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経済学 | 最新の教材

間接効用関数

間接効用関数の単調性

間接効用関数は価格ベクトルに関して単調減少(単調非増加)関数であるとともに、所得に関して単調増加(単調非減少)関数です。

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ストーン・ギアリー型効用関数

ストーン・ギアリー型効用関数

それぞれの商品に関して、消費者が生存を維持するために必ず消費しなければならない数量が設定されている状況を描写する効用関数をストーン・ギアリー型効用関数と呼びます。これはコブ・ダグラス型効用関数の一般化です。

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1次同次な効用関数

選好の相似拡大性(ホモセティックな選好)

無差別な消費ベクトル x,y を任意に選んだとき、すべての商品の消費量を同じ割合 α で増やして得られる消費ベクトル αx,αy どうしもまた無差別であるならば、選好は相似拡大性を満たすとか、ホモセティックであるなどと言います。1次同次関数であるような効用関数によって表現される選好は相似拡大性を満たします。

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効用関数

線型効用関数

消費者にとって複数の商品の間の主観的価値が一定であり両者が置き換え可能である場合、それらの商品を完全代替財と呼びます。完全代替財を消費する消費者の選好は線型効用関数によって表現されます。

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レオンチェフ型効用関数

レオンチェフ型効用関数

複数の商品が一定の割合で組み合わされて消費されることで意味を持つ場合、それらの商品を完全補完財と呼びます。完全補完財を消費する消費者の選好はレオンチェフ型効用関数によって表現されます。

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変換関数

生産集合の中立性

生産者理論において利潤最大化問題にベルジュの最大化定理を適用できることを保証するためには、生産集合に関して中立性を仮定することがあります。

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変換関数

生産集合の凸性

生産者理論では生産集合が凸集合であることを仮定することがあります。これは変換関数が準凸関数であること、または生産関数が凹関数であることを意味します。

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利潤最大化

利潤最大化問題の制約条件

利潤最大化問題にはそのままではベルジュの最大値定理を適用できないため、なるべく一般性を失わない形で、利潤最大化問題をベルジュの最大値定理が適用可能な形へ変換します。

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利潤最大化

利潤最大化問題

生産者理論では、生産者は自身が選択可能な生産ベクトルの中から自身が得られる利潤を最大化するようなものを選ぶものと仮定します。以上の仮定のもと、生産者が直面する問題を利潤最適問題として定式化します。

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変換関数

操業停止可能性

生産集合がゼロベクトルを要素として持つ場合、生産集合は商業停止可能性を満たすと言います。これは、生産者が投入や産出を一切行わないことが可能であることを意味します。

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変換関数

生産集合の連続性

生産集合が閉集合であることを仮定することにより、効率生産集合が存在することや変換関数(生産関数)が定義可能であることが保証できます。

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変換関数

生産集合の非空性

生産者は生産集合に属する生産ベクトルを選ぶため、仮に生産集合が空集合であるならば、生産者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。

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変換関数

変換関数(生産関数)

生産集合は生産者が技術的に選択可能なすべての生産ベクトルからなる集合であるため、生産者の技術は生産集合の形状として表現されます。一方、生産者の技術を変換関数や生産関数と呼ばれる関数を用いて表現することもできます。

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効率生産集合

効率生産集合

生産者が技術的に選択可能な生産ベクトルからなる集合として生産集合という概念を定義しましたが、仮に生産集合が複数の生産ベクトルを含む場合、生産者はその中から自身にとって最も望ましいものを選択する必要があります。では、どのような指標をもとに生産ベクトルどうしを比較すればよいでしょうか。最もシンプルな指標は効率性です。つまり、より少ない投入でより多くを生産できるのであればより望ましいという考え方です。効率性の概念を定式化します。

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生産集合

生産集合

現実の生産者は様々な制約に直面しているため、商品空間に属するすべての生産計画を選択できるわけではありません。そこで、生産者が選択可能な生産計画からなる商品空間の部分集合を生産集合と呼びます。

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生産者

生産者

モノやサービスを生産する主体を生産者と呼びます。生産者理論では、生産者はは自身が直面する選択肢集合の中から、自身の利潤を最大化するような選択肢を選ぶものと仮定します。

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コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化

