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AUCTION THEORY

単一財オークション

OVERVIEW

単一財オークション

1つの商品をめぐって複数の買い手たちが入札を行うオークションにおいて、それぞれの入札者は商品に対する評価額、すなわち商品に対して支払ってもよい金額を持っていますが、これは私的情報です。以上の状況において望ましいオークションルールを考察します。
TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

環境とメカニズム

1つの商品をめぐって複数の買い手たちが入札を行うオークションと、そこでのオークションルールをモデル化します。

準線型環境

単一財オークションを記述する環境において、任意の入札者の利得関数が非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定を満たす場合、そのような環境を準線型環境と呼びます。

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メカニズム

単一財オークション市場における資源配分ルールをメカニズムと呼ばれる概念として定式化します。

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メカニズムのもとでのゲーム

単一財オークション市場においてメカニズムを提示された入札者たちが直面する戦略的状況はベイジアンゲームとして定式化されます。そのようなゲームにおいて、それぞれの入札者は自身のタイプと信念にもとづいて他の入札者たちのタイプを予想し、その予想から算出される中間期待利得を最大化するような純粋戦略を採用するものと仮定します。

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共通事前分布とハーサニ変換

メカニズムのもとでのベイジアンゲームは不完備情報であり、そこに均衡は存在するとは限りません。一方、共通事前分布を導入してゲームをハサーニ変換すればゲームは完備情報ゲームになるため、均衡の存在を保証できるとともに分析が容易になります。

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分布独立性とIPVモデル

単一オークション環境において入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定するとともに、入札者たちのタイプに関して共通事前分布と分布独立性を仮定する場合、そのような環境をIPVモデルと呼びます。

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分布対称性とSIPVモデル

単一オークション環境において入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定するとともに、入札者たちのタイプに関して共通事前分布、分布独立性、分布対称性を仮定する場合、そのような環境をSIPVモデルと呼びます。

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SECTION 2

メカニズムの性質

オークションにおける資源配分ルールであるメカニズムが満たすべき望ましい性質について解説します。

誘因両立的メカニズム

メカニズムのもとでのベイジアンゲームにおいて、すべての入札者が正直戦略にしたがって入札することがベイジアンナッシュ均衡になる場合、そのようなメカニズムは誘因両立性を満たすと言います。

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個人合理的メカニズム

メカニズムのもとでのベイジアンゲームにおいて、すべての入札者がメカニズムに参加した場合に損をしないことが保証される場合、そのようなメカニズムは個人合理性を満たすと言います。

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予算均衡メカニズム

オークションを行った結果として主催者の収支が常に均衡するようなメカニズムを予算均衡メカニズムと呼び、主催者の収支が赤字にならないことを保証するメカニズムを弱予算均衡メカニズムと呼びます。

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効率的メカニズム

オークションを行った結果がパレート効率的であることが保証される場合、そのようなメカニズムは事後効率性を満たすと言います。特に、準線型環境における効率メカニズムは配分ルールの形状として特徴づけられます。

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SECTION 3

IPVモデルにおける同値定理

IPVモデルにおいて、配分ルールを共有する誘因両立的なメカニズムのもとでは、入札者の利得や支払い、オークションの主催者による収入などが一定になることを示します。

積分形式の包絡面定理

最大化問題に関する価値関数が積分形式で表現可能であるための条件を明らかにします。この命題はオークション理論における同値定理の理論的土台になります。

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IPVモデルにおける利得同値定理

配分ルールを共有する2つの誘因両立メカニズムを任意に選んだとき、一定の条件のもとでは、入札者が均衡において直面する中間期待利得は、入札者のタイプに関わらず、どちらのメカニズムを採用する場合でも一致します。これを利得同値定理と呼びます。

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IPVモデルにおける支払い同値定理

配分ルールを共有する2つの誘因両立メカニズムを任意に選んだとき、一定の条件のもとでは、入札者が均衡において直面する中間期待支払いは、入札者のタイプに関わらず、どちらのメカニズムを採用する場合でも一致します。これを支払い同値定理と呼びます。

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IPVモデルにおける収入同値定理

配分ルールを共有する2つの誘因両立メカニズムを任意に選んだとき、一定の条件のもとでは、オークションの主催者が直面する事前期待収入は、どちらのメカニズムを採用する場合でも一致します。これを収入同値定理と呼びます。

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マイヤーソンの定理

単一オークションのIPVモデルにおけるメカニズムが与えられたとき、任意の入札者の均衡中間利得関数が積分形式で表されるとともに均衡中間期待配分関数が単調増加であることは、そのメカニズムが誘因両立的であるための必要十分条件です。

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SECTION 4

SIPVモデルにおける同値定理

SIPVモデルにおける遂行可能メカニズムに関する同値定理について解説します。

SIPVモデルにおける利得同値定理

単一オークションのSIPVモデルにおいて異なるメカニズムを採用した場合においても、メカニズムの均衡において入札者が直面する期待利得が等しくなるための条件を明らかにします。

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SECTION 5

第二価格封印オークション(セカンドプライス・オークション)

グローヴスメカニズムやVCGメカニズム、第二価格封印オークションなどについて解説します。

グローヴスメカニズム

準線型環境において、グローヴスメカニズムと呼ばれるオークションルールを紹介した上で、それが耐戦略性と配分効率性を満たすことを証明します。

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グリーン=ラフォン=ホルムストロームの定理

単一財オークション環境において非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ場合、耐戦略的かつ配分効率的なメカニズムは必ずグローヴスメカニズムになります。これをグリーン=ラフォン=ホルムストロームの定理と呼びます。

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VCGオークション

クラークのピボットルールによって特徴づけられるグローヴスメカニズムをVCGオークションと呼びます。一定の条件のもと、VCGオークションは耐戦略性、配分効率性、事後個人合理性、弱予算均衡性を満たします。

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SECTION 6

第一価格封印オークション(ファーストプライス・オークション)

第一価格封印オークションについて解説します。

SECTION 7

競り上げ式公開オークション

イングリッシュ・オークションについて解説します。

競り上げ式公開オークション

オークションの主催者が最低値から価格を段階的に上げていき、最後の1人を除いたすべての入札者が脱落した時点で売買が成立し、落札者は最後の脱落者が脱落した価格に相当する金額を支払うオークションを競り上げ式公開オークションと呼びます。一定の条件のもと、これは第二価格封印オークションと戦略的に同等です。

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SECTION 8

競り下げ式公開オークション

ダッチオークションについて解説します。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

以下の分野の知識があると本節を問題なく読み進めることができます。

集合

集合に関するテキストと演習問題です。集合、写像、同値関係、集合の濃度などについて解説します。

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微分積分

微分は「変化」に関する学問です。微分を学べば物事や現象の「変化」を定量的に記述できるようになるだけでなく、変化がもたらす影響を評価したり、変化が起きる場での最適な状態を特定できるようになります。

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対応

集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。ここでは対応、対応による像、逆像(上逆像・下逆像)、逆対応、対応の連続性(上連続性・下連続性)、ベルジュの最大値定理、および不動点定理などについて解説します。

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