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非外部性の仮定

単一財オークションを描写する環境において、それぞれの入札者\(i\)の利得関数を、\begin{equation*}u_{i}\left( \cdot ,\cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と定義しました。つまり、入札者\(i\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\cdot ,\theta _{I}\right) \)は結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)を変数として持つ関数です。これは、入札者\(i\)が得る利得は自身が直面する配分\(a_{i}\)と所得移転\(t_{i}\)だけに依存するのではなく、他の入札者たちが直面する配分\(a_{-i}\)と所得移転\(t_{-i}\)にも依存することを意味します。ただ、単一財オークションの分析では多くの場合、入札者\(i\)にとって重要なのはそれぞれの結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \)において自身が直面する配分\(a_{i}\)と所得移転\(t_{i}\)だけであり、他のプレイヤーたちが直面する配分\(a_{-i}\)と所得移転\(t_{-i}\)は入札者\(i\)による結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \)の評価に影響を与えないものと仮定します。このような仮定を非外部性(non-externality)の仮定と呼びます。

入札者\(i\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が非外部性の仮定を満たすこととは、ある関数\(u_{i}\left( \cdot ,\cdot ,\theta _{I}\right) :\left[0,1\right] \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =u_{i}\left( a_{i},t_{i},\theta
_{I}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを意味します。つまり、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)から得る利得\(u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) \)は、他の入札者たちが直面する結果\(\left( a_{-i},t_{-i}\right) \)に依存せず\(u_{i}\left( a_{i},t_{i},\theta_{I}\right) \)で一定であるということです。

 

準線型性の仮定

単一財オークションを描写する環境において、入札者\(i\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、ある関数\(W_{i}\left( \cdot ,\theta_{I}\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)および\(v_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right):A\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =W_{i}\left( v_{i}\left(
a_{I},\theta _{I}\right) -t_{i},\theta _{I}\right)
\end{equation*}という形で表される場合には準線型性(quasi-linearity)の仮定が成り立つと言います。

準線型性の仮定は何を要求しているのでしょうか。まず、関数\(v_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \)は評価関数(value function)と呼ばれるものであり、これは配分\(a_{I}\)に対して、それと等価値な金銭\(v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) \)を値として返す関数です。\(v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) \)は配分\(a_{I}\)を金銭評価したものであるため、そこから自身に課される所得移転\(t_{i}\)を引いて得られる\(v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) -t_{i}\)は言わば自身が直面する結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)から入札者\(i\)が得る所得に相当します。したがって、\(v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) -t_{i}\)を変数として持つ関数\(W_{i}\left(\cdot ,\theta _{I}\right) \)は所得を評価する関数であり、これはベルヌーイ関数(Bernolli function)やフォン・ノイマン=モルゲンシュテルン関数(v.N-M function)などと呼ばれます。

一般に、入札者\(i\)が配分\(a_{I}\)の価値を金銭に置き換えて評価する場合、その評価は自身が直面する支払い\(t_{i}\)の水準に依存します。一方、準線型性の仮定のもとでは、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =W_{i}\left( v_{i}\left(
a_{I},\theta _{I}\right) -t_{i},\theta _{I}\right)
\end{equation*}となり、配分\(a_{I}\)の金銭価値\(v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) \)と支払い\(t_{i}\)とは独立した形で評価されます。加えて、準線型性の仮定のもとでは、ニュメレールではない商品に対する所得効果はゼロになるため、配分\(a_{I}\)の金銭価値\(v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) \)は入札者の所得水準にも依存しません。配分\(a_{I}\)の金銭価値が支払い\(t_{i}\)や所得水準に依存しないということは、入札者が所得上の制約に直面していないことを意味します。この場合、入札者はオークションの主催者から指示された任意の金額を支払うことができることになります。問題としているオークションにおいて売りに出されている商品がそれほど高額でない場合、これは現実的な仮定となります。

例(非外部性と準線型性の含意)
非外部性と準線型性を仮定する場合、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) &=&u_{i}\left(
a_{i},t_{I},\theta _{I}\right) \quad \because \text{非外部性} \\
&=&W_{i}\left( v_{i}\left( a_{i},\theta _{I}\right) -t_{i},\theta
_{I}\right) \quad \because \text{準線型性}
\end{eqnarray*}となります。つまり、以上の仮定のもとでは、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)から得る利得は、配分\(a_{i}\)を金銭評価\(v_{i}\left( a_{i},\theta _{I}\right) \)したものから自身に課される所得移転\(t_{i}\)を差し引いて得られる所得水準をベルヌーイ関数によって評価したものと一致します。

 

リスク中立性の仮定

繰り返しになりますが、準線型性を仮定する場合、入札者\(i\)が結果\(\left( a,t\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =W_{i}\left( v_{i}\left(
a_{I},\theta _{I}\right) -t_{i},\theta _{I}\right)
\end{equation*}となります。ただし、\(v_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)は配分の価値を金銭に置き換える評価関数であり、\(W_{i}\left( \cdot ,\theta_{I}\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は所得を評価するベルヌーイ関数です。

