タイ・ブレークを考慮した第一価格封印オークション（ファーストプライス・オークション）

タイ・ブレークを考慮した第一価格封印オークション

分割不可能な1つの商品が売りに出される単一財オークションが環境\begin{equation*}
\left( I,\left\{ \theta _{i}\right\} _{i\in I},A\times \mathbb{R} ^{n},\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)は入札者集合、\(\theta _{i}\)は入札者\(i\)にとっての商品の評価額、\(A\times \mathbb{R} ^{n}\)は結果集合、\(u_{i}\left( \cdot,\theta _{I}\right) \)は入札者\(i\)が結果どうしを比較する利得関数です。以降では、入札者集合について、\begin{equation*}\left\vert I\right\vert =n\geq 2
\end{equation*}を仮定するとともに、SIPVモデルを議論の対象とします。具体的には、入札者の利得関数に関して準線型性、リスク中立性、私的価値、非外部性を仮定することになるため、入札者\(i\in I\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}であり、オークションの主催者が得る利得は、\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}t_{i}
\end{equation*}です。さらに、入札者たちのタイプに関して共通事前分布、分布独立性、分布対称性を仮定することになります。つまり、すべての入札者が同一のタイプ集合\begin{equation*}
\Theta =\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}を共有するとともに、それぞれの入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\in \Theta \)がしたがう確率分布が同一の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)および確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されます。加えて、入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta_{n}\)は互いに独立です。つまり、同時分布関数\(F_{I}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の状態\(\theta _{I}\in \left( \theta _{1},\cdots ,\theta_{n}\right) \in \Theta ^{n}\)に対して以下の関係\begin{equation*}F_{I}(\theta _{I})=F(\theta _{1})\times \cdots \times F(\theta _{n})
\end{equation*}が成り立つということです。

入札者たちが表明するタイプからなる組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall i,j\in I:\left( i\not=j\Rightarrow \hat{\theta}_{i}\not=\hat{\theta}_{j}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。全員の入札額が異なる状況を想定するということです。この場合、第一価格封印オークション\(\left(a,t\right) :\Theta _{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)定める結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)において入札者\(i\in I\)が直面する配分\(a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)および所得移転\(t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right. \\
&&\left( b\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\hat{\theta}_{i} & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}と定まります。条件\(\left( a\right) \)より、第一価格封印オークションのもとでは、最高額を入札した入札者が商品を確率\(1\)で入手し、それ以外の入札者は商品を手に入れられません。条件\(\left( b\right) \)より、商品を落札した入札者は自身の入札額に相当する金額を支払う必要がある一方で、それ以外の入札者に所得移転は課されません。

現実には複数の入札者の入札額が一致する状況は起こり得るため、そのような状況に対処できるよう、メカニズムを修正する必要があります。そこで、複数の入札者が最高額を入札してきた場合には、オークションの主催者はクジなどを用いてその中から1人をランダムに選んだ上で落札者と定めます。その上で、落札者は自身の入札額に相当する金額を支払う一方で、それ以外の入札者には所得移転は課さないものと定めます。正確には以下の通りです。

入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)のもとで最高額を入札した入札者からなる集合を、\begin{equation*}m\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{ i\in I\ |\ \hat{\theta}_{i}=\max
\left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\right\} \right\}
\end{equation*}で表記した上で、この集合に属する入札者の数を、\begin{equation*}
\left\vert m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right\vert
\end{equation*}で表記します。タイ・ブレークを考慮した第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) :\Theta _{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)定める結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)において入札者\(i\in I\)が直面する配分は、\begin{equation*}a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{\left\vert m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right\vert } & \left(
if\ i\in m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \\
0 & \left( if\ i\not\in m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。つまり、最高額を提示した入札者たちは各々が等しい確率で商品を入手できる一方で、それ以外の入札者たちが商品を落札できる確率はゼロです。集合\(m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)の中からランダムに選ばれた入札者が\(k\in m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)である場合、入札者\(i\)が直面する所得移転は、\begin{equation*}t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\hat{\theta}_{i} & \left( if\ i=k\right) \\
0 & \left( if\ i\not=k\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。つまり、落札者は自身の入札額に相当する金額を支払う一方で、それ以外の入札者たちには所得移転は課されません。最高額を入札したものの落札者として選ばれなかった入札者には所得移転は課されないことに注意してください。

