1生産物モデルにおける利潤最大化問題

1生産物モデルにおける利潤最大化問題

前節までは、生産者が技術的に選択可能な生産計画を表す生産集合や生産関数について学びました。また、生産集合に課される非空性、閉性、凸性、無償廃棄可能性、産出方向後退不存在性などの仮定を通じて、生産技術が備えるべき数学的・経済学的な性質について考察しました。しかし、生産者理論の目的は、生産技術そのものを記述することではありません。生産者が与えられた生産技術のもとで、どのような生産計画を選択するのかを分析することにあります。そのためには、生産者の行動原理を定める必要があります。

ミクロ経済学では、企業は利潤を最大化するように行動すると仮定します。すなわち、生産物の販売によって得られる収入と、生産要素の購入に要する費用との差である利潤が最も大きくなるような生産計画を選択すると考えます。生産者の行動原理に関するこのような仮定を利潤最大化（profit maximization）の仮定と呼びます。本節では、1生産物モデルにおける利潤の定義を与え、その上で、利潤最大化問題を定式化します。

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。生産要素と生産物の価格は要素価格ベクトルと生産物価格の組\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{w},p\right) =\left( w_{1},\cdots ,w_{N},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}
\end{equation*}として表現されるものとします。ただし、\(w_{n}>0\)は生産要素\(n\)の価格であり、\(p>0\)は生産物の価格です。価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)に直面した生産者が生産ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)を選択した場合、生産要素を調達するのに必要な費用の合計は、\begin{equation*}\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}=\sum_{n=1}^{N}w_{n}x_{n}
\end{equation*}である一方で、生産物を販売することで得られる収入は、\begin{equation*}
py
\end{equation*}となりますが、利潤は収入から費用を差し引いたものであるため、\begin{equation*}
py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}=py-\sum_{n=1}^{N}w_{n}x_{n}
\end{equation*}となります。

プライステイカーの仮定より、生産者は価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)を与えられたものとして意思決定を行います。以上を踏まえると、利潤最大化とプライステイカーを仮定する場合、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)によって表現される技術を持つ生産者が価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に直面したときに解くべき問題は、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( \boldsymbol{x}^{\ast },y^{\ast }\right) \in Y \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y:py^{\ast }-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}^{\ast }\geq py-\boldsymbol{w}\cdot
\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}をともに満たす生産ベクトル\(\left( \boldsymbol{x}^{\ast },y^{\ast}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)を特定する最適化問題として定式化されます。このような最適化問題を価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)のもとでの利潤最大化問題（profit maximization problem）と呼びます。

条件\(\left( a\right) \)は、利潤最大化問題の解\(\left( \boldsymbol{x}^{\ast},y^{\ast }\right) \)が技術的に選択可能であることを意味しますが、これを技術制約（technological constraint）の条件と呼びます。条件\(\left( b\right) \)は、利潤最大化問題の解\(\left( \boldsymbol{x}^{\ast },y^{\ast }\right) \)は、技術制約を満たす生産ベクトルの中でも利潤を最大化するものであることを意味しますが、これを利潤最大化（profit maximization）の条件と呼びます。利潤最大化問題とは、与えられた価格ベクトルのもとで、技術制約と利潤最大化の条件をともに満たす生産ベクトルを特定する最適化問題に相当します。

価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題は、利潤を目的関数とし、技術制約を制約条件とする制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\quad \text{s.t.}\quad
\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y
\end{equation*}として定式化kされます。生産者が直面する利潤最大化問題は価格ベクトル\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)に依存して変化するため、生産者による意思決定を総体的に記述するためには、生産者が直面し得るすべての\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)について、そこでの利潤最大化問題について考える必要があります。その上で、\(\left( \boldsymbol{w},p\right) \)の変化にともない、生産者による選択がどのように変化するかを考察することも重要になります。

利潤を最大化する生産ベクトルは効率的

利潤最大化問題の解は狭義効率的であることが保証されます。

生産関数を用いた利潤最大化問題の表現

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する場合には、それぞれの投入ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\max P\left( \boldsymbol{x}\right) \\
&=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
P\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(\boldsymbol{x}\)の可能産出量集合です。

生産関数を用いて利潤最大化問題を記述すると以下のようになります。

生産関数が存在するとともに、利潤最大化問題に解が存在する場合には、生産集合を制約条件とする利潤最大化問題\begin{equation*}
\max_{\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\quad \text{s.t.}\quad
\left( \boldsymbol{x},y\right) \in Y
\end{equation*}について考える代わりに、生産関数を用いた制約のない最大化問題\begin{equation*}
\max_{\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}\quad \text{s.t.}\quad
y=f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}}pf\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{w}\cdot \boldsymbol{x}
\end{equation*}を考えても一般性は失われないことが明らかになりました。

演習問題