利潤関数

利潤関数

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)ないし変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとします。価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に直面した生産者が解くべき利潤最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad y\in Y
\end{equation*}または\begin{equation*}
\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad F\left( y\right) \leq 0
\end{equation*}と表現されますが、\(p\)が変化すれば利潤最大化問題の目的関数\(p\cdot y\)が変化するため、それに応じて利得最大化問題の解も変化し、したがって解において生産者が得る利潤、すなわち\(p\cdot y\)の最大値も変化します。以上を踏まえた上で、それぞれの\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解において生産者が得る利潤\begin{eqnarray*}\pi \left( p\right) &=&\max \left\{ p\cdot y\in \mathbb{R} \ |\ y\in Y\right\} \\
&=&\max \left\{ p\cdot y\in \mathbb{R} \ |\ F\left( y\right) \leq 0\right\}
\end{eqnarray*}を値として定める関数\begin{equation*}
\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを利潤関数（profit function）と呼びます。また、利潤関数\(\pi \)が価格ベクトル\(p\)に対して定める値\(\pi \left( p\right) \)を利潤（profit）と呼びます。利潤関数\(\pi \)が存在するための条件については後述します。

利潤関数が存在するための条件

利潤最大化を目指す消費者の意思決定が純供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)のもとでの利潤最大化問題の解からなる集合は、\begin{eqnarray*}Y^{\ast }\left( p\right) &=&\left\{ y\in Y\ |\ \forall z\in Y:p\cdot y\geq
p\cdot z\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ F\left( y\right) \leq 0\wedge \forall z\in Y:p\cdot y\geq p\cdot
z\right\}
\end{eqnarray*}です。仮に\(Y^{\ast }\left( p\right) \)が空集合でなければ何らかの要素\(y^{\ast }\in Y^{\ast }\left(p\right) \)を選ぶことができますが、\(y^{\ast }\)は\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解の1つであるため、利潤関数\(\pi \)の定義より、\begin{equation*}\pi \left( p\right) =p\cdot y^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(p\)と\(Y^{\ast }\left( p\right) \)の任意の要素\(y^{\ast }\)に関して成立するため、純供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとる場合、利潤関数\(\pi \)と純供給対応\(Y^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall y^{\ast }\in Y^{\ast }\left( p\right) :\pi \left(
p\right) =p\cdot y^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとる場合には利潤関数\(\pi \)が存在することが保証されます。

純供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow Y\)が存在する場合にも同様の議論が成立します。つまり、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して純供給関数\(y^{\ast }\)が定める値\(y^{\ast }\left(p\right) \)は\(p\)のもとでの利潤最大化問題の唯一の解であるため、利潤関数\(\pi \)の定義より、\begin{equation*}\pi \left( p\right) =p\cdot y^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(p\)に関して成立するため、純供給関数\(y^{\ast }\)が存在する場合、利潤関数\(\pi \)と純供給関数\(y^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N}:\pi \left( p\right) =p\cdot y^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、純供給関数\(y^{\ast }\)が存在する場合には利潤関数\(\pi \)が存在することが保証されます。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合には純供給対応\(Y^{\ast }\)は非空値をとります。したがって以上の条件のもとで利潤関数が存在することが保証されます。加えて、以上の条件のもとではベルジュの最大値定理が利用可能であるため、同定理を利用することにより、利潤関数が連続であることも保証できます。

変換関数\(F\)が連続である場合に生産集合\(Y\)は連続性を満たし、\begin{equation*}F\left( 0\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は操業停止可能性を満たし、\begin{equation*}\forall y,y^{\prime }\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ \left( F\left( y\right) \leq 0\wedge y^{\prime }\leq y\right)
\Rightarrow F\left( y^{\prime }\right) \leq 0\right] \end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は無償廃棄可能性を満たし、\(F\)が準凸関数であるならば\(Y\)は凸性を満たし、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{R} ^{N}:\left[ v\not\in \mathbb{R} _{-}^{N}\Rightarrow \exists y\in \mathbb{R} ^{N}:F\left( y\right) \leq 0\wedge F\left( y+v\right) >0\right] \end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は中立性を満たします。\(F\)が以上の条件を満たす場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、連続な利潤関数\(\pi \)が存在することが保証されます。

利潤関数の1次同次性

利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)と純供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)の間には、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall y^{\ast }\in Y^{\ast }\left( p\right) :\pi \left(
p\right) =p\cdot y^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、以上の関係と純供給対応\(Y^{\ast }\)が価格ベクトル\(p\)に関して0次同次であることを利用すると、利潤関数\(\pi \)が価格ベクトル\(p\)に関して1次同次であること、すなわち、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:\pi \left( \lambda p\right) =\lambda \pi \left( p\right)
\end{equation*}が導かれます。つまり、生産者による利潤最大化を前提とした場合、すべての商品の価格を同じ割合\(\lambda \)で上昇させると、その前後において生産者が得る利潤もまた割合\(\lambda \)で増加します。

利潤関数は凸関数

利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は凸関数です。つまり、\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と\(\alpha \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\alpha \pi \left( p\right) +\left( 1-\alpha \right) \pi \left( p^{\prime
}\right) \geq \pi \left( \alpha p+\left( 1-\alpha \right) p^{\prime }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

演習問題