1生産物モデルにおける生産集合のフリーランチ不可能性

生産集合のフリーランチ不可能性

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産ベクトルは投入ベクトルと産出量の組\begin{equation*}\left( x,y\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N},y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として表現されます。技術的な制約を踏まえた上で生産者がなおも選択可能な生産ベクトルからなる集合を生産集合\begin{equation*}
Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}
\end{equation*}として定式化しました。このとき、\(Y\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in Y:\left( x=0\Rightarrow y=0\right)
\end{equation*}を満たすならば、すなわち、技術的に選択可能な生産ベクトルを構成する投入ベクトルがゼロベクトルである場合、産出量もゼロであることが保証される場合には、\(Y\)はフリーランチ不可能性（no free lunch）や桃源郷の不可能性（impossibility of the Land of Cockaigne’s）を満たすと言います。

対偶より、生産集合\(Y\)に関して、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in Y:\left( y\not=0\Rightarrow x\not=0\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) \in Y:\left( y>0\Rightarrow x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \left\{ 0\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことはフリーランチ不可能性が成り立つための必要十分条件です。つまり、技術的に選択可能な生産ベクトルにおいて産出量が正である場合、何らかの生産要素を投入しているということです。

逆に、生産集合\(Y\)がフリーランチ不可能性を満たさないこととは、\begin{equation*}\exists \left( x,y\right) \in Y:\left( x=0\wedge y\not=0\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \left( x,y\right) \in Y:\left( x=0\wedge y>0\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、投入を一切行わずに正の産出を行うことが技術的に選択可能であるということです。フリーランチ不可能性はこのような可能性を排除します。

例（フリーランチ不可能性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。\(x=0\)を満たす生産ベクトル\(\left( x,y\right) \in Y\)につて\(y=0\)が成立しているため\(Y\)はフリーランチ不可能性を満たしています。

例（フリーランチ不可能性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。\(y>0\)を満たす生産ベクトル\(\left( 0,y\right) \)が生産集合\(Y\)の要素であるため、この\(Y\)はフリーランチ不可能性を満たしません。

生産関数の性質としてのフリーランチ不可能性

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が与えられたとき、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの投入ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}を値として定める関数として定義されます。生産関数\(f\)が投入ベクトル\(0\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}を満たすことは、フリーランチ不可能性が成り立つことと必要十分です。

逆に、生産集合\(Y\)がフリーランチ不可能性を満たさないこととは、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在するとともに、\begin{equation*}f\left( 0\right) >0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、投入ベクトル\(0\)のもとで実現可能な産出量の最大値がゼロを超えるということです。フリーランチ不可能性はこのような可能性を排除します。

例（フリーランチ不可能性）

1生産要素1生産物モデルにおける生産集合を、\begin{equation*}
Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ y\leq x\right\}
\end{equation*}と定義します。これは下図のグレーの領域として図示されています（境界を含む）。

先に示したように\(Y\)はフリーランチ不可能性を満たします。実際、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( 0,y\right) \in Y\right\} \quad \because \text{生産関数の定義} \\
&=&\max \left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\leq 0\right\} \\
&=&\max \left[ 0,0\right] \\
&=&0
\end{eqnarray*}を満たすため、先の命題より\(Y\)はフリーランチ不可能性を満たします。

演習問題