真の状態が\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)である一方で入札額が\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)であるものとします。第一価格封印オークションのもとで入札者\(i\in I\)が最高額を入札した場合、すなわち、\begin{equation*}i\in m\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\end{equation*}である場合、入札者\(i\)が直面する利得の期待値は、\begin{eqnarray*}&&\frac{1}{\left\vert m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right\vert }\cdot
\left( \theta _{i}-\hat{\theta}_{i}\right) +\left( 1-\frac{1}{\left\vert
m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right\vert }\right) \cdot \left( 0\cdot
\theta _{i}-0\right) \\
&=&\frac{1}{\left\vert m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right\vert }\cdot
\left( \theta _{i}-\hat{\theta}_{i}\right)
\end{eqnarray*}です。その上で、入札者\(i\)が落札者として選定された場合に得る利得は、\begin{equation*}\theta _{i}-\hat{\theta}_{i}
\end{equation*}である一方で、落札者として選定されなかった場合に得る利得は、\begin{equation*}
0\cdot \theta _{i}-0=0
\end{equation*}です。また、入札者\(i\)が最高額を入札しなかった場合、すなわち、\begin{equation*}i\not\in m\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\end{equation*}である場合、入札者\(i\)が得る利得は、\begin{equation*}0\cdot \theta _{i}-0=0
\end{equation*}です。

タイ・ブレークを考慮した第一価格封印オークションのベイジアンナッシュ均衡

単一財オークションのSIPVモデルにおいて通常の第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)は誘因両立性を満たしません。ただし、入札者\(i\in I\)の純粋戦略\begin{equation*}s_{i}:\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \rightarrow \left[
\underline{\theta },\overline{\theta }\right] \end{equation*}がそれぞれの\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)に対して定める入札額が、\begin{eqnarray*}s_{i}\left( \theta _{i}\right) &=&\frac{\int_{\underline{\theta }}^{\theta
_{i}}\left[ x\cdot \left( n-1\right) \cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right] dx}{\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}} \\
&=&\theta _{i}-\frac{\underline{\theta }\cdot \left[ F\left( \underline{\theta }\right) \right] ^{n-1}}{\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}}-\frac{\int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left[ F\left(
x\right) \right] ^{n-1}dx}{\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}}
\\
&=&\theta _{i}-\frac{\int_{0}^{\theta _{i}}\left[ F\left( x\right) \right] ^{n-1}dx}{\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}}\quad \because
\underline{\theta }=0\text{の場合}
\end{eqnarray*}である場合、以上の純粋戦略からなる組\(s_{I}\in S_{I}\)は第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)におけるベイジアンナッシュ均衡になります。加えて、第一価格封印オークションは事後効率性と事後個人合理性を満たします。同様の条件のもとでは、タイ・ブレークを考慮した第一価格封印オークションもまた同様の性質を満たします。

先の命題を以下のように表現することもできます。

入札者のタイプが離散型の場合

入札者たちのタイプが連続型の確率変数であるようなSIPVモデルにおいては、通常の第一価格封印オークションのもとでのベイジアンナッシュ均衡と、タイ・ブレークを考慮した第一価格封印オークションのもとでのベイジアンナッシュ均衡が一致することが明らかになりました。一方、入札者たちのタイプ集合が離散型の確率変数である場合、タイ・ブレークを考慮すると、ベイジアンナッシュ均衡が存在しないような状況が起こり得ます。以下の例より明らかです。

演習問題