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PRODUCER THEORY

利潤関数

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利潤関数

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が与えられたとき、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max\limits_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad s.t.\quad y\in Y
\end{equation*}と定義されます。変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow Y\)が与えられている場合、これを、\begin{equation*}\max\limits_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad s.t.\quad F\left( x\right) \leq 0
\end{equation*}と表現することもできます。いずれにせよ、\(p\)の水準に応じて利潤最大化問題そのものが変化するため、利潤最大化問題の解や、さらには解において実現する最大化された利潤もまた\(p\)に応じて変化します。そこで、利潤最大化問題の解において生産者が得る利潤を\(p\)に関する関数とみなした上で、それぞれの\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、そこでの利潤最大化問題の解において得る利潤\begin{eqnarray*}\pi \left( p\right) &=&\max \left\{ p\cdot y\in \mathbb{R} \ |\ y\in Y\right\} \\
&=&\max \left\{ p\cdot y\in \mathbb{R} \ |\ F\left( y\right) \leq 0\right\}
\end{eqnarray*}を値として定める関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義し、これを利潤関数(profit function)と呼びます。また、利潤関数\(\pi \)が価格ベクトル\(p\)に対して定める値\(\pi \left( p\right) \)を利潤(profit)と呼びます。利潤関数\(\pi \)が定義可能であるためには任意の\(p\)に対して\(\pi \left( p\right) \)が常に1つの実数として定まる必要があります。利潤関数が存在するための条件については後述します。

価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだとき、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)はそれに対して、\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解からなる集合\begin{equation*}Y^{\ast }\left( p\right) =\left\{ y\in Y\ |\ \forall z\in Y:p\cdot y\geq
p\cdot z\right\}
\end{equation*}を定めます。仮に\(Y^{\ast}\left( p\right) \)が空集合でなければ何らかの要素\(y^{\ast}\in Y^{\ast }\left( p\right) \)を選ぶことができますが、\(y^{\ast }\)は\(p \)のもとでの利潤最大化問題の解の1つであるため、利潤関数\(\pi \)の定義より、\begin{equation*}\pi \left( p\right) =p\cdot y^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(p\)と\(Y^{\ast }\left( p\right) \)の任意の要素\(y^{\ast }\)に関して成立するため、\(Y^{\ast }\)が非空値をとる場合、利潤関数\(\pi \)と供給対応\(Y^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall y^{\ast }\in Y^{\ast }\left( p\right) :\pi \left(
p\right) =p\cdot y^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow Y\)が存在する場合、上の関係は、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N}:\pi \left( p\right) =p\cdot y^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}と表現されます。つまり、利潤関数\(\pi \)という概念は供給対応\(Y^{\ast }\)もしくは供給関数\(y^{\ast }\)から定義可能であるということです。

例(利潤関数)
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられている場合、供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow Y\)が存在して、これはそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}y^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) =\left(
\begin{array}{c}
y_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) \\
y_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}^{2}} \\
\frac{p_{2}}{2p_{1}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。したがって、利潤関数\(\pi ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\pi \left( p_{1},p_{2}\right) &=&p_{1}\cdot y_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2}\right) +p_{2}\cdot y_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) \quad
\because \pi \text{の定義} \\
&=&p_{1}\left( -\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}^{2}}\right) +p_{2}\left( \frac{p_{2}}{2p_{1}}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}}+\frac{p_{2}^{2}}{2p_{1}} \\
&=&\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

利潤関数が存在するための条件

繰り返しになりますが、利潤関数\(\pi \)と供給対応\(Y^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall y^{\ast }\in Y^{\ast }\left( p\right) :\pi \left(
p\right) =p\cdot y^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、供給関数\(y^{\ast }\)が存在する場合、上と同様の関係は、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N}:\pi \left( p\right) =p\cdot y^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}と表現されます。供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとる場合、それぞれの\(p\)に対してそこでの利潤最大化問題の解\(y^{\ast }\in Y^{\ast }\left( p\right) \)が存在するため、上の関係より、それと価格ベクトル\(p\)の内積をとれば利潤\(\pi \left( p\right) \)が得られます。したがって、供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとるための条件はそのまま利潤関数\(\pi \)が存在するための条件になります。