\(W_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \)は所得を変数とする関数であり、通常、増加関数であるものと仮定します。さらに、\(W_{i}\)の形状によって入札者のリスク選好は、\begin{eqnarray*}W_{i}\text{は凹関数} &\Leftrightarrow &\text{入札者}i\text{はリスク回避的} \\
W_{i}\text{は線型関数} &\Leftrightarrow &\text{入札者}i\text{はリスク中立的} \\
W_{i}\text{は凸関数} &\Leftrightarrow &\text{入札者}i\text{のリスク愛好的}
\end{eqnarray*}と分類されます。単一財オークションの分析では多くの場合、入札者はリスク中立的であるものと仮定します。このような仮定をリスク中立性(risk-neutral)の仮定と呼びます。準線型性とリスク中立性を仮定する場合、入札者\(i\)が結果\(\left( a,t\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得を、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{I}\right) -t_{i}
\end{equation*}と表現しても一般性は失われません。つまり、以上の仮定のもとでは、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)から得る利得は、配分\(a_{I}\)を金銭評価\(v_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) \)したものから自身に課される所得移転\(t_{i}\)を差し引いて得られる所得水準と一致します。

例(非外部性と準線型性とリスク中立性の含意)
非外部性と準線型性とリスク中立性を仮定する場合、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) &=&u_{i}\left(
a_{i},t_{I},\theta _{I}\right) \quad \because \text{非外部性} \\
&=&W_{i}\left( v_{i}\left( a_{i},\theta _{I}\right) -t_{i},\theta
_{I}\right) \quad \because \text{準線型性} \\
&=&v_{i}\left( a_{i},\theta _{I}\right) -t_{i}\quad \because \text{リスク中立性}
\end{eqnarray*}となります。つまり、以上の仮定のもとでは、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)から得る利得は、自身に割り当てられる配分\(a_{i}\)を金銭評価\(v_{i}\left( a_{i},\theta _{I}\right) \)したものから自身に課される所得移転\(t_{i}\)を差し引いて得られる所得水準と一致します。

 

私的価値の仮定

単一財オークションを描写する環境において、それぞれの入札者\(i\)の利得関数を、\begin{equation*}u_{i}\left( \cdot ,\cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と定義しました。つまり、入札者\(i\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\cdot ,\theta _{I}\right) \)の形状は自身にとっての商品への支払い意思額\(\theta _{i}\)だけでなく、他の入札者たちにとっての支払い意思額\(\theta _{-i}\)にも依存します。その理由は以前に解説した通りです。ただ、単一財オークションの分析では多くの場合、入札者の利得関数の形状は自身にとっての支払い意思額\(\theta _{i}\)のみに依存し、他の入札者たちの支払い意思額\(\theta _{-i}\)には依存しないものと仮定します。このような仮定を私的価値の仮定(private values)と呼びます。例えば、入札者はオークションを通じて入手した商品を転売せずに自身でそのまま利用する場合、他の入札者たちがその商品をどの程度評価するかは重要ではないため、このような状況は私的価値の仮定と整合的です。

入札者\(i\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が私的価値の仮定を満たすこととは、ある関数\(u_{i}\left( \cdot ,\cdot ,\theta _{i}\right):A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の結果\(\left( a,t\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}u_{i}\left( a,t,\theta _{I}\right) =u_{i}\left( a,t,\theta _{i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを意味します。つまり、入札者\(i\)が結果\(\left( a,t\right) \)から得る利得\(u_{i}\left( a,t,\theta _{I}\right) \)の水準は、他の入札者たちによる支払い意思額\(\theta _{-i}\)に依存せず一定であるということです。

入札者\(i\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が非外部性、準線型性、リスク中立性、そして私的価値の仮定を満たす場合、入札者\(i\)が結果\(\left( a,t\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{i}\left( a,t,\theta _{I}\right) &=&u_{i}\left( a_{i},t_{i},\theta
_{I}\right) \quad \because \text{非外部性} \\
&=&W_{i}\left( v_{i}\left( a_{i},\theta _{I}\right) -t_{i},\theta
_{I}\right) \quad \because \text{準線型性} \\
&=&v_{i}\left( a_{i},\theta _{I}\right) -t_{i}\quad \because \text{リスク中立性} \\
&=&v_{i}\left( a_{i},\theta _{i}\right) -t_{i}\quad \because \text{私的価値}
\end{eqnarray*}となります。\(v_{i}\left( a_{i},\theta_{i}\right) \)は商品への支払い意思額\(\theta _{i}\)を持つ入札者\(i\)が自身に割り当てられる配分\(a_{i}\)を金銭評価したものですが、\(a_{i}\)は入札者\(i\)が商品を入手する確率であることを踏まえると、\begin{equation*}v_{i}\left( a_{i},\theta _{i}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。この場合、自身が勝者であるという配分(\(a_{i}=1\))の金銭評価は商品への支払い意思額\(\theta _{i}\)と一致し、自身が敗者であるという配分(\(a_{i}=0\))の金銭評価は\(0\)と一致します。

議論を整理しましょう。入札者\(i\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が非外部性、準線型性、リスク中立性、そして私的価値の仮定を満たす場合、入札者\(i\)が結果\(\left( a,t\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a,t,\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}となります。この場合、勝者の利得は落札した商品への支払い意思額から自身に課せられる所得移転を差し引いた金額\(\theta_{i}-t_{i}\)と一致し、敗者の利得は自身に課せられる所得移転\(-t_{i}\)と一致します。

 

準線型環境

単一財オークションを記述する環境\begin{equation*}
\left( I,\left\{ \theta _{i}\right\} _{i\in I},A\times \mathbb{R} ^{n},\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\cdot ,\theta _{I}\right) \right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}において、任意の入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left(\cdot ,\cdot ,\theta _{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が準線型の仮定を満たす場合、そのような環境を準線型環境(quasi-linear environment)と呼びます。ただ、非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定をすべて満たす環境を準線型環境と呼ぶ場合もあります。

次回は単一財オークションにおける資源配分ルールをメカニズムと呼ばれる概念として定式化します。

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