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生産者理論

1生産物モデルにおける費用関数

目次

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費用関数

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)ないし生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているものとします。要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)のもとでの費用最小化問題は、以下のような制約付き最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq q
\end{equation*}と表現されますが、\(\left( w,q\right) \)が変化すれば費用最小化問題の目的関数\(w\cdot x\)と制約条件\(f\left(x\right) \geq q\)が変化するため、それに応じて費用最小化問題の解も変化し、したがって解において生産者が直面する費用、すなわち\(w\cdot x\)の最小値も変化します。以上を踏まえた上で、それぞれの\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)に対して、\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題の解において生産者が直面する費用\begin{equation*}c\left( w,q\right) =\min \left\{ w\cdot x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq q\right\}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
c:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを費用関数(cost mathrmtion)と呼びます。また、費用関数\(c\)が要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \)に対して定める値\(c\left( w,q\right) \)を費用(cost)と呼びます。費用関数\(c\)が存在するための条件については後述します。

 

費用関数が存在するための条件

1生産物モデルにおいて費用最小化を目指す生産者の意思決定が制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。つまり、要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)のもとでの費用最小化問題の解であるような投入ベクトルは、\begin{equation*}Z^{\ast }\left( w,q\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ f\left( x\right) \geq q\wedge \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ f\left( x^{\prime }\right) \geq q\Rightarrow w\cdot
x^{\prime }\geq w\cdot x\right] \right\}
\end{equation*}です。仮に制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }\)が非空値をとる場合には\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題の解\(x^{\ast }\in Z^{\ast }\left( w,q\right) \)をとることができますが、費用関数\(c\)の定義より、\begin{equation*}c\left( w,q\right) =w\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(\left( w,q\right) \)と\(Z^{\ast }\left(w,q\right) \)の任意の要素\(x^{\ast }\)に関して成立するため、制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }\)が非空値をとる場合、費用関数\(c\)と制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) ,\ \forall x^{\ast }\in Z^{\ast }\left( w,q\right) :c\left(
w,q\right) =w\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }\)が非空値をとる場合には費用関数\(c\)が存在することが保証されます。

制約付き要素需要関数\(z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する場合にも同様の議論が成立します。つまり、要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)に対して制約付き要素需要関数\(z^{\ast }\)が定める値\(z^{\ast }\left( w,q\right) \)は\(\left(w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題の唯一の解であるため、費用関数\(c\)の定義より、\begin{equation*}c\left( w,q\right) =w\cdot z^{\ast }\left( w,q\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。同様の議論は任意の\(\left( w,q\right) \)に関して成立するため、制約付き要素需要関数\(z^{\ast }\)が存在する場合、費用関数\(c\)と制約付き要素需要関数\(z^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) :c\left( w,q\right) =w\cdot z^{\ast }\left( w,q\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、制約付き要素需要関数\(z^{\ast }\)が存在する場合には費用関数\(c\)が存在することが保証されます。

1生産物モデルにおいて生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合には制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }\)は非空値をとります。したがって以上の条件のもとで費用関数が存在することが保証されます。加えて、以上の条件のもとではベルジュの最大値定理が利用可能であるため、同定理を利用することにより、費用関数が連続であることも保証できます。

命題(費用関数が存在するための条件)
\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルにおいて生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)に加えて生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在するものとする。\(Y\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合には連続な費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。ただし、\begin{equation*}P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists x\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}である。

証明

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生産関数\(f\)が連続である場合には生産集合\(Y\)は連続性を満たし、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は操業停止可能性を満たし、\(f\)が単調増加(単調非減少)であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}^{N+1},\ \forall y\in \left[ 0,f\left( x\right) \right] :\left(
x,y\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は無償廃棄可能性を満たし、\(f\)が凹関数である場合に\(Y\)は凸性を満たし、\begin{equation*}\forall \left( x^{\prime },y^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:\left[ y^{\prime }>0\Rightarrow \exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N+1}:f\left( x\right) \geq y\wedge f\left( x+x^{\prime }\right)
<y+y^{\prime }\right] \end{equation*}が成り立つ場合に\(Y\)は中立性を満たします。\(f\)が以上の条件を満たす場合には上の命題が要求する条件がすべて満たされるため、連続な費用関数\(c\)が存在することが保証されます。

