単一財オークションのモデル（環境）

単一財オークション

1つの商品をめぐって複数の買い手たちが入札を行うオークションを想定します。ただし、問題としている商品は複数に分割できないものとします。それぞれの入札者は商品に対する評価額、すなわち商品に対して支払ってもよい金額を想定しています。商品への評価額は入札者ごとに異なりますが、これは入札者の私的情報であり、他の人たちはそれを事前に観察できません。以上のような資源配分問題を単一財オークション（single object auction）と呼びます。

プレイヤー集合

単一財オークションをモデルとして定式化します。まずはプレイヤーの表現です。単一財オークションに参加するすべての入札者（bidder）からなる集合を入札者集合（bidder set）と呼び、これを\(I\)で表記します。特に、有限\(n\)人の入札者がオークションに参加する場合、入札者集合を、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}と特定します。入札者集合\(I\)に属する\(i\ \left(=1,2,\cdots ,n\right) \)番目のプレイヤーを入札者\(i\)（bidder \(i \)）と呼びます。\(i\in I\)です。

商品の売り手をオークションのプレイヤーに含めるべきかどうかは重要な問題です。商品の所有者がオークションの主催者に商品の販売を委託する場合や、売り手自身がオークションを主催する場合などには、売り手をオークションのプレイヤーに含める必要はありません。一方、売り手もまた商品の販売希望額を提示するタイプのオークション（ダブルオークション）では、売り手もまた入札者とともにオークションのプレイヤーとみなした上で分析を行う必要があります。以降では、特に断りのない場合において、入札者だけをオークションのプレイヤーとみなした上で分析を行います。

評価額（タイプ）

単一財オークションにおいて、それぞれの入札者\(i\in I\)は商品に対して支払ってもよい金額を頭の中で想定しているものとします。そのような金額の最大値を商品への評価額（valuation）や支払い意思額（willingness to pay）もしくはタイプ（type）などとと呼び、これを、\begin{equation*}
\theta _{i}\in \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。つまり、入札者は問題としている商品に対して最大で\(\theta _{i}\)まで支払ってもよいと考えているということです。

多くの場合、任意の入札者\(i\)について、\begin{equation*}\theta _{i}\geq 0
\end{equation*}が成り立つことを仮定します。つまり、任意の入札者による商品への評価額が非負の実数であることを仮定するということです。

すべての入札者による商品への評価額からなる組を、\begin{equation*}
\theta _{I}=\left( \theta _{i}\right) _{i\in I}
\end{equation*}で表記し、これを評価額プロファイル（valuation profile）やタイププロファイル（type profile）などと呼びます。入札者\(i\)以外の入札者たちの評価額からなる組を、\begin{equation*}\theta _{-i}=\left( \theta _{j}\right) _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }
\end{equation*}で表記します。\(\theta _{I}=\left(\theta _{i},\theta _{-i}\right) \)です。

オークションの結果

オークションにおいて起こり得る結果を記述するためには、商品を入手する入札者と、入札者に課される所得移転（落札した商品への支払い額など）をそれぞれ特定する必要があります。以降で順番に解説します。

単一財オークションを行った結果として商品がどのような形でエージェントたちの間に配分されるかを特定する情報を配分（allocation）と呼びます。具体的には、入札者集合\(I\)が与えられたとき、個々の配分は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}\in \left[ 0,1\right] \\
&&\left( b\right) \ \sum_{i\in I}a_{i}\leq 1
\end{eqnarray*}を満たす組\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{i}\right) _{i\in I}
\end{equation*}として定義されます。ただし、配分\(a_{I}\)の成分である\(a_{i}\)は、\(a_{I}\)のもとで入札者\(i\)が商品を入手する確率に相当します。

