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PRODUCER THEORY

生産集合の非空性

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生産集合が空集合でないことの意味

生産者に課される技術的な制約を踏まえた上で、生産者がなおも選択可能な生産ベクトルからなる集合が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)です。生産者は生産集合に属する生産ベクトルの中から何らかの生産ベクトルを選びます。したがって、仮に生産集合が空集合であるならば、生産者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。生産者行動を分析するためには、そもそも生産集合が空集合ではないこと、すなわち、\begin{equation*}Y\not=\phi
\end{equation*}であることを保証する必要があるということです。

例(非空な生産集合)
2種類の商品が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。これは明らかに空集合ではありません。
図:非空性
図:非空性

 

変換関数の性質としての生産集合の非空性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に加えて変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられている場合、任意の\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{equation*}y\in Y\Leftrightarrow F\left( y\right) \leq 0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(Y\)が非空であるという仮定、すなわち\(y\in Y\)を満たす\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)が存在することは、\(F\left( y\right) \leq 0\)を満たす\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)が存在することと必要十分です。

命題(変換関数の性質としての生産集合の非空性)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)および変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}F\left( y\right) \leq 0
\end{equation*}を満たす\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)が存在することは、\(Y\)が非空であるための必要十分条件である。

 

生産関数の性質としての生産集合の非空性

経済に存在する商品が\(N\)種類の生産要素と\(M\)種類の生産物に分離可能である場合、それぞれの生産ベクトルは投入ベクトルと産出ベクトルの組\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)として表されるため、生産集合は\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)を満たす集合として定義されます。さらに、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{M}\)は任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)に対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in Y\Leftrightarrow f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。したがって、\(Y\)が非空であるという仮定、すなわち\(\left( x,y\right) \in Y\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)が存在することは、\(f\left( x\right) \geq y\)を満たす\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)が存在することと必要十分です。

命題(生産関数の性質としての生産集合の非空性)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)および生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{M}\)が与えられたとき、\begin{equation*}f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+M}\)が存在することは、\(Y\)が非空であるための必要十分条件である。
例(生産関数)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。つまり、\begin{equation*}Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\geq y\right\}
\end{equation*}です。例えば、\begin{equation*}
f\left( 0,0\right) =0^{\frac{1}{2}}0^{\frac{1}{2}}=0
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( 0,0,0\right) \in Y
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(Y\)は非空です。

 

演習問題

問題(生産集合の非空性)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。\(Y\)が空集合ではないことを示してください。
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問題(生産集合の非空性)
2種類の生産要素と1種類の生産物が存在する経済における生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{3}\)が、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =\min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\}
\end{equation*}を定める生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって表現されているものとします。\(Y\)が空集合ではないことを示してください。
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次回は生産集合が閉集合であるという仮定について解説します。

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