支出関数

価格ベクトルと目標とする効用水準の組を入力とし、そこでの支出最小化問題の解における消費者の支出を出力する関数を支出関数と呼びます。

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コブ・ダグラス型効用関数のもとでの効用最大化

間接効用関数

価格ベクトルと所得の組を入力とし、そこでの効用最大化問題の解において消費者が得る効用を出力する関数を間接効用関数と呼びます。

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支出最小化

支出最小化問題の端点解

支出最小化問題の解において消費者は目標水準に等しい効用を得るとともに、少なくとも1つの商品の補償需要がゼロである場合、そのような解を端点解と呼びます。端点解において限界代替率と相対価格は一致するとは限りません。

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支出最小化

支出最小化問題の内点解

支出最小化問題の解においてすべての商品の補償需要が正の実数であるとき、そのような解を内点解と呼びます。内点解において任意の2つの商品の間の限界代替率と相対価格は一致します。

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支出最小化

支出最小化問題の解法

クーンタッカー条件を満たす消費ベクトルが支出最小化問題の解であるための必要条件や十分条件を明らかにした上で、支出最小化問題の解を求める具体的な手順について解説します。

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オイラーの定理

補償需要関数の0次同次性

ヒックスの補償需要対応(補償需要関数)は価格ベクトルに関して0次同次です。つまり、すべての商品の価格を同じ割合で増加させても支出最小化問題の解集合は変化しません。

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補償需要における非超過効用

効用関数が連続関数である場合、支出最小化問題の解において消費者は目標効用水準に等しい効用を得ることが保証されます。これは効用最大化問題におけるワルラスの法則に相当する条件です。

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コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化

ヒックスの補償需要関数

消費者が直面する支出最小化問題は価格ベクトルと目標となる効用水準に応じて変化します。そこで、価格ベクトルと目標効用水準のそれぞれの組に対して、そのときの支出最小化問題の解集合を定める対応をヒックスの補償需要対応(補償需要関数)と呼びます。

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支出最小化

支出最小化問題の制約条件

支出最小化問題にはそのままではベルジュの最大値定理を適用できないため、一般性を失わない形で、支出最小化問題をベルジュの最大値定理が適用可能な形へ変換します。

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コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化

支出最小化問題

価格ベクトルと目標となる効用水準が与えられたとき、目標水準以上の効用をもたらす消費ベクトルの中から支出を最小化するようなものを特定することを支出最小化問題と呼びます。

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ドブリューの定理

ドブリューの定理(効用関数の存在条件)

消費集合が凸集合であるようなユークリッド空間の部分集合であるとともに、選好関係が合理性(完備性および推移性)と連続性を満たす場合、その選好関係を表す効用関数が必ず存在します。これをドブリューの定理と呼びます。

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ドブリューの定理

可算集合上の効用関数の存在条件

消費集合が可算集合であり、なおかつ消費集合上に定義された選好関係が合理性の仮定(完備性および推移性)を満たす場合には、その選好関係を表す効用関数が存在するとともに、そのような関数を具体的に構成することができます。

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ドブリューの定理

有限集合上の効用関数の存在条件

消費集合が有限集合であり、なおかつ消費集合上に定義された選好関係が合理性の仮定(完備性および推移性)を満たす場合には、その選好関係を表す効用関数が存在するとともに、そのような関数を具体的に構成することができます。

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コブ・ダグラス型効用関数

コブ・ダグラス型効用関数

コブ・ダグラス型効用関数と呼ばれるクラスの効用関数を定義するとともに、その性質を解説します。コブ・ダグラス型効用関数は単調増加かつ1次同次な準凹関数であり、連続微分可能です。

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予算対応の0次同次性

予算対応の0次同次性

すべての商品の価格と所得が同じ割合で増加する場合には、その変化の前後において、予算制約を満たす消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合は変化しません。予算対応が満たす以上の性質を0次同次性と呼びます。関連してニュメレール(価値尺度財)についても解説します。

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予算対応の連続性

予算対応の連続性

予算対応が上半連続かつ下半連続である場合、すなわち連続対応である場合には、消費者が直面する最適化問題を解く際にベルジュの最大値定理を利用できるため、様々な望ましい性質を導くことができます。

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予算集合

予算集合のコンパクト性

消費者理論では予算集合がコンパクト集合であることを仮定することがあります。この仮定には、消費者が直面する最適化問題に解が存在することを保証する役割があります。

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コブ・ダグラス型効用関数のもとでの効用最大化

ワルラスの需要関数

価格ベクトルと所得のそれぞれの組に対して、そこでの効用最大化問題の解に相当する消費ベクトルを1つずつ定める関数をワルラスの需要関数と呼びます。ここでは需要関数が存在するための条件を紹介します。