例(費用関数)
2生産要素1生産物モデルにおいて生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める場合、制約付き要素需要関数\(z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、それぞれの\(\left( w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}z^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right) =\left(
\begin{array}{c}
z_{1}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right) \\
z_{2}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{w_{2}}{w_{1}}\right) ^{\frac{1}{2}}q \\
\left( \frac{w_{1}^{{}}}{w_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}q\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}c\left( w_{1},w_{2},q\right) &=&w_{1}z_{1}^{\ast }\left(
w_{1},w_{2},q\right) +w_{2}z_{2}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right) \\
&=&w_{1}\left( \frac{w_{2}}{w_{1}}\right) ^{\frac{1}{2}}q+w_{2}\left( \frac{w_{1}^{{}}}{w_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}q \\
&=&w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}q+w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}q \\
&=&2w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}q
\end{eqnarray*}を定めます。\(w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}=\left( w_{1}w_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\)は多変数の単項式関数\(w_{1}w_{2}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であるため連続です。\(q\)は多変数の座標関数であるため連続です。したがって、\(2\sqrt{w_{1}w_{2}}q\)すなわち\(c\)は連続関数の積の定数倍であるため連続です。

 

費用関数は要素価格ベクトルに関して単調増加

費用最小化問題に直面した生産者の費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。\(w<w^{\prime }\)を満たす要素価格ベクトル\(w,w^{\prime}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と目標産出量\(q\in P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(w<w^{\prime }\)が成り立つこととは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :w_{i}\leq
w_{i}^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
:w_{i}<w_{i}^{\prime }
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。このとき、\begin{equation*}
c\left( w,q\right) \leq c\left( w^{\prime },q\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、目標産出量を一定にした上で少なくとも1つの生産要素の価格を上昇させる場合、費用最小化問題の最適解において生産者が直面する費用が減少することはありません。費用関数\(c\)は要素価格ベクトル\(w\)に関して単調増加(単調非減少)であるということです。

命題(費用関数は要素価格ベクトルに関して単調増加)
費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall q\in P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) :\left[ w<w^{\prime }\Rightarrow c\left( w,q\right) \leq
c\left( w^{\prime },q\right) \right] \end{equation*}を満たす。ただし、\begin{equation*}
P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists x\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}である。

証明

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例(費用関数は要素価格ベクトルに関して単調増加)
繰り返しになりますが、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める場合、費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}c\left( w_{1},w_{2},q\right) =2w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}q
\end{equation*}を定めます。\(\left( w_{1},w_{2}\right)<\left( w_{1}^{\prime },w_{2}^{\prime }\right) \)を満たす要素ベクトル\(\left(w_{1},w_{2}\right) ,\left( w_{1}^{\prime },w_{2}^{\prime }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と目標産出量\(q\in P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}c\left( w_{1},w_{2},q\right) &=&2w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}q\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &2\left( w_{1}^{\prime }\right) ^{\frac{1}{2}}\left( w_{2}^{\prime
}\right) ^{\frac{1}{2}}q\quad \because \left( w_{1},w_{2}\right) <\left(
w_{1}^{\prime },w_{2}^{\prime }\right) \text{かつ}q\geq 0 \\
&=&c\left( w_{1}^{\prime },w_{2}^{\prime },q\right) \quad \because \left(
1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(c\)は要素価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2}\right) \)に関して単調増加です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

