1生産物モデルにおける利潤最大化問題

1生産物モデルにおける利潤最大化問題

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。生産者が直面し得る個々の選択肢を生産ベクトルとして表現し、技術的制約に直面した生産者が選択可能な生産ベクトルからなる集合を生産集合として表現しました。生産者理論では、生産者は自身が選択可能な生産ベクトルの中から自身が得られる利潤を最大化するようなものを選ぶものと仮定します。生産者の行動原理に関するこのような仮定を利潤最大化（profit maximization）の仮定と呼びます。

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは生産要素の投入ベクトルと生産物の産出量の組\begin{equation*}\left( x,y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されるとともに、技術的な制約を踏まえた上で生産者がなおも選択可能な生産ベクトルからなる集合は生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。加えて、生産要素と生産物の価格は要素価格ベクトルと生産物の価格の組\begin{equation*}
\left( w,p\right) =\left( w_{1},\cdots ,w_{N},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)に直面した生産者が生産ベクトル\(\left( x,y\right) \)を選択した場合、生産要素を調達するのに必要な費用の合計は、\begin{equation*}w\cdot x=\sum_{n=1}^{N}w_{n}x_{n}
\end{equation*}である一方で、生産物を販売することで得られる収入は、\begin{equation*}
py
\end{equation*}となりますが、利潤は収入から費用を差し引いたものであるため、\begin{equation*}
py-w\cdot x=py-\sum_{n=1}^{N}w_{n}x_{n}
\end{equation*}となります。

プライステイカーの仮定より、生産者は価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)を与えられたものとして意思決定を行います。つまり、\(\left( w,p\right) \)の水準が生産者による意思決定に影響を与えることはあっても、生産者による意思決定が\(\left( w,p\right) \)の水準に影響を与えることはないということです。以上を踏まえると、利潤最大化とプライステイカーを仮定する場合、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)によって表現される技術を持つ生産者が価格ベクトル\(\left( w,p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に直面したときに解くべき問題は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \in Y \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( x,y\right) \in Y:py^{\ast }-w\cdot
x^{\ast }\geq py-w\cdot x
\end{eqnarray*}を満たす生産ベクトル\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)を特定する最適化問題として定式化されます。このような最適化問題を\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題（profit maximization problem）と呼びます。条件\(\left( a\right) \)は、利潤最大化問題の解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)が技術的に選択可能であることを意味しますが、これを技術制約（technological constraint）の条件と呼びます。条件\(\left( b\right) \)は、利潤最大化問題の解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)は、技術制約を満たす生産ベクトルの中でも利潤を最大化するものであることを意味しますが、これを利潤最大化（profit maximization）の条件と呼びます。利潤最大化問題とは、与えられた価格ベクトルのもとで、技術制約と利潤最大化の条件をともに満たす生産ベクトルを特定する最適化問題に相当します。

価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題は、利潤\(py-w\cdot x\)を目的関数とし、技術制約を制約条件とする制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad \left( x,y\right) \in Y
\end{equation*}に他なりません。生産者が直面する利潤最大化問題は価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)に依存して変化するため、生産者による意思決定を総体的に記述するためには、生産者が直面し得るすべての\(\left( w,p\right) \)について、そこでの利潤最大化問題について考える必要があります。その上で、\(\left( w,p\right) \)の変化にともない、生産者による選択がどのように変化するかを考察することになります。

価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題の解は狭義効率的であることが保証されるとともに、狭義効率生産集合\(Y^{\ast }\)が生産集合\(Y\)の部分集合であることを踏まえると、利潤最大化問題の解を探す際には\(Y\)のすべての点を候補とする必要はなく、狭義効率生産集合\(Y^{\ast }\)の要素だけを候補としても一般性は失われません。つまり、価格ベクトル\(\left(w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad \left( x,y\right) \in Y^{\ast }
\end{equation*}と定式化しても一般性は失われません。

生産関数を用いた利潤最大化問題の表現

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}を値として定める関数として定義されます。任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in Y\Rightarrow f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}という関係が成り立つため、生産関数\(f\)が存在する場合には、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad \left( x,y\right) \in Y
\end{equation*}について考えるかわりに、以下の最大化問題\begin{equation*}
\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}を考えても一般性は失われません。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が連続性の仮定を満たす場合、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad \left( x,y\right) \in Y^{\ast }
\end{equation*}と定式化しても一般性は失われないことは先に示した通りですが、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in Y^{\ast }\Rightarrow f\left( x\right) =y
\end{equation*}という関係が成り立つことを踏まえると、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題について考えるかわりに以下の問題\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) =y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}pf\left( x\right) -w\cdot x
\end{equation*}を考えても一般性は失われません。つまり、本来、利潤最大化問題は投入ベクトルと産出量\(\left( x,y\right) \)を変数として持つ\(py-w\cdot x\)を目的関数とする不等式制約下での最適化問題ですが、生産関数が存在するとともに生産集合が連続性の仮定を満たす場合には、利潤最大化問題は投入ベクトル\(x\)を変数として持つ\(pf\left( x\right) -w\cdot x\)を目的関数とする制約条件のない最適化問題へと単純化されるということです。

生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在するとともに連続関数である場合には生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)は連続性を満たすため、上の命題が要求する条件が満たされます。つまり、生産関数\(f\)が連続である場合には、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}pf\left( x\right) -w\cdot x
\end{equation*}と表現しても一般性は失われないということです。

演習問題