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誘因両立的メカニズム

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誘因両立的なメカニズム

単一財オークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left(a,t\right) \)において純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)が均衡になる場合、それぞれの状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において、それぞれの入札者\(i\in I\)は自身の均衡戦略\(s_{i}\)にもとづいて最適な支払い意思額\(s_{i}\left( \theta_{i}\right) \in \Theta _{i}\)を入札します。状態\(\theta _{I}\)において入札者たちが入札する支払い意思額の組を\(s_{I}\left( \theta _{I}\right) =\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right)\right) _{i\in I}\)と表記するのであれば、それに対してメカニズム\(\left( a,t\right) \)は以下の結果\begin{equation*}\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,t\left( s_{I}\left(
\theta _{I}\right) \right) \right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を選択します。このとき、メカニズム\(\left(a,t\right) \)は状態\(\theta _{I}\)において上の結果を遂行する(implement)と言います。また、上の結果を状態\(\theta _{I}\)における均衡結果(equilibrium outcome)と呼びます。

一般に、メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)に均衡は存在するとは限りません。しかし、仮にオークションの主催者が、ゲーム\(G\left( a,t\right) \)に均衡が存在することが保証されるようなメカニズム\(\left( a,t\right) \)の設計に成功したとしましょう。均衡は入札者たちにとっての最適戦略の組であるため、入札者たちが利己的に行動することを前提とした場合においても、そのようなメカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでは、それぞれの状態\(\theta _{I}\)において、主催者は均衡結果\(\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,t\left( s_{I}\left(\theta _{I}\right) \right) \right) \)を遂行できることになります。言い換えると、均衡が存在するようなメカニズムの設計に成功すれば、入札者たちの行動を均衡へ導くことに成功し、それぞれの状態\(\theta _{I}\)において、そこでの均衡結果\(\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right),t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right) \)が実現することを予測できるようになります。

では、オークションの主催者は入札者たちをどのような均衡へ誘導すべきでしょうか。単一財オークション市場においてインセンティブの問題が発生する原因は、入札者たちが商品への支払い意思額を私的情報として持っていることにあります。インセンティブの問題を解決するためには、何らかの方法を通じて情報の非対称性を解消する必要があります。具体的には、それぞれの入札者にとって、自分の真の支払い意思額を正直に入札することが得であるようなメカニズムを設計すれば、そのようなメカニズムのもと、入札者たちは自分の真の支払い意思額を進んで正直に入札するため、結果として情報の非対称性は解消されます。

繰り返しになりますが、メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)において、それぞれの入札者\(i\in I\)の純粋戦略は写像\(s_{i}:\Theta _{i}\rightarrow \Theta _{i}\)として定式化されます。この純粋戦略\(s_{i}\)のもとで、入札者\(i\)は自分のタイプが\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)である場合に支払い意思額\(s_{i}\left( \theta _{i}\right) \in \Theta _{i}\)を入札します。特に、入札者\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}\left( \theta _{i}\right) =\theta
_{i}
\end{equation*}を満たすとき、すなわち、入札者\(i\)が純粋戦略\(s_{i}\)のもとで常に自身の真の支払い意思額をそのまま正直に申告する場合、このような\(s_{i}\)を正直戦略(honest strategy)と呼びます。仮に、メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)において、すべての入札者\(i\)が正直戦略\(s_{i}\)を選択することが均衡になるのであれば、それぞれの状態\(\theta _{I}\)において、入札者たちによる入札額からなる組は、\begin{eqnarray*}s_{I}\left( \theta _{I}\right) &=&\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right)
\right) _{i\in I} \\
&=&\left( \theta _{i}\right) _{i\in I}\quad \because \text{正直戦略の定義} \\
&=&\theta _{I}
\end{eqnarray*}となり、これは真の状態と一致します。つまり、正直戦略の組が均衡になるようなメカニズムのもとでは、それぞれの状態\(\theta _{I}\)において、任意の入札者\(i\)が自身の真の支払い意思額\(\theta _{i}\)をそのまま正直に表明することが最適になるため、結果として、情報の非対称性が解消されます。そこで、このようなメカニズム\(\left( a,t\right) \)を誘因両立的(incentive compatible)なメカニズムと呼びます。単一財オークション市場におけるインセンティブの問題を解消するため、オークションの主催者は誘因両立的なメカニズムを設計する必要があります。

 

