SIPVモデルにおける利得同値定理

メカニズムの均衡における中間期待利得

単一オークション環境の中でもSIPVモデルを分析対象とします。つまり、入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定するとともに、入札者たちのタイプに関して共通事前分布、分布独立性、分布対称性を仮定するということです。つまり、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}であり、オークションの主催者が得る利得は、\begin{equation*}
\sum_{i\in I}t_{i}
\end{equation*}です。すべての入札者が同一のタイプ集合\begin{equation*}
\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}を共有するとともに、それぞれの入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)の分布は同一の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)および密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されます。つまり、入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)の値が\(x\in \mathbb{R} \)以下である確率が\(F\left(x\right) \)であるということです。また、\(f\)が連続である場合には、微分積分学の基本定理より、\begin{equation*}\frac{d}{dx}F\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。加えて、入札者たちのタイプ\(\theta_{1},\cdots ,\theta _{n}\)は互いに独立です。つまり、同時分布関数\(F_{I}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の状態\(\theta _{I}\in \left( \theta _{1},\cdots ,\theta_{n}\right) \in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] ^{n}\)に対して、\begin{equation*}F_{I}(\theta _{I})=F(\theta _{1})\times \cdots \times F(\theta _{n})
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

以上の仮定のもと、入札者集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}であるものとします。入札者\(i\in I\)とは異なる\(n-1\)人の入札者たちのタイプの中でも最大の値を特定する確率変数を\(\Omega _{-i}^{1}\)で表記するとともに、その確率分布を描写する分布関数を\(\Psi _{-i}^{1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記し、密度関数を\(\psi _{-i}^{1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。入札者\(i\in I\)と値\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、入札者\(i\)以外の任意の入札者\(j\)のタイプが\(x\)以下である確率は\(F\left( x\right) \)であるため、入札者\(i\)以外の\(n-1\)人の入札者たちのタイプの最大値が\(x\)である確率は、\begin{equation}\Psi _{-i}^{1}\left( x\right) =\left[ F\left( x\right) \right] ^{n-1}
\quad \cdots (1)
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\psi _{-i}^{1}\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\Psi _{-i}^{1}\left( x\right)
\quad \because \text{分布関数と密度関数の関係} \\
&=&\frac{d}{dx}\left[ F\left( x\right) \right] ^{n-1}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\left( n-1\right) \cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot \frac{d}{dx}F\left( x\right) \\
&=&\left( n-1\right) \cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot
f\left( x\right) \quad \because \text{分布関数と密度関数の関係}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\psi _{-i}^{1}\left( x\right) =\left( n-1\right) \cdot \left[ F\left(
x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}という関係もまた成立することに注意してください。

以上の仮定のもと、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)を均衡として遂行するものとします。つまり、メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでのベイジアンゲームにおいて\(s_{I}\)がベイジアンナッシュ均衡になるということです。この均衡\(s_{I}\)は正直戦略の組である必要はありません。つまり、メカニズム\(\left( a,t\right) \)は誘因両立的である必要はないということです。加えて、このメカニズム\(\left( a,t\right) \)の配分ルール\(a\)は上位落札性を満たすとともに、先の均衡\(s_{I}\)は対称的かつ単調増加であるものとします。ただし、配分ルール\(a\)が上位落札性を満たすこととは、任意の\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)に対して、\begin{equation*}a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つことを意味します。また、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が遂行する純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)が対称的であることとは、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall j\in I\backslash \left\{ j\right\} ,\ \forall
\theta _{I}\in \Theta _{I}:\left[ \theta _{i}=\theta _{j}\Rightarrow
s_{i}\left( \theta _{i}\right) =s_{j}\left( \theta _{j}\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味し、単調増加であることとは、\begin{equation*}
\forall i\in I,\ \forall \theta _{i},\theta _{i}^{\prime }\in \Theta _{i}:
\left[ \theta _{i}>\theta _{i}^{\prime }\Rightarrow s_{i}\left( \theta
_{i}\right) >s_{i}\left( \theta _{i}^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。