条件\(\left( a\right) \)は、配分\(a_{I}\)においてそれぞれの入札者\(i\)が商品を入手する確率が\(0\)以上\(1\)以下であることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、配分\(a_{I}\)において何らかの入札者が商品を落札する確率が\(1\)以下であることを意味します。したがって、配分\(a_{I}\)において商品がいかなる落札者によっても落札されない（商品が売れ残る）確率は、\begin{equation*}1-\sum_{i\in I}a_{i}
\end{equation*}となります。組\(a_{I}\)が配分である場合、すなわち\(a_{I}\)が以上の条件を満たす場合、\(a_{I}\)を実行することが物理的かつ確率的に可能です。そのようなこともあり、配分のことを実現可能な配分（feasible allocation）と呼ぶこともあります。すべての実現可能な配分からなる集合を、\begin{equation*}A
\end{equation*}で表記し、これを配分集合（allocation set）と呼びます。\(a_{I}\in A\)です。

配分\(a_{I}\)において\(a_{i}=1\)が成り立つ場合、すなわち入札者\(i\)が商品を確実に入手する場合には、入札者\(i\)を勝者（winner）と呼びます。一方、\(a_{i}=0\)が成り立つ場合、すなわち入札者\(i\)が商品を入手できる可能性が存在しない場合、入札者\(i\)を敗者（lower）と呼びます。

単一財オークションを行った結果としてエージェントたちに課される所得移転を特定する情報を所得移転（transfer）と呼びます。具体的には、入札者集合\(I\)が与えられたとき、個々の所得条件は以下の条件\begin{equation*}\forall i\in I:t_{i}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たす組\begin{equation*}
t_{I}=\left( t_{i}\right) _{i\in I}
\end{equation*}として定義されます。ただし、所得移転\(t_{I}\)の成分である\(t_{i}\)は、\(t_{I}\)のもとで入札者\(i\)に課される所得移転であり、上の条件より、これは任意の実数を値としてとり得るとともに、\begin{eqnarray*}t_{i} &>&0\Leftrightarrow \text{入札者}i\text{は}t_{i}\text{だけ支払う} \\
t_{i} &<&0\Leftrightarrow \text{入札者}i\text{は}t_{i}\text{だけ受け取る} \\
t_{i} &=&0\Leftrightarrow \text{入札者}i\text{の収支は均衡}
\end{eqnarray*}と解釈されます。

所得移転\(t_{I}\)が与えられたとき、すべての入札者による所得移転の総和\begin{equation*}\sum_{i\in I}t_{i}
\end{equation*}をとると、これはオークションの主催者に課される所得移転に相当します。つまり、\begin{eqnarray*}
\sum_{i\in I}t_{i} &>&0\Leftrightarrow \text{主催者の収支は黒字} \\
\sum_{i\in I}t_{i} &<&0\Leftrightarrow \text{主催者の収支は赤字} \\
\sum_{i\in I}t_{i} &=&0\Leftrightarrow \text{主催者の収支は均衡}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

任意の入札者\(i\in I\)に課される所得移転は\(t_{i}\in \mathbb{R} \)を満たすため、所得移転\(t_{I}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の点として表現されます。起こり得るすべての所得移転からなる集合\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\end{equation*}を所得移転集合（transfer set）と呼びます。\(t_{I}\in \mathbb{R} ^{n}\)です。

単一財オークションにおける結果（outcome）とは、配分と所得移転の組\begin{equation*}
\left( a_{I},t_{I}\right)
\end{equation*}として定義されます。結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)において、入札者\(i\)は商品を確率\(a_{i}\)で入手する対価として所得移転\(t_{i}\)が課されます。また、商品が売れ残る確率は、\begin{equation*}1-\sum_{i\in I}a_{i}
\end{equation*}であり、オークションの主催者に課される所得移転は、\begin{equation*}
\sum_{i\in I}t_{i}
\end{equation*}となります。起こり得るすべての結果からなる集合\begin{equation*}
A\times \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を結果集合（outcome set）と呼びます。\(\left( a_{I},t_{I}\right)\in A\times \mathbb{R} ^{n}\)です。