費用関数は目標産出量に関して狭義単調増加

費用最小化問題に直面した生産者の費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するものとします。要素価格ベクトル\(w\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と\(q<q^{\prime }\)を満たす目標産出量\(q,q^{\prime }\in P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{equation*}c\left( w,q\right) <c\left( w,q^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、生産者が直面する生産要素の価格を一定にした上で目標産出量を上昇させる場合、費用最小化問題の最適解において生産者が直面する費用は増加します。費用関数\(c\)は目標産出量\(q\)に関して狭義単調増加であるということです。

命題(費用関数は目標産出量に関して狭義単調増加)
費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall w\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall q,q^{\prime }\in P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) :\left[ q<q^{\prime }\Rightarrow c\left( w,q\right) <c\left(
w,q^{\prime }\right) \right] \end{equation*}を満たす。ただし、\begin{equation*}
P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists x\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}である。

証明

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例(費用関数は目標産出量に関して狭義単調増加)
繰り返しになりますが、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める場合、費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}c\left( w_{1},w_{2},q\right) =2w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}q
\end{equation*}を定めます。要素ベクトル\(\left( w_{1},w_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と\(q<q^{\prime }\)を満たす目標産出量\(q,q^{\prime }\in P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}c\left( w_{1},w_{2},q\right) &=&2w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}q\quad \because \left( 1\right) \\
&<&2w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}q^{\prime }\quad \because
q<q^{\prime } \\
&=&c\left( w_{1},w_{2},q^{\prime }\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(c\)は目標産出量\(q\)に関して狭義単調増加です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

支出関数の1次同次性

費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)と制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)の間には、\begin{equation*}\forall \left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) ,\ \forall x^{\ast }\in Z^{\ast }\left( w,q\right) :c\left(
w,q\right) =w\cdot x^{\ast }
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、以上の関係と制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }\)が要素価格ベクトル\(w\)に関して0次同次であることを利用すると、費用関数\(c\)が要素価格ベクトル\(w\)に関して1次同次であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) ,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:c\left( \lambda w,q\right) =\lambda c\left( w,q\right)
\end{equation*}が導かれます。つまり、目標産出量を一定にした上ですべての生産要素の価格を同じ割合\(\lambda \)で変化させる場合、その変化の前後において最適な費用の水準もまた割合\(\lambda \)で変化します。

命題(費用関数の1次同次性)
費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は要素価格ベクトル\(w\)に関して1次同次性を満たす。
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例(費用関数の1次同次性)
繰り返しになりますが、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める場合、費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \)に対して、\begin{equation}c\left( w_{1},w_{2},q\right) =2w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}q
\quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。要素価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)と目標産出量\(q\in P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \)および\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}c\left( \lambda w_{1},\lambda w_{2},q\right) &=&2\left( \lambda
w_{1}\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \lambda w_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}q\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&2\lambda w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}q\quad \because \lambda >0
\\
&=&\lambda c\left( w_{1},w_{2},q\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(c\)は\(w\)に関して1次同次です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

費用関数は凹関数

費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)において目標産出量\(q\in P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)を任意の水準に固定した場合、\(e\)は要素価格ベクトル\(w\)を変数として持つ関数\(c\left(\cdot ,q\right) \)になりますが、これは凹関数になることが保証されます。つまり、\(q\in P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall w,w^{\prime }\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda c\left(
w,q\right) +\left( 1-\lambda \right) c\left( w^{\prime },q\right) \leq
c\left( \lambda w+\left( 1-\lambda \right) w^{\prime },q\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(費用関数は凹関数)
費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は要素価格ベクトル\(w\)に関して凹関数である。
証明

