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単一財オークション

マイヤーソンの定理(IPVモデルにおける誘因両立性の特徴づけ)

目次

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均衡中間期待配分関数は単調増加関数

単一オークション環境の中でもIPVモデルを分析対象とします。つまり、入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定するとともに、入札者たちのタイプに関して共通事前分布と分布独立性を仮定するということです。つまり、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}であり、オークションの主催者が得る利得は、\begin{equation*}
\sum_{i\in I}t_{i}
\end{equation*}です。入札者\(i\)のタイプ集合\(\Theta _{i}\)は連続型であり、具体的には以下のような有界閉区間\begin{equation*}\Theta _{i}=\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。状態\(\theta _{I}\)の分布は同時分布関数\(F:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)または同時密度関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)によって記述され、それぞれの入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)の分布は\(F\)の周辺分布関数\(F_{i}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されるとともに、それに対応する密度関数を\(f_{i}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(f_{i}\)が連続である場合には、微分積分学の基本定理より、\begin{equation*}\frac{d}{dx}F_{i}\left( x\right) =f_{i}\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。さらに、入札者たちのタイプ\(\theta_{1},\cdots ,\theta _{n}\)は互いに独立です。つまり、任意の状態\(\theta _{I}\in \left( \theta _{1},\cdots ,\theta_{n}\right) \in \Theta _{I}\)に対して、\begin{equation*}F\left( \theta _{I}\right) =F_{1}\left( \theta _{1}\right) \times \cdots
\times F_{n}\left( \theta _{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

以上の仮定のもと、メカニズム\(\left( a,t\right) \)において入札者\(i\in I\)以外の入札者たちが正直戦略にしたがって入札を行う状況を想定します。入札者\(i\)以外の入札者たちのタイプが\(\theta _{-i}\)である場合、彼らは正直戦略のもとで\(\theta _{-i}\)を入札します。このとき、入札者\(i\)による入札額が\(\hat{\theta}_{i}\)であるならば、それに対してメカニズム\(\left( a,t\right) \)は結果\begin{equation*}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \right) =\left( \left( a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \right) _{i\in I},\left( t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \right) _{i\in I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定め、この結果において入札者\(i\)は確率\(a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \)で商品を落札する対価として所得移転\(t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta_{-i}\right) \)を課されます。ただ、実際には入札者\(i\)は他の入札者たちの真のタイプを観察できないため、\(\theta _{-i}\)の分布を描写する同時密度関数\(f_{-i}:\Theta _{-i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)を用いて落札確率や所得移転の期待値を評価せざるを得ず、それらを、\begin{eqnarray*}\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) &=&\int_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}\left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i} \\
\tau _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) &=&\int_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}\left[ t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{eqnarray*}で表記します。\(\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \)を入札者\(i\)の中間期待配分と呼び、\(\tau _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \)を入札者\(i\)の中間期待支払いと呼ぶこととします。これらはいずれも入札者\(i\)による入札額\(\hat{\theta}_{i}\)にのみ依存することを踏まえた上で、入札者\(i\)によるそれぞれの入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、そのときの中間期待配分\(\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \in \left[ 0,1\right] \)を値として返す関数\begin{equation*}\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \left[ 0,1\right] \end{equation*}と、入札者\(i\)によるそれぞれの入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、そのときの中間期待支払い\(\tau _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \in \mathbb{R} \)を値として返す関数\begin{equation*}\tau _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}をそれぞれ定義します。\(\alpha _{i}\)を入札者\(i\)の中間期待配分関数と呼び、\(\tau _{i}\)を入札者\(i\)の中間期待支払い関数と呼ぶこととします。

引き続き、メカニズム\(\left( a,t\right) \)において入札者\(i\)以外の入札者たちが正直戦略にしたがって入札を行う状況を想定します。入札者\(i\)のタイプが\(\theta _{i}\)であるときに入札額\(\hat{\theta}_{i}\)を申告した場合に直面する中間期待利得は、\begin{eqnarray*}&&E_{\theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},\theta
_{-i}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) ,\theta
_{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] \\
&=&E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right)
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \ |\
\theta _{i}\right] \quad \because \text{IPVモデル} \\
&=&\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left\{ \left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \right] \cdot f_{-i}\left( \theta _{-i}\right)
\right\} d\theta _{-i} \\
&=&\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}\cdot \theta _{i}-\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[
t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right] d\theta _{-i} \\
&=&\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \cdot \theta _{i}-\tau
_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \quad \because \alpha _{i}\text{および}\tau _{i}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。以上の値は入札者\(i\)による入札額\(\hat{\theta}_{i}\)とタイプ\(\theta_{i}\)の双方に依存することを踏まえた上で、入札者\(i\)による入札額とタイプからなるそれぞれの組\(\left( \hat{\theta}_{i},\theta_{i}\right) \in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \times \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、上の中間期待利得\begin{equation*}U_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{i}\right) =\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \cdot \theta _{i}-\tau _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right)
\end{equation*}を値として返す関数\begin{equation*}
U_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \times \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを入札者\(i\)の中間期待利得関数と呼ぶこととします。つまり、入札者\(i\)の中間期待利得関数\(U_{i}\)とは、メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとで他の入札者たちが正直戦略にしたがって入札するという前提のもと、入札者\(i\)のタイプが\(\theta _{i}\)であるときに入札額\(\hat{\theta}_{i}\)を申告した場合に直面する中間期待利得\(U_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta_{i}\right) \)を特定する関数です。