利得関数

それぞれの入札者\(i\)は商品への評価額\(\theta _{i}\)を持っていますが、単一財オークションにおいて起こり得る帰結が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)として表現されることを踏まえると、入札者\(i\)は商品への評価額\(\theta _{i}\)だけでなく、結果どうしを比較する評価体系を持っていなければ、オークションにおいて起こり得る帰結を評価できないことになってしまいます。そこで、それぞれの入札者\(i\)は結果集合\(A\times \mathbb{R} ^{n}\)上に定義された関数\begin{equation*}u_{i}:A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を持っているものとし、これを入札者\(i\)の利得関数（payoff function）と呼びます。また、利得関数\(u_{i}\)が結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を、入札者\(i\)が結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \)から得る利得（payoff）と呼びます。その上で、2つの結果\(x,y\in A\times \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}u_{i}\left( x\right) &\geq &u_{i}\left( y\right) \Leftrightarrow \text{入札者}i\text{は}x\text{を}y\text{以上に好む} \\
u_{i}\left( x\right) &>&u_{i}\left( y\right) \Leftrightarrow \text{入札者}i\text{は}x\text{を}y\text{よりも好む} \\
u_{i}\left( x\right) &=&u_{i}\left( y\right) \Leftrightarrow \text{入札者}i\text{は}x\text{を}y\text{と同じ程度好む}
\end{eqnarray*}を満たすものとして\(u_{i}\)は定義されます。つまり、利得関数を用いれば、結果どうしの相対的な望ましさを、結果がもたらす利得の大小関係として表現できるということです。

入札者\(i\)が商品を不要と考えている場合には、入札者\(i\)は商品を落札せず支払いも行わない結果を好むと考えるのが自然です。逆に、入札者\(i\)が商品を高く評価している場合には、商品を正の確率で落札し、支払いを行う結果を好むと考えるのが自然です。このような事情を踏まえると、入札者\(i\)の利得関数\(u_{i}\)の形状は自身にとっての商品の評価額\(\theta _{i}\)に依存して変化するものと考えられるため、入札者\(i\)の利得関数を、\begin{equation*}u_{i}\left( \cdot ,\theta _{i}\right)
\end{equation*}と表記すべきです。

入札者\(i\)の利得関数\(u_{i}\)の形状は、自分にとっての商品の評価額\(\theta _{i}\)に依存するだけではなく、他の入札者たちにとっての商品の評価額\(\theta _{-i}\)に依存する状況も起こり得ます。例えば、入札者\(i\)が落札した商品を転売することを見越した上でオークションに参加する場合、他の入札者たちが商品を低く評価しているならば、入札者\(i\)は商品を落札せず支払いも行わない結果を好むと考えるのが自然です。逆に、他の入札者たちが商品を高く評価している場合には、商品を正の確率で落札し、支払いを行う結果を好むと考えるのが自然です。このような事情を踏まえると、入札者\(i\)の利得関数\(u_{i}\)の形状は自身にとっての商品の評価額\(\theta _{i}\)だけでなく、他の入札者たちにとっての商品の評価額\(\theta _{-i}\)にも依存して変化するものと考えられるため、入札者\(i\)の利得関数を、\begin{equation*}u_{i}\left( \cdot ,\theta _{i},\theta _{-i}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right)
\end{equation*}と表記すべきです。

環境

単一財オークションを表現するモデルの要素は以上ですべてです。つまり、単一財オークションを描写するためには、そこに参加する入札者からなる集合\(I\)、それぞれの入札者\(i\in I\)にとっての商品の評価額\(\theta _{i}\)、結果集合\(A\times \mathbb{R} ^{n}\)、それぞれの入札者\(i\)が結果どうしを比較する利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta_{I}\right) :A\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を特定する必要があります。以上の要素からなるモデルを、\begin{equation*}\left( I,\left\{ \theta _{i}\right\} _{i\in I},A\times \mathbb{R} ^{n},\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}と表記し、これによって単一財オークションの定義とします。このようなモデルを環境（environment）と呼ぶこともできます。

演習問題