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例(費用関数は凹関数)
繰り返しになりますが、生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める場合、費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \)に対して、\begin{equation}c\left( w_{1},w_{2},q\right) =2w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}q
\quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(c\)は\(C^{2}\)級であるとともに、変数\(\left( w_{1},w_{2}\right) \)に関するヘッセ行列は、\begin{equation*}H_{c}\left( w_{1},w_{2}\right) =\begin{pmatrix}
-\frac{qw_{2}^{\frac{1}{2}}}{2w_{1}^{\frac{3}{2}}} & \frac{q}{2w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}} \\
\frac{q}{2w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}} & -\frac{qw_{1}^{\frac{1}{2}}}{2w_{2}^{\frac{3}{2}}}\end{pmatrix}\end{equation*}です。首座小行列式の値は、\begin{eqnarray*}
-\det \left( A_{1}\left( w_{1},w_{2}\right) \right) &=&-\det \left( -\frac{qw_{2}^{\frac{1}{2}}}{2w_{1}^{\frac{3}{2}}}\right) >0 \\
\det \left( A_{2}\left( w_{1},w_{2}\right) \right) &=&\det
\begin{pmatrix}
-\frac{qw_{2}^{\frac{1}{2}}}{2w_{1}^{\frac{3}{2}}} & \frac{q}{2w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}} \\
\frac{q}{2w_{1}^{\frac{1}{2}}w_{2}^{\frac{1}{2}}} & -\frac{qw_{1}^{\frac{1}{2}}}{2w_{2}^{\frac{3}{2}}}\end{pmatrix}=0
\end{eqnarray*}となるため、\(c\)は\(\left(w_{1},w_{2}\right) \)に関して凹関数です。

 

演習問題

問題(費用関数)
2生産要素1生産物モデルにおいて生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、制約付き要素需要関数\(z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、それぞれの\(\left( w_{1},w_{2},q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}z^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right) =\left(
\begin{array}{c}
z_{1}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right) \\
z_{2}^{\ast }\left( w_{1},w_{2},q\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{w_{2}}{w_{1}}q} \\
\sqrt{\frac{w_{1}}{w_{2}}q}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。費用関数\(c:\mathbb{R} _{++}^{2}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、それが連続であること、要素価格ベクトル\(\left(w_{1},w_{2}\right) \)に関して単調増加であること、目標産出量\(q\)に関して狭義単調増加であること、要素価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2}\right) \)に関して1次同次であること、要素価格ベクトル\(\left( w_{1},w_{2}\right) \)に関して凹関数であることをそれぞれ示してください。
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関連知識

1生産物モデルにおける生産集合

分析対象となる生産者にとって生産要素と生産物を事前に区別できる場合には、1生産物モデルと呼ばれるモデルを利用します。1生産物モデルにおける生産者の技術を生産集合として定式化します。

1生産物モデルにおける効率生産集合

1生産物モデルにおいて生産者が技術的に選択可能な2つの生産ベクトルが与えられたとき、一方が他方よりも、より少ない投入でより多くを生産できるのであれば、それは効率的であると言えます。

生産関数

1生産物モデルにおいて生産者の技術を生産集合と呼ばれる概念を用いて表現しましたが、生産者の技術を生産関数と呼ばれる関数を用いて表現することもできます。

1生産物モデルにおける生産集合の非空性

1生産物モデルにおいて生産者は生産集合に属する生産ベクトルを選ぶため、仮に生産集合が空集合であるならば、生産者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。

1生産物モデルにおける利潤最大化問題

N生産要素1生産物モデルおいて、与えられた価格ベクトルのもとで、技術制約と利潤最大化の条件をともに満たす生産ベクトルを特定する最適化問題を利潤最大化問題と呼びます。

要素需要関数と供給関数の0次同次性

要素需要関数と供給関数は価格ベクトルに関して0次同次です。つまり、要素価格と生産物価格が同じ割合で変化する前後において、利潤最大化問題の解は変化しません。

1生産物モデルにおける利潤最大化問題の解法

N生産要素1生産物モデルにおいてクーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルが利潤最大化問題の解であるための条件を明らかにした上で、利潤最大化問題の解を求める手法について解説します。

1生産物モデルにおける利潤最大化問題の内点解と端点解

N生産要素1生産物モデルにおける利潤最大化問題の解が内点解である場合、任意の2つの生産要素について、技術的限界代替率と価格比が一致します。端点解ではそのような関係は成り立つとは限りません。その理由と背景にあるメカニズムについて解説します。

生産者理論