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PRODUCER THEORY

生産集合の非空性

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生産集合が空集合でないことの意味

生産者に課される技術的な制約を踏まえた上で、生産者がなおも選択可能な生産ベクトルからなる集合が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)です。生産者は生産集合に属する生産ベクトルの中から何らかの生産ベクトルを選びます。したがって、仮に生産集合が空集合であるならば、生産者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。生産者行動を分析するためには、そもそも生産集合が空集合ではないこと、すなわち、\begin{equation*}Y\not=\phi
\end{equation*}であることを保証する必要があるということです。

例(非空な生産集合)
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}と定義されています(下図)。

図:非空な生産集合
図:非空な生産集合

この生産集合\(Y\)は明らかに非空です。例えば、生産ベクトル\(\left(0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}0\leq -0
\end{equation*}が成り立ちますが、\(Y\)の定義より、これは、\begin{equation*}\left( 0,0\right) \in Y
\end{equation*}であることを意味します。

例(非空な生産集合)
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{-}\times \mathbb{R} \ |\ y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}と定義されています(下図)。

図:非空な生産集合
図:非空な生産集合

この生産集合\(Y\)は明らかに非空です。例えば、生産ベクトル\(\left(0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}0\leq \left\vert 0\right\vert ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}がが成り立ちますが、\(Y\)の定義より、これは、\begin{equation*}\left( 0,0\right) \in Y
\end{equation*}であることを意味します。

例(非空な生産集合)
3種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} _{-}^{2}\times \mathbb{R} \ |\ y_{3}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\left\vert
y_{2}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}と定義されています。この生産集合\(Y\)は非空です。実際、生産ベクトル\(\left( -1,-1,1\right) \in \mathbb{R} _{-}^{2}\times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}1\leq \left\vert -1\right\vert ^{\frac{1}{2}}\left\vert -1\right\vert ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
\left( -1,-1,1\right) \in Y
\end{equation*}であることを意味します。したがって\(Y\)は非空です。

 

変換関数の性質としての生産集合の非空性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に加えて変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられている場合、任意の\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{equation*}y\in Y\Leftrightarrow F\left( y\right) \leq 0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(Y\)が非空であるという仮定、すなわち\(y\in Y\)を満たす\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)が存在することは、\(F\left( y\right) \leq 0\)を満たす\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)が存在することと必要十分です。

命題(変換関数の性質としての生産集合の非空性)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)および変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}F\left( y\right) \leq 0
\end{equation*}を満たす\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)が存在することは、\(Y\)が非空であるための必要十分条件である。
例(非空な生産集合)
2種類の商品が存在する経済における変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が、それぞれの\(\left(y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =y_{2}+y_{1}
\end{equation*}を定めるものとして定義されています。生産ベクトル\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}F\left( 0,0\right) =0+0=0
\end{equation*}となるため、上の命題より生産集合\(Y\)は非空です。
例(非空な生産集合)
2種類の商品が存在する経済における変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が、それぞれの\(\left(y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y_{2}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}} & \left( if\ \left(
y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{-}\times \mathbb{R} \right) \\
>0 & \left( if\ \left( y_{1},y_{2}\right) \not\in \mathbb{R} _{-}\times \mathbb{R} \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとして定義されています。生産ベクトル\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}F\left( 0,0\right) =0-\left\vert 0\right\vert ^{\frac{1}{2}}=0
\end{equation*}となるため、上の命題より生産集合\(Y\)は非空です。
例(非空な生産集合)
3種類の商品が存在する経済における変換関数\(F:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)が、それぞれの\(\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y_{3}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\left\vert y_{2}\right\vert
^{\frac{1}{2}} & \left( if\ \left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} _{-}^{2}\times \mathbb{R} \right) \\
>0 & \left( if\ \left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \not\in \mathbb{R} _{-}^{2}\times \mathbb{R} \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとして定義されています。生産ベクトル\(\left( -1,-1,1\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}F\left( -1,-1,1\right) =1-\left\vert -1\right\vert ^{\frac{1}{2}}\left\vert
-1\right\vert ^{\frac{1}{2}}=0
\end{equation*}となるため、上の命題より生産集合\(Y\)は非空です。

 

生産関数の性質としての生産集合の非空性

経済に存在する商品が\(N\)種類の生産要素と\(1\)種類の生産物に区別可能である場合、それぞれの生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)として表されるため、生産集合\(Y\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N+1}\)の部分集合として定義されます。さらに、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in Y\Leftrightarrow f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。したがって、\(Y\)が非空であるという仮定、すなわち\(\left( x,y\right) \in Y\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が存在することは、\(f\left( x\right) \geq y\)を満たす\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が存在することと必要十分です。

命題(生産関数の性質としての生産集合の非空性)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)および生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、\begin{equation*}f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が存在することは、\(Y\)が非空であるための必要十分条件である。
例(非空な生産集合)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとして定義されています。生産ベクトル\(\left( 1,1,1\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\)について、\begin{equation*}f\left( 1,1\right) =1^{\frac{1}{2}}1^{\frac{1}{2}}=1
\end{equation*}となるため、上の命題より生産集合\(Y\)は非空です。
例(非空な生産集合)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されています。生産ベクトル\(\left( 1,1,3\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\)について、\begin{equation*}f\left( 1,1\right) =1+2=3
\end{equation*}となるため、上の命題より生産集合\(Y\)は非空です。

 

演習問題

問題(非空な生産集合)
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{-}\times \mathbb{R} \ |\ y_{2}\leq \sqrt{2\left\vert y_{1}\right\vert }\right\}
\end{equation*}と定義されています。\(Y\)が非空であることを示してください。
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問題(非空な生産集合)
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{-}\times \mathbb{R} \ |\ y_{2}\leq y_{1}^{2}\right\}
\end{equation*}と定義されています。\(Y\)が非空であることを示してください。
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問題(非空な生産集合)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\}
\end{equation*}を定めるものとします。生産集合\(Y\)が非空であることを示してください。
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次回は生産集合が閉集合であるという仮定について解説します。

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