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PRODUCER THEORY

1生産物モデルにおける利潤最大化問題

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\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける利潤最大化問題

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおける生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)として表現されるため、生産集合\(Y\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N+1}\)の部分集合として定義されます。\(N\)種類の生産要素の価格からなるベクトルを\(w=\left(w_{1},\cdots ,w_{N}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\)で表記し、生産物の価格を\(p\in \mathbb{R} _{++}\)で表記するのであれば、価格ベクトルは生産要素の価格ベクトルと生産物の価格の組\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)として表記されます。

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)として表現されているものとします。生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in Y\)と価格ベクトル\(\left( w,p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)が与えられたとき、\(N\)種類の生産要素を調達するのに必要な費用の合計は\(w\cdot x=\sum_{n=1}^{N}w_{n}x_{n}\)である一方で、生産物を販売することで得られる収入は\(py\)です。利潤は収入から費用を差し引いたものであるため、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \)が与えられたときに生産ベクトル\(\left( x,y\right) \)を選択することで生産者が得る利潤は、\begin{equation*}py-w\cdot x
\end{equation*}となります。プライステイカーの仮定より、生産者は\(\left( w,p\right) \)を与えられたものとして意思決定を行います。つまり、\(\left( w,p\right) \)の水準が生産者による意思決定に影響を与えることはあっても、生産者による意思決定が\(\left( w,p\right) \)の水準に影響を与えることはないということです。利潤最大化の仮定を踏まえたとき、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)によって表現される技術を持つ生産者が価格ベクトル\(\left( w,p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に直面したときに解くべき問題は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \in Y \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( x,y\right) \in Y:py^{\ast }-w\cdot
x^{\ast }\geq py-w\cdot x
\end{eqnarray*}をともに満たす生産ベクトル\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)を特定することとして定式化されます。これを\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題(profit maximization problem)と呼びます。条件\(\left( a\right) \)は、利潤最大化問題の解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)が技術的に選択可能であることを意味しますが、これを技術制約(technological constraint)の条件と呼びます。条件\(\left( b\right) \)は、利潤最大化問題の解\(\left( x^{\ast },y^{\ast }\right) \)は、技術制約を満たす生産ベクトルの中でも利潤を最大化するものであることを意味しますが、これを利潤最大化(profit maximization)の条件と呼びます。したがって、利潤最大化問題とは、与えられた価格ベクトルのもとで、技術制約と利潤最大化の条件をともに満たす生産ベクトルを特定することを意味します。

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、価格ベクトル\(\left( w,p\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad y\in Y
\end{equation*}として表現できます。

特に、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が連続性の仮定を満たす場合、すなわち\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{N+1}\)上の閉集合である場合には、これと効率生産集合\(Y^{\ast }\)および変換フロンティア\(Y^{f}\)の間に、\begin{equation*}Y^{\ast }\subset Y^{f}\subset Y
\end{equation*}という関係が成り立ちます。加えて、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題の解は効率的であることが保証されるため\(Y^{\ast }\)の要素であることが保証されます。したがって、連続性の仮定を認める場合、利潤最大化問題の解を探す際には\(Y\)のすべての点を候補とする必要はなく、\(Y\)の境界点だけを候補としても一般性は失われません。つまり、利潤最大化問題のかわりに以下の問題\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad y\in Y^{f}
\end{equation*}を考察対象としてもよいということです。

命題(連続性の仮定のもとでの利潤最大化問題)
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が連続性の仮定を満たすものとする。価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)を任意に選んだとき、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad y\in Y^{f}
\end{equation*}と表現できる。

例(利潤最大化問題)
2生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(Y\)は閉集合であるため連続性を満たします。したがって、価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{\left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}}py-w_{1}x_{1}-w_{2}x_{2}\quad \text{s.t.}\quad y\in Y^{f}
\end{equation*}と表現できます。

例(利潤最大化問題)
2生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}+2x_{2}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(Y\)は閉集合であるため連続性を満たします。したがって、価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{\left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}}py-w_{1}x_{1}-w_{2}x_{2}\quad \text{s.t.}\quad y\in Y^{f}
\end{equation*}と表現できます。

 

生産関数を用いた利潤最大化問題の表現

\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に加えて生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( x,y\right) \in Y\Leftrightarrow f\left( x\right)
\geq y \\
&&\left( b\right) \ \left( x,y\right) \in Y^{f}\Leftrightarrow f\left(
x\right) =y
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad y\in Y
\end{equation*}と定式化されますが、\(\left( a\right) \)より、これを、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq y
\end{equation*}と表現できます。

繰り返しになりますが、生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が連続性の仮定を満たす場合、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの利潤最大化問題は、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad y\in Y^{f}
\end{equation*}と定式化されますが、\(\left( b\right) \)より、これを、\begin{equation*}\max_{\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}}py-w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) =y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}p\cdot f\left( x\right) -w\cdot x
\end{equation*}と表現できます。生産関数\(f\)が連続関数である場合には生産集合\(Y\)は連続性を満たすため、この場合にも\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題を上のように定式化できます。

命題(連続性の仮定のもとでの利潤最大化問題)
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に加えて生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられているものとする。\(Y\)が連続性の仮定を満たす場合には、価格ベクトル\(\left( w,p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)を任意に選んだとき、\(\left( w,p\right) \)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}p\cdot f\left( x\right) -w\cdot x
\end{equation*}と表現できる。

例(利潤最大化問題)
2生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(Y\)は閉集合であるため連続性を満たします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めますが、\(Y\)は閉集合であるため、価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}p\cdot f\left( x_{1},x_{2}\right) -w_{1}x_{1}-w_{2}x_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}px_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}-w_{1}x_{1}-w_{2}x_{2}
\end{equation*}と表現できます。

例(利潤最大化問題)
2生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}+2x_{2}\geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(Y\)は閉集合であるため連続性を満たします。生産関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定めますが、\(Y\)は閉集合であるため、価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2},p\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}p\cdot f\left( x_{1},x_{2}\right) -w_{1}x_{1}-w_{2}x_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}p\left( x_{1}+2x_{2}\right) -w_{1}x_{1}-w_{2}x_{2}
\end{equation*}と表現できます。

 

演習問題

問題(利潤最大化問題)
2生産要素1生産物モデルにおける生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x_{1},x_{2},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ \min \left\{ x_{1},\frac{x_{2}}{2}\right\} \geq y\right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。利潤最大化問題を定式化してください。

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