{1},x_{2}+\Delta
x_{2}\right) -f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\Delta x_{2}} \\
&=&\frac{x_{1}^{\frac{1}{2}}\left( x_{2}+\Delta x_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}-x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}}{\Delta x_{2}}
\end{eqnarray*}です。例えば、\(\left(x_{1},x_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)におけるそれぞれの商品の限界生産は、\begin{eqnarray*}MP_{1}\left( 1,1\right) &=&\frac{\left( 1+\Delta x_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}-1}{\Delta x_{1}} \\
MP_{2}\left( 1,1\right) &=&\frac{\left( 1+\Delta x_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}-1}{\Delta x_{2}}
\end{eqnarray*}です。
偏微分による限界生産の定義
生産者の技術が生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているとき、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)と生産要素\(n\ \left( =1,\cdots,N\right) \)をそれぞれ選ぶと、点\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(n\)の限界生産は、\begin{equation*}MP_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}+\Delta
x_{n},\cdots ,x_{N}\right) -f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\Delta x_{n}}
\end{equation*}と定義されますが、先に例を通じて確認したように、この値は生産要素\(n\)の変化量\(\Delta x_{n}\)に依存するため一意的に定まるとは限りません。このような問題を解決するために偏微分を用いて限界生産を定義します。
生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)において変数\(x_{n}\)に関して偏微分可能である場合には、十分小さい\(\Delta x_{n}\)について、\begin{equation*}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}+\Delta x_{n},\cdots ,x_{N}\right) \approx
f\left( \boldsymbol{x}\right) +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right)
}{\partial x_{n}}\Delta x_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}+\Delta x_{n},\cdots ,x_{N}\right) -f\left(
\boldsymbol{x}\right) }{\Delta x_{n}}=\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}
\end{equation*}という近似関係が成り立ちます。偏微分係数が存在する場合には1つの有限な実数として定まるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では、点\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(n\)の限界生産を、\begin{equation*}MP_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}
\end{equation*}と定義します。つまり、生産関数\(f\)の点\(\boldsymbol{x}\)における変数\(x_{n}\)に関する偏微分係数として\(\boldsymbol{x}\)における生産要素\(n\)の限界生産を定義するということです。なお、点\(\boldsymbol{x}\)において、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}>0
\end{equation*}が成り立つことは、点\(\boldsymbol{x}\)を出発点に生産要素\(n\)の投入量だけが増加すると生産物の最大産出量が増加することを意味し、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}<0
\end{equation*}が成り立つことは、点\(\boldsymbol{x}\)を出発点に生産要素\(n\)の投入量だけが増加すると生産物の最大産出量が減少することを意味します。
生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義域上の任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)において変数\(x_{n}\)に関して偏微分可能である場合には偏導関数\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在するため、この場合、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)において、そこでの生産要素\(n\)の限界生産\begin{equation*}MP_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。
\end{equation*}と定義されます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\(x\)における生産要素の限界生産は、\begin{eqnarray*}MP_{n}\left( x\right) &=&\frac{df\left( x\right) }{dx} \\
&=&\frac{d}{dx}x^{2} \\
&=&2x
\end{eqnarray*}です。例えば、\(x=1\)における生産要素の限界生産は、\begin{equation*}MP_{n}\left( 1\right) =2
\end{equation*}であり、\(x=2\)における生産要素の限界生産は、\begin{equation*}MP_{n}\left( 2\right) =4
\end{equation*}です。
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}} \\
MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial f\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}
\end{eqnarray*}と定義されます。
\end{equation*}を定めるものとします。投入ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における生産要素\(1\)の限界生産は、\begin{eqnarray*}MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial f\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}} \\
&=&\frac{\partial }{\partial x_{1}}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}} \\
&=&\frac{1}{2}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}であり、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における生産要素\(2\)の限界生産は、\begin{eqnarray*}MP_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial f\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}} \\
&=&\frac{\partial }{\partial x_{2}}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}} \\
&=&\frac{1}{2}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}です。
限界生産逓減の法則