復習になりますが、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合には供給対応\(Y^{\ast }\)は非空値をとります。したがって以上の条件のもとで利潤関数が存在することが保証されます。加えて、以上の条件のもとではベルジュの最大値定理が利用可能であるため、同定理を利用することにより、利潤関数が連続であることも保証できます。

命題(利潤関数が存在するための条件)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合には連続な利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。
証明

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例(利潤関数の連続性)
先に示したように、2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられている場合、利潤関数\(\pi ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\pi \left( p_{1},p_{2}\right) =\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}}
\end{equation*}を定めます。この\(\pi \)は多変数の有理関数であるため連続関数です。

 

利潤関数の1次同次性

利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)と供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)の間には、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall y^{\ast }\in Y^{\ast }\left( p\right) :\pi \left(
p\right) =p\cdot y^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、以上の関係と供給対応\(Y^{\ast }\)が価格ベクトル\(p\)に関して0次同次であることを利用すると、利潤関数\(\pi \)が価格ベクトル\(p\)に関して1次同次であること、すなわち、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:\pi \left( \lambda p\right) =\lambda \pi \left( p\right)
\end{equation*}が導かれます。つまり、生産者による利潤最大化を前提とした場合、すべての商品の価格を同じ割合\(\lambda \)で上昇させると、その前後において生産者が得る利潤もまた割合\(\lambda \)で増加します。

命題(利潤関数の1次同次性)
利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は価格ベクトル\(p\)に関して1次同次性を満たす。
証明

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例(利潤関数の1次同次性)
繰り返しになりますが、2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられている場合、利潤関数\(\pi ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}\pi \left( p_{1},p_{2}\right) =\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。価格ベクトル\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\pi \left( \lambda p_{1},\lambda p_{2}\right) &=&\frac{\left( \lambda
p_{2}\right) ^{2}}{4\left( \lambda p_{1}\right) }\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\lambda \frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}} \\
&=&\lambda \pi \left( p_{1},p_{2}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\pi \)は\(p\)に関して1次同次です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

利潤関数は凸関数

利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は凸関数です。つまり、\(p,p^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda \pi \left( p\right) +\left( 1-\lambda \right) \pi \left( p^{\prime
}\right) \geq \pi \left( \lambda p+\left( 1-\lambda \right) p^{\prime
}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(利潤関数の凸性)

利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は凸関数である。

証明

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例(利潤関数は凸関数)
繰り返しになりますが、2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられている場合、利潤関数\(\pi ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}\pi \left( p_{1},p_{2}\right) =\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(\pi \)は多変数の有理関数であるため\(C^{2}\)級であるとともに、そのヘッセ行列は、\begin{equation*}\nabla ^{2}\pi \left( p_{1},p_{2}\right) =\begin{pmatrix}
\frac{p_{2}^{2}}{2p_{1}^{3}} & -\frac{p_{2}}{2p_{1}^{2}} \\
-\frac{p_{2}}{2p_{1}^{2}} & \frac{1}{2p_{1}}\end{pmatrix}\end{equation*}となります。さらに、その小行列式に関して、\begin{eqnarray*}
\det \left( \frac{p_{2}^{2}}{2p_{1}^{3}}\right) &>&0 \\
\det \left( \frac{1}{2p_{1}}\right) &>&0 \\
\det
\begin{pmatrix}
\frac{p_{2}^{2}}{2p_{1}^{3}} & -\frac{p_{2}}{2p_{1}^{2}} \\
-\frac{p_{2}}{2p_{1}^{2}} & \frac{1}{2p_{1}}\end{pmatrix}
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\pi \)は凸関数です。

次回はホテリングの補題について解説します。

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