ベイジアンナッシュ均衡誘因両立的なメカニズム

復習になりますが、メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)において、入札者\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)が他の入札者たちの純粋戦略\(s_{-i}\)に対する最適戦略であることとは、他の入札者たちが\(s_{-i}\)を選択することを前提としたとき、自分は\(s_{i}\)を選択すれば、自身のタイプ\(\theta _{i}\)によらず常に自身の中間期待利得を最大化できることを意味します。より正確には、自身のタイプ\(\theta _{i}\in\Theta _{i}\)と入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}E_{\theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right)
\right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right)
\ |\ \theta _{i}\right] \geq E_{\theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \ |\
\theta _{i}\right] \end{equation*}が成り立つ場合、入札者\(i\)にとって\(s_{i}\)は\(s_{-i}\)に対する最適戦略であると言います。つまり、他の入札者たちが\(s_{-i}\)を選ぶことを前提としたとき、入札者\(i\)がどのようなタイプ\(\theta _{i}\)の場合でも、\(s_{i}\)が指示する入札額\(s_{i}\left( \theta _{i}\right) \)を提示すれば中間期待利得を常に最大化できるということです。

メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)において純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}\right) _{i\in I}\)がお互いに最適戦略になっているのであれば、すなわち、入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in\Theta _{i}\)および入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation}E_{\theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right)
\right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right)
\ |\ \theta _{i}\right] \geq E_{\theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \ |\
\theta _{i}\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つのであれば、そのような純粋戦略の組\(s_{I}\)をベイジアンナッシュ均衡と呼びます。

純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}\right)_{i\in I}\)が正直戦略の組である場合には、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}\left( \theta
_{i}\right) =\theta _{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、正直戦略の組\(s_{I}\)がベイジアンナッシュ均衡であることとは、\(\left(1\right) \)および\(\left( 2\right) \)より、入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)および入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}E_{\theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left(
\theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] \geq
E_{\theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},\theta
_{-i}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) ,\theta
_{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。そこで、以上の条件が成り立つとき、すなわち、メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)において正直戦略の組がベイジアンナッシュ均衡になる場合、メカニズム\(\left(a,t\right) \)はベイジアンナッシュ均衡誘因両立的(Bayesian Incentive Compatible:BIC)であると言います。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)がベイジアンナッシュ均衡誘因両立的である場合、任意の入札者は、他の入札者たちが正直戦略にしたがって入札することを前提とした場合、自身もまた正直戦略にしたがって入札すれば常に中間期待利得を最大化できます。つまり、他の入札者たちが正直戦略にしたがう場合、自身もまた正直戦略にしたがうことが最適であり、そこから逸脱する動機を持たないということです。

 

事後均衡誘因両立的なメカニズム

メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(\left( a,t\right) \)において、入札者\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)と、他の入札者たちの純粋戦略の組\(s_{-i}\)を選びます。状態\(\theta _{I}=\left( \theta_{i},\theta _{-i}\right) \)を任意に選ぶと、入札者\(i\)が先の\(s_{i}\)を採用するならば入札額\(s_{i}\left( \theta _{i}\right) \)を選び、他の入札者たちが先の\(s_{-i}\)を採用するならば入札額\(s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \)を選ぶため、以上の入札に対してメカニズム\(\left( a,t\right) \)は以下の結果\begin{equation*}\left( a\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,s_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right) ,t\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,s_{-i}\left(
\theta _{-i}\right) \right) \right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定めます。一方、他の入札者たちがやはり\(s_{-i}\)を採用する一方で、入札者\(i\)が\(s_{i}\left(\theta _{i}\right) \)と一致するとは限らない何らかの入札額\(\hat{\theta}_{i}\)を選ぶ場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)は以下の結果\begin{equation*}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right)
,t\left( \hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) \right)
\in A\times \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定めます。以上を踏まえた上で、状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)と入札者\(i\)による入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}u_{i}\left( a\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,s_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right) ,t\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,s_{-i}\left(
\theta _{-i}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \geq u_{i}\left( a\left(
\hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) ,\theta _{I}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、入札者\(i\)にとって\(s_{i}\)は\(s_{-i}\)に対する事後最適戦略(ex-post best strategy)であると言います。これは、入札者\(i\)にとって、自身のタイプ\(\theta _{i}\)や他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\)がいかなるものであるかに関わらず、他の入札者たちが純粋戦略の組\(s_{-i}\)にしたがって入札する限りにおいて、自身は\(s_{i}\)にしたがって入札することで常に自身の利得を最大化できることを意味します。したがって、入札者\(i\)が\(s_{-i}\)に対する事後最適戦略\(s_{i}\)を持つ場合、入札者\(i\)は自身を含めた全員のタイプについて何も考える必要はなく、他の入札者たちが\(s_{-i}\)にしたがって入札する限りにおいて、自分は常に\(s_{i}\)にしたがって入札することが最適になります。

メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(\left( a,t\right) \)において、純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}\right) _{i\in I}\)がお互いに事後最適戦略になっているのであれば、すなわち、入札者\(i\in I\)と状態\(\theta _{I}\in\Theta _{I}\)および入札者\(i\)による入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation}u_{i}\left( a\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,s_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right) ,t\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,s_{-i}\left(
\theta _{-i}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \geq u_{i}\left( a\left(
\hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) ,\theta _{I}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つのであれば、そのような純粋戦略の組\(s_{I}\)を事後均衡(ex-post equilibrium)と呼びます。

純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}\right)_{i\in I}\)が正直戦略の組である場合には、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}\left( \theta
_{i}\right) =\theta _{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、正直戦略の組\(s_{I}\)が事後均衡であることとは、\(\left( 1\right) \)および\(\left( 2\right) \)より、入札者\(i\in I\)と状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)および入札者\(i\)による入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \Theta_{i}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}u_{i}\left( a\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) ,t\left( \theta
_{i},\theta _{-i}\right) ,\theta _{I}\right) \geq u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},\theta
_{-i}\right) ,\theta _{I}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。そこで、以上の条件が成り立つとき、すなわち、メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)において正直戦略の組が事後均衡になる場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)は事後均衡誘因両立的(incentive compatible in expost equilibrium:EPIC)であると言います。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後均衡誘因両立的である場合、任意の入札者は、自身を含めた全員のタイプがいかなるものであるかに関わらず、他の入札者たちが正直戦略にしたがって入札することを前提とした場合、自分もまた正直戦略にしたがって入札すれば常に利得を最大化できます。したがって、入札者は自身を含めた全員のタイプについて何も考える必要はなく、他の入札者たちが正直戦略にしたがう場合、自分もまた正直戦略にしたがうことが最適であり、そこから逸脱する動機を持ちません。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後均衡誘因両立的であるものとします。この場合、入札者たちのタイプの分布とは関係なく、正直戦略どうしの組が最適反応の組になっています。したがって、タイプの分布を任意に選んだ場合にも、正直戦略どうしの組が最適反応の組になっているはずですが、これは\(\left( a,t\right) \)がベイジアンナッシュ均衡誘因両立的であることを意味します。つまり、事後均衡誘因両立的なメカニズムはベイジアンナッシュ均衡誘因両立的でもあります。

命題(事後均衡誘因両立性とベイジアンナッシュ均衡誘因両立的の関係)
単一財オークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後均衡誘因両立性を満たすならば、\(\left( a,t\right) \)はベイジアンナッシュ均衡誘因両立性を満たす。
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耐戦略的なメカニズム

メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)において、入札者\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)を選びます。状態\(\theta _{I}=\left( \theta_{i},\theta _{-i}\right) \)任意に選んだとき、入札者\(i\)が先の\(s_{i}\)を採用するならば入札額\(s_{i}\left( \theta _{i}\right) \)を選びます。このとき、他の入札者たちによる入札額が\(\hat{\theta}_{-i}\)であれば、以上の入札に対してメカニズム\(\left(a,t\right) \)は以下の結果\begin{equation*}\left( a\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,\hat{\theta}_{-i}\right)
,t\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,\hat{\theta}_{-i}\right) \right)
\in A\times \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定めます。一方、他の入札者たちによる入札額がやはり\(\hat{\theta}_{-i}\)である一方で、入札者\(i\)が\(s_{i}\left( \theta _{i}\right) \)と一致するとは限らない何らかの入札額\(\hat{\theta}_{i}\)を選ぶ場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)は以下の結果\begin{equation*}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},\hat{\theta}_{-i}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},\hat{\theta}_{-i}\right) \right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定めます。以上を踏まえた上で、状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)と全員による入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}u_{i}\left( a\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,\hat{\theta}_{-i}\right)
,t\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,\hat{\theta}_{-i}\right) ,\theta
_{I}\right) \geq u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},\hat{\theta}_{-i}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},\hat{\theta}_{-i}\right) ,\theta
_{I}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、入札者\(i\)にとって\(s_{i}\)は支配戦略(dominant strategy)であると言います。これは、入札者\(i\)にとって、自身のタイプ\(\theta _{i}\)や他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\)がいかなるものであるかに関わらず、また、他の入札者たちによる入札額\(\hat{\theta}_{-i}\)に関わらず、自身は\(s_{i}\)にしたがって入札することで常に自分の利得を最大化できることを意味します。したがって、入札者\(i\)が支配戦略\(s_{i}\)を持つ場合、入札者\(i\)は自身を含めた全員のタイプや他の入札者たちによる入札額について何も考える必要はなく、常に\(s_{i}\)にしたがって入札することが最適になります。

メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)において、純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}\right) _{i\in I}\)がお互いに支配戦略になっているのであれば、すなわち、入札者\(i\in I\)と状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)および全員による入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation}u_{i}\left( a\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,\hat{\theta}_{-i}\right)
,t\left( s_{i}\left( \theta _{i}\right) ,\hat{\theta}_{-i}\right) ,\theta
_{I}\right) \geq u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},\hat{\theta}_{-i}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},\hat{\theta}_{-i}\right) ,\theta
_{I}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つのであれば、そのような純粋戦略の組\(s_{I}\)を支配戦略均衡(dominant strategy equilibrium)と呼びます。

純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}\right)_{i\in I}\)が正直戦略の組である場合には、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}\left( \theta
_{i}\right) =\theta _{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、正直戦略の組\(s_{I}\)が支配戦略均衡であることとは、\(\left( 1\right) \)および\(\left(2\right) \)より、入札者\(i\in I\)と状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)および全員による入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}u_{i}\left( a\left( \theta _{i},\hat{\theta}_{-i}\right) ,t\left( \theta
_{i},\hat{\theta}_{-i}\right) ,\theta _{I}\right) \geq u_{i}\left( a\left(
\hat{\theta}_{i},\hat{\theta}_{-i}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},\hat{\theta}_{-i}\right) ,\theta _{I}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。そこで、以上の条件が成り立つとき、すなわち、メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)において正直戦略の組が支配戦略均衡になる場合には、そのメカニズム\(\left( a,t\right) \)は耐戦略的(strategy-proof)であるとか支配戦略均衡誘因両立的(incentive compatible in dominant strategy equilibrium:DIC)であるなどと言います。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)が耐戦略的である場合、任意の入札者は、自身を含めた全員のタイプがいかなるものであるかに関わらず、また、他の入札者たちの入札額がいかなるものであるかに関わらず、自分は正直戦略にしたがって入札すれば常に利得を最大化できます。したがって、入札者は自身を含めた全員のタイプについて考える必要はなく、また、他の入札者たちの入札について考える必要もなく、正直戦略にしたがいさえすれば最適な結果が得られます。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)が耐戦略的であるものとします。この場合、任意の入札者にとって、入札者たちのタイプの分布や他の入札者たちの戦略とは関係なく、正直戦略が最適になっています。したがって、入札者たちのタイプの分布を任意に選んだ上で、他の入札者たちが正直戦略をとるものと仮定した場合にも、正直戦略はやはり最適ですが、これは\(\left( a,t\right) \)が事後均衡誘因両立的であることを意味します。つまり、耐戦略的なメカニズムは事後均衡誘因両立的でもあります。

命題(耐戦略性と事後均衡誘因両立性の関係)
単一財オークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が耐戦略性を満たすならば、\(\left(a,t\right) \)は事後均衡誘因両立性を満たす。
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上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、事後均衡誘因両立的なメカニズムは耐戦略的であるとは限りません。ただ、入札者たちの利得関数に関して私的価値の仮定が成り立つ場合には、事後均衡誘因両立的なメカニズムは耐戦略的でもあります。

命題(耐戦略性と事後均衡誘因両立性の関係)
単一財オークション環境において私的価値の仮定が成り立つ場合、メカニズム\(\left(a,t\right) \)が事後均衡誘因両立性を満たすならば、\(\left( a,t\right) \)は耐戦略性を満たす。
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以上の2つの命題より、私的価値の仮定のもとでは、メカニズムの耐戦略性と事後均衡誘因両立性は概念として一致することが明らかになりました。

命題(耐戦略性と事後均衡誘因両立性の関係)
単一財オークション環境において私的価値の仮定が成り立つ場合、メカニズム\(\left(a,t\right) \)が事後均衡誘因両立的であることと耐戦略的であることは必要十分である。

次回は個人合理性と呼ばれるメカニズムの性質について解説します。

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