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PRODUCER THEORY

ホテリングの補題

目次

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利潤の変化

これまでは利潤最大化問題に関して、利潤関数が存在するための条件や、その性質について考察してきました。利潤価格\(\pi \)は価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、そこでの利潤最大化問題の解における生産者の利潤\begin{eqnarray*}\pi \left( p\right) &=&\max \left\{ p\cdot y\in \mathbb{R} \ |\ y\in Y\right\} \\
&=&\max \left\{ p\cdot y\in \mathbb{R} \ |\ F\left( y\right) \leq 0\right\}
\end{eqnarray*}を値として定める関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)です。生産者理論では、商品の価格\(p\)の変化が生産者による意思決定に与える影響を分析することも重要であり、そのような観点から、パラメータ\(p\)の水準が変化した場合の\(\pi \left( p\right) \)の値の変化、すなわち、それぞれの商品\(i\)の価格\(p_{i}\)に関する利潤関数\(\pi \)の偏微分\(\frac{\partial \pi \left(p\right) }{\partial p_{i}}\)を評価します。

利潤関数\(\pi \)をパラ―メータ\(p_{i}\)で偏微分する動機が発生した場合、今度は以下のようなテクニカルな問題に直面します。

  1. どのような条件が満たされていれば、利潤関数\(\pi \)はそれぞれのパラメータ\(p_{i}\)について偏微分可能か。
  2. 仮に利潤関数\(\pi \)がパラメータ\(p_{i}\)について偏微分可能である場合には、偏導関数\(\frac{\partial \pi \left( p\right) }{\partial p_{i}}\)はどのような形状をしているか。

このような問題に答えるのが包絡面定理です。利潤最大化問題に対して包絡面定理を適用することにより以下の命題を得ます。

命題(利潤関数の変化)

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、狭義凸性、中立性を満たす場合には変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)と供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow Y\)と利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。さらに、\(F,y^{\ast }\pi \)が\(C^{1}\)級であるならば、\(\pi \)の偏導関数は、\begin{equation*}\frac{\partial \pi \left( p\right) }{\partial p_{i}}=y_{i}^{\ast }\left(
p\right) \quad \left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}となる。

証明

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例(利潤関数の変化)
2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられている場合、供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow Y\)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}y^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) =\left(
\begin{array}{c}
y_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) \\
y_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}^{2}} \\
\frac{p_{2}}{2p_{1}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、利潤関数\(\pi ^{\ast}:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\pi \left( p_{1},p_{2}\right) =\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}}
\end{equation*}を定めます。先の命題より、\(\pi \)の\(p_{1}\)に関する偏導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \pi \left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{1}}
&=&y_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) \\
&=&-\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}^{2}}
\end{eqnarray*}を定め、\(\pi \)の\(p_{2}\)に関する偏導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \pi \left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{2}}
&=&y_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) \\
&=&\frac{p_{2}}{2p_{1}}
\end{eqnarray*}を定めます。一方、\(\pi \)を直接偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \pi \left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{1}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}}\right) =-\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}^{2}} \\
\frac{\partial \pi \left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{2}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}}\right) =\frac{p_{2}}{2p_{1}}
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

通常、利潤関数\(\pi \left( p\right) \)の偏導関数\(\frac{\partial \pi \left( p\right) }{\partial p_{i}}\)を求めるためには、\begin{equation*}\pi \left( p\right) =p\cdot y^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}という関係を踏まえた上で、これを\(p_{i}\)に関して偏微分することになります。一方、包絡面定理の帰結である上の命題によると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \pi \left( p\right) }{\partial p_{i}} &=&\frac{\partial L}{\partial p_{i}}\left( y^{\ast }\left( p\right) ,\lambda ^{\ast }\left(
p\right) ,p\right) \\
&=&y_{i}^{\ast }\left( p\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、ラグランジュ関数\(L\)を\(p_{i}\)に関して偏微分して\(\frac{L\left( y,\lambda ,p\right) }{\partial p_{i}}\)を得た上で、それに最適解\begin{equation*}y=y^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}を代入すれば目的は達成されるということです。

以上の事実を踏まえると、\(\frac{\partial \pi \left( p\right) }{\partial p_{i}}\)を求めるためには以下の手順にしたがえばよいということになります。

  1. 包絡面定理が要求する条件が満たされていることをチェックする。
  2. ラグランジュ関数\(L\)をパラメータ\(p_{i}\)について偏微分して\(\frac{L\left(y,\lambda ,p\right) }{\partial p_{i}}\)を得る。
  3. 供給関数\(y^{\ast }\left( p\right) \)を求める。その際、通常は、1階の条件\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \frac{\partial L\left( y,\lambda ,p\right) }{\partial p_{i}} &=&0\quad \left( i=1,\cdots ,L\right) \\\left( c\right) \ \frac{\partial L\left( y,\lambda ,p\right) }{\partial
    \lambda } &=&0
    \end{eqnarray*}を利用する。
  4. \(\frac{L\left( y,\lambda ,p\right) }{\partial p_{i}}\)に\(y=y^{\ast }\left( p\right) \)を代入する。

 

ホテリングの補題

先の命題より、一定の条件のもとでは、\begin{equation*}
y_{i}^{\ast }\left( p\right) =\frac{\partial \pi \left( p\right) }{\partial
p_{i}}\quad \left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。つまり、価格ベクトル\(p\)における商品\(i\)の供給\(y_{i}^{\ast }\left(p\right) \)を求めるためには、点\(p\)における利潤関数\(\pi \)の偏微分係数\(\frac{\partial \pi \left( p\right) }{\partial p_{i}}\)を求めればよいということです。こうした関係は任意の商品の供給について成立するため、結局、利潤関数\(\pi \)が与えられればそこから供給関数\(y^{\ast }\)を、\begin{equation*}y^{\ast }\left( p\right) =\nabla \pi \left( p\right)
\end{equation*}と特定することができます。これをホテリングの補題(Hotelling’s lemma)と呼びます。

命題(ホテリングの補題)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、狭義凸性、中立性を満たす場合には変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)と供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow Y\)および利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。さらに、\(F,y^{\ast }\pi \)が\(C^{1}\)級であるならば、\begin{equation*}y^{\ast }\left( p\right) =\nabla \pi \left( p\right)
\end{equation*}が成り立つ。

例(ホテリングの補題)
繰り返しになりますが、2種類の商品が存在する経済における生産集合が、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y_{1}\leq 0\wedge y_{2}\leq \left\vert y_{1}\right\vert ^{\frac{1}{2}}\right\}
\end{equation*}で与えられている場合、供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow Y\)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}y^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) =\left(
\begin{array}{c}
y_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) \\
y_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}^{2}} \\
\frac{p_{2}}{2p_{1}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、利潤関数\(\pi ^{\ast}:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\pi \left( p_{1},p_{2}\right) =\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}}
\end{equation*}を定めます。さて、\begin{eqnarray*}
\left( \frac{\partial \pi \left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{1}},\frac{\partial \pi \left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{2}}\right) &=&\left(
\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}}\right) ,\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}}\right)
\right) \\
&=&\left( -\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}^{2}},\frac{p_{2}}{2p_{1}}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(y^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) \)と一致します。この結果は先の命題の主張と整合的です。
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