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コブ・ダグラス型効用関数のもとでの効用最大化

効用最大化問題

消費者は予算集合に属する消費ベクトルの中から、自身の選好(効用関数)に照らし合わせて最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。このような仮定のもとで、消費者が直面する最適化問題を選好最大化問題(効用最大化問題)と呼びます。

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所得の限界効用

効用最大化問題の解が与えられたとき、そこから所得を限界的に増やして何らかの商品の支出に振り分けたときに得られる効用の増分を所得の限界効用と呼びます。所得の限界効用は間接効用関数を所得について偏微分することによっても得られます。

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効用最大化

効用最大化問題の端点解

効用最大化問題に解において消費者が所得をすべて使い切るとともに、少なくとも1つの商品の需要がゼロである場合、そのような解を端点解と呼びます。端点解において限界代替率と相対価格は一致するとは限りません。

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効用最大化

効用最大化問題の内点解

効用最大化問題の解において消費者は所得をすべて使い切るとともに、すべての商品の消費量が正の実数であるとき、そのような解を内点解と呼びます。内点解において、任意の2つの商品の限界代替率と相対価格は一致します。

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クーン・タッカーの定理

効用最大化問題の解法

クーン・タッカーの定理を用いて、効用最大化問題の解が満たす条件を明らかにします。さらに、ラグランジュの未定乗数法を使って効用最大化問題の解を求める方法を解説します。

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ロイの恒等式

需要関数と間接効用関数の間にはロイの恒等式と呼ばれる関係が成立するため、間接効用関数が与えられれば、そこから需要関数を再現することができます。

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ワルラスの法則

ワルラスの法則

消費者の選好が局所非飽和性を満たすとき、効用最大化問題の解において消費者は所得をすべて使い切ります。これをワルラスの法則と呼びます。

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需要関数

需要関数の0次同次性

すべての商品の価格と所得が同じ割合で増加したとき、その変化の前後において効用最大化問題の解が変化しない場合、需要対応(需要関数)は0次同次性を満たすと言います。需要対応の0次同次性は予算対応の0次同次性から導かれます。また、0次同次な需要関数を微分することによりオイラーの定理を導くことができます。

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限界代替率

限界代替率

ある消費ベクトルを出発点として、商品 i の消費量を 1 単位変化させてもなお、効用水準を保つために変化させる必要のある商品 j の量を、その消費ベクトルにおける商品 i の商品 j で測った限界代替率と呼びます。限界代替率は限界効用の比として表現できます。

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限界効用

限界効用

ある消費ベクトルを出発点とし、そこからある商品の消費量だけを1単位変化させたときに発生する効用の変化量を限界効用と呼びます。限界効用を効用関数の偏微分係数として定義します。限界効用の絶対的な水準は重要ではありません。

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準線型な効用関数

選好の準線型性

無差別な消費ベクトル x,y を任意に選んだとき、ある経済財の消費量だけを同じ割合で増やして得られる消費ベクトルどうしもまた無差別になるのであれば、選好はその経済財について準線型性を満たすと言います。準線型性を満たす選好は準線型効用関数によって特徴づけられます。

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選好の凸性

選好の凸性

消費ベクトル x 以上に望ましい消費ベクトル y,z を任意に選んだとき、それらを任意の割合で混ぜることで得られる消費ベクトルもまた x 以上に望ましいことが保証されるのであれば、選好は凸性を満たすと言います。凸性を満たす選好は準凹な効用関数によって特徴づけられます。

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局所非飽和性

選好の非飽和性

ある消費ベクトルが任意の消費ベクトル以上に望ましい場合、それを飽和点と呼びます。選好関係が非飽和性や局所非飽和性を満たすこととは、消費集合の中に飽和点が存在しないことを意味します。

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選好の単調性

選好の単調性

選好関係が単調性を満たすこととは、消費者はすべての商品をより多く消費することを好むことを意味します。選好を表す効用関数が存在するとき、選好関係が単調であることは効用関数が単調増加であることと必要十分です。

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上方位集合

選好の連続性

ある選好関係のもとで任意の消費ベクトルに関する狭義の上方位集合と狭義の下方位集合がともに消費集合上で開集合である場合、その選好関係は連続性を満たすと言います。連続性の仮定のもとでは消費者の選好が連続的に変化することが保証されます。また、連続な効用関数によって表現される選好は連続性を満たします。

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選好関係

非合理的な選好

合理性の仮定はそれほど無理のない仮定ですが、それでも実際の消費者の選好は合理性を満たさないケースがあります。コンドルセの逆説や消費者の選択肢が連続的に変化する場合などが典型的なケースです。

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