生産者の技術が偏微分可能な生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)と生産要素\(n\ \left( =1,\cdots,N\right) \)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}MP_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\geq 0
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、任意の投入ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{n},x_{-n}\right) \)を出発点としたとき、他のすべての生産要素の投入量を\(x_{-n}\)に固定したまま生産要素\(n\)の投入量\(x_{n}\)だけを増やすと生産物の最大産出量が減少しない（増えることもある）ということです。加えて、生産要素\(n\)の限界生産を与える関数\(MP_{n}:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)もまた偏微分可能であるとともに、投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\frac{\partial MP_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}=\frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}^{2}}<0
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、任意の投入ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{n},x_{-n}\right) \)を出発点としたとき、他のすべての生産要素の投入量を\(x_{-n}\)に固定したまま生産要素\(n\)の投入量\(x_{n}\)だけを増やすと生産要素\(n\)の限界生産は減少するということです。以上の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ MP_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial MP_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}<0
\end{eqnarray*}が成立する場合には、生産要素\(n\)について限界生産逓減の法則（law of diminishing marginal productivity）や収穫逓減の法則（law of diminishing returns）が成り立つと言います。これは、他の生産要素の投入量を固定したまま生産要素\(n\)の投入量を増やしていくと、生産物の最大産出量は増えていく（または減らない）ものの（\(MP_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0\)）、最大産出量の増分は減少していく（\(\frac{\partial MP_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}<0\)）ことを意味します。
限界生産逓減の法則もしくは収穫逓減の法則は「特定の」生産要素の投入量だけを変化させた場合の最大産出量の変化に関する指標であることに注意してください。「すべての」生産要素の投入量を同時に変化させた場合の最大産出量の変化を表す指標としては規模に関する収穫逓減（decreasing returns to scale）がありますが、両者を区別する必要があります。規模に関する収穫逓減については場を改めて解説します。
\end{equation*}が成り立ちます。ただ、土地の広さを\(x_{2}\)に固定しているため、労働者の投入量が増えるほど1人の労働者が耕す土地は狭くなっていきます。その結果、混雑効果により、追加的な労働者がもたらす産出量の増分は減少していくことが予想されるのであれば、\begin{equation*}\frac{\partial MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}=\frac{\partial ^{2}f\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial ^{2}x_{1}}<0
\end{equation*}が成り立ちます。では、土地の広さ\(x_{2}\)が十分広い場合にも同様の議論は成立するでしょうか。この場合には混雑効果は問題にならないはずです。また、労働者の質は一様ではなく、農場で働くのに適した人材から順番に雇われていくものと仮定するのであれば、先と同様の結論になります。つまり、労働者を増やすほど穀物の最大産出量は増加していきますが、追加的に雇われる労働者は既存の労働者よりも農業に適していないため、労働者が増えるほど産出物の増分は減少していくことが予想されます。ちなみに、農場で働く人は常に1人であり、労働の投入量をその人の労働時間と解釈した場合にも同様の議論が成立します。つまり、労働時間を増やすほど生産量は増えますが、労働時間が増えるにつれて労働者の疲労が蓄積し産出量の増分が減少していきます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}MP_{n}\left( x\right) &=&\frac{df\left( x\right) }{dx} \\
&=&\frac{d}{dx}x^{2} \\
&=&2x \\
&\geq &0
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、\begin{eqnarray*}
\frac{dMP_{n}\left( x\right) }{dx} &=&\frac{d}{dx}2x \\
&=&2 \\
&>&0
\end{eqnarray*}であるため、限界生産逓減の法則は成り立ちません。
\end{equation*}を定めるものとします。投入ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial f\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}} \\
&=&\frac{1}{2}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}} \\
&>&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、さらに、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial MP_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}} &=&\frac{\partial }{\partial x_{1}}\frac{1}{2}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\\
&=&-\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}} \\
&<&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上において生産要素\(1\)に関して限界生産逓減の法則が成立しています。生産要素\(2\)についても同様です（演習問題）。
限界生産が負であるとは、生産要素を追加投入した結果、かえって生産量が減少することを意味します。例えば、狭い作業場に過剰な人数の労働者を配置すると、互いに作業の妨げとなり、生産量が減少することがあります。このように、負の限界生産は現実には起こり得ます。しかし、通常の生産者理論では、生産者は合理的に行動し、そのような非効率な投入量を選択しないと考えるため、限界生産は非負であると仮定することが一般的です。
限界生産逓減の法則は、すべての生産活動で必ず成立する法則ではありません。技術革新や学習効果、分業の進展などにより、追加的な生産要素が以前より大きな生産増加をもたらすこともあります。しかし、他の生産要素を固定した短期の生産活動では、作業場所や設備の制約、混雑効果などにより、追加投入の効果が徐々に小さくなることが多く観察されます。そのため、ミクロ経済学では限界生産逓減の法則を、生産者の行動を分析するための有用な仮定として採用しています。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- 偏微分を用いない形で限界生産を求めてください。
- 偏微分を用いる形で限界生産を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上において生産要素\(2\)に関して限界生産逓減の法則が成立していることを確認してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(A,\alpha \in \mathbb{R} \)は定数であるとともに、\begin{eqnarray*}A &>&0 \\
0 &<&\alpha <1
\end{eqnarray*}がともに成り立つものとします。このような生産関数をコブ・ダグラス型生産関数（Cobb-Douglas production function）と呼びます。以上の\(f\)のもとでは、\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上において資本\(K\)と労働\(L\)の双方に関して限界生産逓減の法則が成り立つことを示してください。
