生産集合の非空性

生産集合が空集合でないことの意味

技術的な制約を踏まえた上で生産者がなおも選択可能な生産ベクトルからなる集合を生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)として定式化しました。生産者は生産集合に属する何らかの生産ベクトルを選びます。したがって、仮に生産集合が空集合であるならば、生産者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。生産者行動を分析するためには、そもそも生産集合が空集合ではないこと、すなわち、\begin{equation*}Y\not=\phi
\end{equation*}であることを保証する必要があるということです。

例（非空な生産集合）

2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{2}\leq -y_{1}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

図：非空な生産集合

この生産集合\(Y\)は明らかに非空です。例えば、生産ベクトル\(\left(0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}0\leq -0
\end{equation*}が成り立ちますが、\(Y\)の定義より、これは、\begin{equation*}\left( 0,0\right) \in Y
\end{equation*}であることを意味します。

例（非空な生産集合）

2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします（下図）。

図：非空な生産集合

この生産集合\(Y\)は明らかに非空です。例えば、生産ベクトル\(\left(0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}0\leq 0\wedge 0\leq \left\vert 0\right\vert ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}が成り立ちますが、\(Y\)の定義より、これは、\begin{equation*}\left( 0,0\right) \in Y
\end{equation*}であることを意味します。

例（非空な生産集合）

変換関数の性質としての生産集合の非空性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)に加えて変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられている場合、任意の\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)に対して、\begin{equation*}y\in Y\Leftrightarrow F\left( y\right) \leq 0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(Y\)が非空であるという仮定、すなわち\(y\in Y\)を満たす\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)が存在することは、\(F\left( y\right) \leq 0\)を満たす点\(y\in \mathbb{R} ^{N}\)が存在することと必要十分です。

命題（変換関数の性質としての生産集合の非空性）

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)および変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\exists y\in \mathbb{R} ^{N}:F\left( y\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立つことは、\(Y\)が非空であるための必要十分条件である。

例（非空な生産集合）

図：非空な生産集合

変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =y_{2}+y_{1}
\end{equation*}を定めますが、例えば、点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( 0,0\right) &=&0+0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。この結果は先の命題の主張と整合的です。

例（非空な生産集合）

図：非空な生産集合

変換関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y_{2}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}} & \left( if\ y_{1}\leq
0\right) \\
>0 & \left( if\ y_{1}>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たします。例えば、点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( 0,0\right) &=&0-\left\vert 0\right\vert ^{\frac{1}{2}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。この結果は先の命題の主張と整合的です。

例（非空な生産集合）

3種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq 0\wedge y_{3}\leq \left\vert
y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\left\vert y_{2}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。先に確認したように\(Y\)は非空性を満たします。変換関数\(F:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
y_{3}-\left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\left\vert y_{2}\right\vert
^{\frac{1}{2}} & \left( if\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq 0\right) \\
>0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たします。例えば、点\(\left( -1,-1,1\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( -1,-1,1\right) &=&1-\left\vert -1\right\vert ^{\frac{1}{2}}\left\vert -1\right\vert ^{\frac{1}{2}} \\
&=&1-1^{\frac{1}{2}}1^{\frac{1}{2}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。この結果は先の命題の主張と整合的です。

演習問題

問題（非空な生産集合）

2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \sqrt{2\left\vert y_{1}\right\vert }\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(Y\)が非空であることを示してください。

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問題（非空な生産集合）

2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq y_{1}^{2}\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(Y\)が非空であることを示してください。

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