利潤最大化問題の解の解釈

限界変形率と相対価格にもとづく利潤最大化問題の解の解釈

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)ないし変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているとともに、利潤最大化を目指す生産者の意思決定が供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)のもとでの利潤最大化問題の解からなる集合は、\begin{eqnarray*}Y^{\ast }\left( p\right) &=&\left\{ y\in Y\ |\ \forall z\in Y:p\cdot y\geq
p\cdot z\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ F\left( y\right) \leq 0\wedge \forall z\in Y:p\cdot y\geq p\cdot
z\right\}
\end{eqnarray*}です。加えて、供給対応\(Y^{\ast }\)が非空値をとる場合、\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解\(y^{\ast }\in Y^{\ast }\left( p\right) \)をとることができるとともに、変換関数\(F\)が\(C^{1}\)級である場合には、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ p=\lambda ^{\ast }\nabla F\left( y^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ F\left( y^{\ast }\right) =0 \\
&&\left( C\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。

条件\(\left( A\right) \)は、任意の商品\(i\)について、\begin{equation}p_{i}=\lambda ^{\ast }\frac{\partial F\left( y^{\ast }\right) }{\partial
y_{i}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。利潤最大化問題の解\(y^{\ast }\)は効率的であるため、\begin{equation*}F\left( y^{\ast }\right) =0
\end{equation*}が成り立ちますが、効率性の定義より、\(y^{\ast }\)を基準に商品\(i\)以外の数量を\(y_{-i}^{\ast }\)に固定したまま商品\(i\)の数量を増加させると新たな生産ベクトルは技術的に選択不可能になるため、\begin{equation}\frac{\partial F\left( y^{\ast }\right) }{\partial y_{i}}>0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\frac{p_{i}}{\frac{\partial F\left( y^{\ast }\right) }{\partial y_{i}}}=\lambda ^{\ast }
\end{equation*}を得ます。2つの商品\(i,j \)を任意に選んだときに同様の議論が成立するため、\begin{equation*}\frac{p_{i}}{\frac{\partial F\left( y^{\ast }\right) }{\partial y_{i}}}=\frac{p_{j}}{\frac{\partial F\left( y^{\ast }\right) }{\partial y_{j}}}=\lambda ^{\ast }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation}
\frac{\frac{\partial F\left( y^{\ast }\right) }{\partial y_{i}}}{\frac{\partial F\left( y^{\ast }\right) }{\partial y_{j}}}=\frac{p_{i}}{p_{j}}
\quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。利潤最大化問題の解\(y^{\ast }\)は効率的であり、さらに効率的な生産ベクトルは変換フロンティア\(Y^{f}\)上の点です。しかも\(F\)は\(C^{1}\)級であるため、点\(y^{\ast }\)における限界変形率\begin{equation*}MRS_{ij}\left( y^{\ast }\right) =\frac{\frac{\partial F\left( y^{\ast
}\right) }{\partial y_{i}}}{\frac{\partial F\left( y^{\ast }\right) }{\partial y_{j}}}
\end{equation*}をとることができるため、これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( y^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}を得ます。

先の命題は、利潤最大化問題の解\(y^{\ast }\)において任意の2つの商品\(i,j \)の間の限界変形率\(MRS_{ij}\left( y^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が一致することを主張していますが、これにはどのような意味があるのでしょうか。

生産ベクトル\(y\)における限界代替率\(MRS_{ij}\left( y\right) \)とは、効率的な生産を行う生産者が生産ベクトル\(y\)に直面したとき、この生産者の技術のもとで\(1\)単位の商品\(i\)と代替可能な商品\(j\)の量を表しています。一方、相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)とは、商品\(i\)の価格が商品\(j\)の価格の何倍であるかを表す指標であり、市場において\(1\)単位の商品\(i\)と交換可能な商品\(j\)の量を表しています。

生産ベクトル\(y\)において\(MRS_{ij}\left( y\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合、生産者は\(1\)単位の商品\(i\)をそのまま使用するのと、それを市場において商品\(j\)と交換するのとではどちらの方がより望ましいでしょうか。消費者にとって\(1\)単位の商品\(i\)は\(MRS_{ij}\left( y\right) \)単位の商品\(j\)と代替可能です。一方、\(1\)単位の商品\(i\)を市場で販売すれば、それと引き換えに商品\(j\)を\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)だけ得られます。したがって、\(MRS_{ij}\left( y\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合、生産者は\(1\)単位の商品\(i\)を市場で売って\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)単位の商品\(j\)を得た方が得であり、そのような取引を通じて生産者は\(\frac{p_{i}}{p_{j}}-MRS_{ij}\left( y\right) \)単位の商品\(j\)の分だけ得するため、その余剰を投入すれば利潤を増やすことが出来ます。限界変形率逓減の法則が成り立つ場合、商品\(i\)の純産出\(y_{i}\)が減少して商品\(j\)の純産出\(y_{j}\)が増加すると\(MRS_{ij}\left( y\right) \)が大きくなるため、先の取引の結果、\(MRS_{ij}\left( y\right) \)と\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)の差が縮小します。

逆に、\(MRS_{ij}\left( y\right) >\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合、これは\(MRS_{ji}\left( y\right) <\frac{p_{j}}{p_{i}}\)を意味するため、上の議論において商品\(i\)と商品\(j\)を入れ替えた議論がそのまま成立します。つまりこの場合、生産者は\(1\)単位の商品\(j\)を市場で売って\(\frac{p_{j}}{p_{i}}\)単位の商品\(i\)を得た方が得であり、そのような取引を通じて生産者は\(\frac{p_{j}}{p_{i}}-MRS_{ji}\left( y\right) \)単位の商品\(i\)の分だけ得するため、その余剰を投入すれば利潤を増やすことが出来ます。限界変形率逓減の法則が成り立つ場合、商品\(j\)の純産出\(y_{j}\)が減少して商品\(i\)の純産出\(y_{i}\)が増加すると\(MRS_{ij}\left( y\right) \)が小さくなるため、先の取引の結果、\(MRS_{ij}\left( y\right) \)と\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)の差が縮小します。

同様の議論は任意の商品\(i,j\)の間に成立します。その結果、最終的には、任意の商品\(i,j\)について\(MRS_{ij}\left( y^{\ast }\right) =\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成立するような生産ベクトル\(y^{\ast }\)が主体的均衡になります。利潤最大化問題の解\(y^{\ast }\)において任意の2つの商品\(i,j\)の間の限界変形率\(MRS_{ij}\left( y^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が一致することの背景にはこのようなメカニズムがあります。