以上の仮定のもと、メカニズム\(\left( a,t\right) \)において入札者\(i\in I\)以外の入札者たちが均衡戦略\(s_{-i}\)にしたがって入札を行う状況を想定します。入札者\(i\)以外の入札者たちのタイプが\(\theta _{-i}\)である場合、彼らは均衡戦略\(s_{-i}\)のもとで\(s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \)を入札します。このとき、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者が真のタイプ\(\theta _{i}\)とは限らないタイプ\(\hat{\theta}_{i}\)に対して均衡戦略\(s_{i}\)が指定する入札額\(s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \)を入札する場合、それに対してメカニズム\(\left( a,t\right) \)は結果\begin{eqnarray*}&&\left( a\left( s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) ,s_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right) ,t\left( s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right)
,s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) \right) \\
&=&\left( \left( a_{i}\left( s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right)
,s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) \right) _{i\in I},\left(
t_{i}\left( s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) ,s_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right) \right) _{i\in I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}を定め、この結果において入札者\(i\)は確率\(a_{i}\left( s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) ,s_{-i}\left( \theta_{-i}\right) \right) \)で商品を落札する対価として所得移転\(t_{i}\left( s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right),s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) \)を課されます。ただ、実際には入札者\(i\)は他の入札者たちの真のタイプ\(\theta _{-i}\)を観察できないため、与えられた確率分布のもとで落札確率や所得移転の期待値を評価せざるを得ません。

仮定より配分ルール\(a\)は上位落札性を満たすとともに、均衡\(s_{I}\)は対称的かつ単調増加であるため、入札者\(i\)が入札額\(s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \)を申告したときに商品を落札できる確率は、他の買い手たちのタイプの中の最大値が\(\hat{\theta}_{i}\)以下である確率\(\Psi _{-i}^{1}\left( \hat{\theta}_{i}\right) =\left[F\left( \hat{\theta}_{i}\right) \right] ^{n-1}\)と一致します。入札者\(i\)が商品を落札した場合、落札した商品から評価額\(\theta _{i}\)に相当する利得を得ます。その一方で、入札者\(i\)が直面する所得移転の期待値は中間期待支払い\(E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right),s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \)に他なりません。以上を踏まえると、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が入札額\(s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \)を入札する場合に直面する中間期待利得は、\begin{eqnarray*}&&\Psi _{-i}^{1}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \cdot \theta _{i}-E_{\theta
_{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) ,s_{-i}\left(
\theta _{-i}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \\
&=&\left[ F\left( \hat{\theta}_{i}\right) \right] ^{n-1}\cdot \theta
_{i}-E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right)
,s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \end{eqnarray*}となります。以上の中間期待利得の値は入札者\(i\)が利用するタイプ\(\hat{\theta}_{i}\)と真のタイプ\(\theta _{i}\)の双方に依存することを踏まえた上で、それぞれの組\(\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{i}\right) \in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \times \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)に対して、上の中間期待利得\begin{equation*}U_{i}\left( s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) ,\theta _{i}\right) =\left[
F\left( \hat{\theta}_{i}\right) \right] ^{n-1}\cdot \theta _{i}-E_{\theta
_{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) ,s_{-i}\left(
\theta _{-i}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \end{equation*}を値として返す関数\begin{equation*}
U_{i}\left( s_{i}\left( \cdot \right) ,\cdot \right) :\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \times \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを入札者\(i\)の中間期待利得関数と呼ぶこととします。つまり、入札者\(i\)の中間期待利得関数\(U_{i}\)とは、メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとで他の入札者たちが均衡戦略\(s_{-i}\)にしたがって入札するという前提のもと、入札者\(i\)のタイプが\(\theta _{i}\)であるときに真のタイプ\(\theta _{i}\)とは限らないタイプ\(\hat{\theta}_{i}\)に対して均衡戦略\(s_{i}\)が指定する入札額\(s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \)を入札した場合に直面する中間期待利得\(U_{i}\left( s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right),\theta _{i}\right) \)を特定する関数です。

