ホテリングの補題

利潤の変化

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)ないし変換関数\(F:\mathbb{R} ^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているとともに、純供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow Y\)と利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。つまり、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだとき、これに対して純供給関数\(y^{\ast }\)が定める値\(y^{\ast }\left( p\right) \)は\(p\)のもとでの利潤最大化問題\begin{equation*}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad y\in Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}p\cdot y\quad \text{s.t.}\quad F\left( y\right) \leq 0
\end{equation*}の唯一の解である一方、利潤関数\(\pi \)が定める値\(\pi \left( p\right) \)は\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解において生産者が得る利潤であり、両者の間には、\begin{equation*}\pi \left( p\right) =p\cdot y^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}という関係が成立します。

生産者理論では価格ベクトル\(p\)の変化が生産者の意思決定に与える影響を分析することも重要であり、そのような観点から、\(p\)が変化したときの利潤\(\pi \left( p\right) \)の変化を評価すること、すなわち利潤関数\(p\)をそれぞれの商品\(i\)の価格\(p_{i}\)に関して偏微分する動機が発生します。すると以下のようなテクニカルな問題に直面します。

1. どのような条件が満たされていれば、利潤関数\(\pi \)はそれぞれの商品の価格\(p_{i}\)に関して偏微分可能か。
2. 利潤関数\(\pi \)がそれぞれの商品の価格\(p_{i}\)について偏微分可能である場合、偏導関数\(\frac{\partial \pi \left( p\right) }{\partial p_{i}}\)はどのような形状をしているか。

以上の問題に答えるのが包絡面定理です。包絡面定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(\left( y,p\right) \in \mathbb{R} ^{N}\times \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( y,p\right) &=&p\cdot y \\
g\left( y,p\right) &=&-F\left( y\right)
\end{eqnarray*}を定める多変数関数\(f,g:\mathbb{R} ^{N}\times \mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ定義すると、\(p\)のもとでの利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}f\left( y,p\right) \quad \text{s.t.}\quad g\left( y,p\right) \geq 0
\end{equation*}と表現できます。利潤関数\(\pi :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はこの問題の価値関数に相当し、それぞれの\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}\pi \left( p\right) =\max_{y\in \mathbb{R} ^{N}}\left\{ f\left( y,p\right) \ |\ g\left( y,p\right) \geq 0\right\}
\end{equation*}を定めます。純供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow Y\)はこの問題の最適選択関数に相当し、それぞれの\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}y^{\ast }\left( p\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ f\left( y,p\right) =\pi \left( p\right) \right\}
\end{equation*}を定めます。この問題に包絡面定理を適用するためには以下の条件が満たされていることを確認する必要があります。

1. 目的関数\(f\)および制約条件を規定する関数\(g\)はともに\(C^{1}\)級である。\(f\left( y,p\right) =p\cdot y\)は明らかに\(C^{1}\)級である。\(g\left(y,p\right) =-F\left( y\right) \)であるため、変換関数\(F\)が\(C^{1}\)級であるならば関数\(g\)もまた\(C^{1}\)級である。
2. 最適解\(y^{\ast }\left( p\right) \)が正規条件を満たす。つまり、点\(y^{\ast }\left( p\right) \)において関数\(g\)がバインドする場合にはそこでの変数\(y\)に関する勾配ベクトル\(\nabla _{y}g\left( y^{\ast }\left( p\right)\right) \)は1次独立である。つまり、\(\nabla _{y}g\left( y^{\ast }\left( p\right)\right) \)は非ゼロベクトルである。
3. 純供給関数\(y^{\ast }\)と利潤関数\(\pi \)がともに\(C^{1}\)級である。

以上の条件が満たされる場合には、先の問題に対して包絡面定理を適用することにより以下を得ます。

通常、利潤関数\(\pi \)の偏導関数である\(\frac{\partial \pi\left( p\right) }{\partial p_{i}}\)を求めるためには、純供給関数\(y^{\ast }\left( p\right) \)を特定した上で、以下の関係\begin{equation*}\pi \left( p\right) =p\cdot y^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}を用いて利潤関数\(\pi \)を特定し、さらにそれを\(p_{i}\)について偏微分することになります。一方、先の命題が要求する条件が満たされる場合には、\begin{equation*}\frac{\partial \pi \left( p\right) }{\partial p_{i}}=\frac{\partial L}{\partial p_{i}}\left( y^{\ast }\left( p\right) ,\lambda ^{\ast }\left(
p\right) ,p\right) =y_{i}^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、この場合、\(\frac{\partial \pi \left( p\right) }{\partial p_{i}}\)を求めるために利潤関数\(\pi \)を特定する必要はなく、ラグランジュ関数\(L\)を\(p_{i}\)について偏微分して、\begin{equation*}\frac{\partial L\left( y,\lambda ,p\right) }{\partial p_{i}}
\end{equation*}を得た上で、それを最適解\begin{equation*}
\left( y,\lambda \right) =\left( y^{\ast }\left( p\right) ,\lambda ^{\ast
}\left( p\right) \right)
\end{equation*}で評価すれば目標は達成されます。

ホテリングの補題

先の命題より、一定の条件のもとでは、\begin{equation*}
y_{i}^{\ast }\left( p\right) =\frac{\partial \pi \left( p\right) }{\partial
p_{i}}\quad \left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。これは任意の商品\(i\)について成り立つため、\begin{equation*}y^{\ast }\left( p\right) =\nabla \pi \left( p\right)
\end{equation*}とまとめて表現することもできます。これをホテリングの補題（Hotelling’s lemma）と呼びます。

つまり、価格ベクトル\(p\)における商品\(i\)の純供給\(y_{i}^{\ast }\left( p\right) \)を求めるためには、点\(p\)における利潤関数\(\pi \)の偏微分係数\(\frac{\partial \pi \left( p\right) }{\partial p_{i}}\)を求めればよいということです。こうした関係は任意の商品の純供給について成立するため、結局、利潤関数が与えられればそこから純供給関数を特定することができます。