均衡の定義より、他のプレイヤーたちが均衡戦略\(s_{-i}\)にしたがって入札する場合、入札者\(i\)のタイプが\(\theta_{i}\)である場合の最適な入札額は\(s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \)ではなく\(s_{i}\left( \theta _{i}\right) \)です。つまり、入札者\(i\)を含めた全員が均衡戦略\(s_{I}\)にしたがった場合、均衡においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が直面する中間期待利得は、中間期待利得関数\(U_{i}\)を用いて、\begin{equation*}U_{i}\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,\theta _{i}\right) =\left[
F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}\cdot \theta _{i}-E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,s_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \end{equation*}と表すことができます。これは入札者\(i\)の真のタイプ\(\theta _{i}\)のみに依存することを踏まえた上で、入札者のそれぞれのタイプ\(\theta_{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)に対して、\begin{equation*}V_{i}\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) \right) =U_{i}\left( s_{i}\left(
\theta _{i}\right) ,\theta _{i}\right)
\end{equation*}を値として返す関数\begin{equation*}
V_{i}\left( s_{i}\left( \cdot \right) \right) :\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを入札者\(i\)の均衡中間期待利得関数と呼ぶこととします。つまり、入札者\(i\)の均衡中間期待利得関数\(V_{i}\)とは、メカニズムの均衡\(s_{I}\)において、入札者\(i\)がそれぞれのタイプ\(\theta _{i}\)のもとで得られる中間期待利得\(V_{i}\left( s_{i}\left(\theta _{i}\right) \right) \)を明らかにする関数です。

均衡の定義より、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)は均衡戦略\(s_{i}\)のもとで\(s_{i}\left( \theta _{i}\right) \)を入札することが最適であるため、入札者\(i\)が利用するタイプ\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)と真のタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、中間期待利得関数\(U_{i}\)と均衡中間期待利得関数\(V_{i}\)の間には、\begin{equation*}V_{i}\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) \right) \geq U_{i}\left(
s_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) ,\theta _{i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

積分形式で表現された均衡中間期待利得関数

中間期待利得関数\(U_{i}\left(s_{i}\left( \cdot \right) ,\cdot \right) :\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \times \left[ \underline{\theta },\overline{\theta
}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)において、入札者\(i\)が利用するタイプ\(\hat{\theta}_{i}\)を変数とみなし、入札者\(i\)の真のタイプ\(\theta_{i}\)をパラメータとみなします。パラメータであるタイプの値\(\theta _{i}\)を適当に選んだ上で関数\(U_{i}\)に代入すると変数\(\hat{\theta}_{i}\)に関する関数\(U_{i}\left( s_{i}\left( \cdot \right) ,\theta _{i}\right) :\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が得られるため、この関数を目的関数とする最大化問題\begin{equation*}\sup_{\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] }U_{i}\left( s_{i}\left( \cdot \right) ,\theta _{i}\right)
\end{equation*}を構成できます。

均衡の定義より、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)は真のタイプにもとづく入札額\(s_{i}\left( \theta _{i}\right) \)を表明することにより中間期待利得を最大化できるため、この最大化問題に関する価値関数は、それぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)に対して、均衡中間期待利得\begin{eqnarray*}V_{i}\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) \right) &=&U_{i}\left(
s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,\theta _{i}\right) \\
&=&\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}\cdot \theta
_{i}-E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right)
,s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \end{eqnarray*}を値として定める均衡中間期待利得関数\(V_{i}\left( s_{i}\left( \cdot \right) \right) :\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と一致します。また、この最大化問題に関する最適選択関数\(X^{\ast }:\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \rightarrow \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)は、それぞれのタイプ\(\theta_{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)に対して、\begin{equation*}X^{\ast }\left( \theta _{i}\right) =\theta _{i}
\end{equation*}を定めます。

均衡中間期待利得関数を以上の形でパラメータ付き最大化問題の価値関数と位置づける理由は、包絡面定理を用いて均衡中間期待利得関数を積分形式で表現するためです。実際、上のモデルは包絡面定理が要求する条件を満たすため、均衡中間利得関数を以下のように積分形式で表現できます。

均衡中間期待利得に関する同値定理

均衡中間期待利得関数が積分形式で表現されることを踏まえると以下が導かれます。これを利得同値定理（payoff equivalence thoerem）と呼びます。

上の命題の証明から明らかになったように、SIPVモデルにおいて2つのメカニズム\(\left(a^{1},t^{1}\right) ,\left( a^{2},t^{2}\right) \)およびそこでの均衡\(s_{I}^{1},s_{I}^{2}\)が命題中の条件を満たす場合には、任意の入札者\(i\)について、\begin{equation*}\forall \theta _{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] :V_{i}^{1}\left( s_{i}^{1}\left( \theta _{i}\right) \right) -V_{i}^{2}\left(
s_{i}^{2}\left( \theta _{i}\right) \right) =V_{i}^{1}\left( s_{i}^{1}\left(
\underline{\theta }\right) \right) -V_{i}^{2}\left( s_{i}^{2}\left(
\underline{\theta }\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。右辺\(V_{i}^{1}\left(s_{i}^{1}\left( \underline{\theta }\right) \right) -V_{i}^{2}\left(
s_{i}^{2}\left( \underline{\theta }\right) \right) \)は定数であるため、以上の事実は、均衡中間期待利得関数\(V_{i}^{1}\left( s_{i}^{1}\left(\theta _{i}\right) \right) ,V_{i}^{2}\left( s_{i}^{2}\left( \theta
_{i}\right) \right) \)のグラフが互いに平行であることを意味します。特に、\begin{equation*}V_{i}^{1}\left( s_{i}^{1}\left( \underline{\theta }\right) \right)
=V_{i}^{2}\left( s_{i}^{2}\left( \underline{\theta }\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\forall \theta _{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] :V_{i}^{1}\left( s_{i}^{1}\left( \theta _{i}\right) \right) =V_{i}^{2}\left(
s_{i}^{2}\left( \theta _{i}\right) \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \theta _{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] :E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}^{1}\left( s_{I}^{1}\left( \theta _{I}\right)
\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}^{1}\left( s_{I}^{1}\left( \theta _{I}\right)
\right) \ |\ \theta _{i}\right] =E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}^{2}\left(
s_{I}^{2}\left( \theta _{I}\right) \right) \cdot \theta _{i}-t_{i}^{2}\left(
s_{I}^{2}\left( \theta _{I}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \end{equation*}を得ます。つまり、入札者\(i\)がそれぞれのメカニズムの均衡において直面する中間期待利得は、入札者\(i\)のタイプに関わらず、どちらのメカニズムを採用する場合でも一致するということです。このような意味において上の命題が利得同値定理と呼ばれます。

均衡事前期待利得に関する同値定理

均衡における事前期待利得に関しても同値定理が成り立ちますが、その前に、均衡における事前期待利得を積分形式で表現します。

上の命題から以下が導かれます。

上の命題の証明から明らかになったように、SIPVモデルにおいて2つのメカニズム\(\left(a^{1},t^{1}\right) ,\left( a^{2},t^{2}\right) \)およびそこでの均衡\(s_{I}^{1},s_{I}^{2}\)が命題中の条件を満たす場合には、任意の入札者\(i\)について、\begin{eqnarray*}&&E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}^{1}\left( s_{I}^{1}\left( \theta _{I}\right)
\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}^{1}\left( s_{I}^{1}\left( \theta _{I}\right)
\right) \right] -E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}^{2}\left( s_{I}^{2}\left(
\theta _{I}\right) \right) \cdot \theta _{i}-t_{i}^{2}\left( s_{I}^{2}\left(
\theta _{I}\right) \right) \right] \\
&=&V_{i}^{1}\left( s_{i}^{1}\left( \underline{\theta }\right) \right)
-V_{i}^{2}\left( s_{i}^{2}\left( \underline{\theta }\right) \right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。右辺\(V_{i}^{1}\left(s_{i}^{1}\left( \underline{\theta }\right) \right) -V_{i}^{2}\left(
s_{i}^{2}\left( \underline{\theta }\right) \right) \)は定数ですが、特に、\begin{equation*}V_{i}^{1}\left( s_{i}^{1}\left( \underline{\theta }\right) \right)
=V_{i}^{2}\left( s_{i}^{2}\left( \underline{\theta }\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}^{1}\left( s_{I}^{1}\left( \theta _{I}\right)
\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}^{1}\left( s_{I}^{1}\left( \theta _{I}\right)
\right) \right] =E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}^{2}\left( s_{I}^{2}\left(
\theta _{I}\right) \right) \cdot \theta _{i}-t_{i}^{2}\left( s_{I}^{2}\left(
\theta _{I}\right) \right) \right] \end{equation*}を得ます。つまり、入札者\(i\)がそれぞれのメカニズムの均衡において直面する事前期待利得は、どちらのメカニズムを採用する場合でも一致するということです。このような意味において上の命題もまた利得同値定理と呼ばれます。