これまでは一般のメカニズムについて考えてきましたが、ここからはメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的であるものとします。誘因両立的なメカニズムでは正直戦略の組が均衡になるため、均衡においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が直面する中間期待利得は、中間利得関数\(U_{i}\)を用いて、\begin{equation*}U_{i}\left( \theta _{i},\theta _{i}\right) =\alpha _{i}\left( \theta
_{i}\right) \cdot \theta _{i}-\tau _{i}\left( \theta _{i}\right)
\end{equation*}と表すことができます。これは入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)のみに依存することを踏まえた上で、入札者\(i\)のそれぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =U_{i}\left( \theta _{i},\theta _{i}\right)
\end{equation*}を値として返す関数\begin{equation*}
V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを入札者\(i\)の均衡中間期待利得関数と呼ぶこととします。つまり、入札者\(i\)の均衡中間期待利得関数\(V_{i}\)とは、誘因両立的なメカニズムの均衡において、入札者\(i\)がそれぞれのタイプ\(\theta _{i}\)のもとで得られる中間期待利得\(V_{i}\left( \theta _{i}\right) \)を明らかにする関数です。

メカニズムの誘因両立性より、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者は正直戦略のもとで\(\theta _{i}\)を入札することが最適であるため、入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)と入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、中間期待利得関数\(U_{i}\)と均衡中間期待利得関数\(V_{i}\)の間には、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) \geq U_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta
_{i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の事実と包絡面定理を利用することにより、入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
+\int_{\underline{\theta }_{i}}^{\theta _{i}}\alpha _{i}\left( u\right) du
\end{equation*}が成り立つことを示しました。

繰り返しになりますが、入札者\(i\)の中間期待配分関数\(\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \left[ 0,1\right] \)とは、メカニズム\(\left(a,t\right) \)において入札者\(i\)以外の入札者たちが正直戦略にしたがって入札することを前提としたとき、入札者\(i\)が入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)を入札した場合に直面する中間期待配分、すなわち自分が商品を落札する確率の期待値\begin{equation*}\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}\left[ \alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}を特定する関数です。特に、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的である場合には、入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して中間期待配分関数\(\alpha _{i}\)が定める値\begin{equation*}\alpha _{i}\left( \theta _{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}
\left[ \alpha _{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left(
\theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}は、メカニズムの均衡である正直戦略の組においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者が直面する中間期待配分に相当します。中間期待配分関数\(\alpha _{i}\)を以上のように読み替えたとき、これを均衡中間期待配分関数と呼ぶこととします。

均衡中間期待配分関数は単調増加関数(単調非減少関数)になります。つまり、メカニズムが誘因両立的である場合、入札者\(i\)による商品への支払い意思額が高いほど、メカニズムの均衡である正直戦略の組において入札者\(i\)が商品を落札できる確率の期待値もまた高くなります(正確には、低くなることはない)。

命題(均衡中間期待配分関数は単調増加関数)
単一オークションのIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的であるものとする。入札者\(i\in I\)のそれぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[
a_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right] d\theta _{-i}\cdot \theta _{i}-\int_{\theta _{-i}\in
\Theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}を定める均衡中間期待利得関数\(V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と、入札者\(i\in I\)のそれぞれの入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、\begin{equation*}\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}\left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}を定める中間期待配分関数\(\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ定義する。以上の条件のもとでは、入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
+\int_{\underline{\theta }_{i}}^{\theta _{i}}\alpha _{i}\left( u\right) du
\end{equation*}という関係が成り立つとともに、\(\alpha _{i}\)は単調増加関数になる。
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利得同値定理を示す際に明らかにしたように、IPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的である場合には、入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
+\int_{\underline{\theta }_{i}}^{\theta _{i}}\alpha _{i}\left( u\right) du
\end{equation*}が成り立ちます。\(V_{i}\)は微分可能であり、これを\(\theta _{i}\)について微分すると、\begin{equation}V_{i}^{\prime }\left( \theta _{i}\right) =\alpha _{i}\left( \theta
_{i}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。つまり、入札者\(i\)による商品への支払い意思額\(\theta _{i}\)が微量増加すると、誘因両立メカニズムの均衡である正直戦略の組において入札者\(i\)が直面する中間期待利得\(V_{i}\left( \theta _{i}\right) \)は均衡中間期待配分\(\alpha _{i}\left( \theta_{i}\right) \)と同じ水準だけ増加します。さらに、先に示したように均衡中間期待配分関数\(\alpha _{i}\)は\(\theta _{i}\)に関する単調増加関数であるため、\(\left( 1\right) \)より、\(V_{i}\)の導関数\(V_{i}^{\prime }\)もまた\(\theta _{i}\)に関する単調増加関数になります。つまり、入札者\(i\)による商品への支払い意思額が高くなるほど、さらにそこから支払い意思額が微量増加したときの中間期待利得の増分はより大きくなります。つまり、\begin{eqnarray*}V_{i}^{\prime \prime }\left( \theta _{i}\right) &=&\alpha _{i}^{\prime
}\left( \theta _{i}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&\geq &0\quad \because \alpha _{i}\text{は単調増加関数}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上の事実は、均衡中間期待利得関数\(V_{i}\)が凸関数であることを意味します。

命題(均衡中間期待利得関数の凸性)
単一オークションのIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的であるものとする。その上で、入札者\(i\in I\)のそれぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[
a_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right] d\theta _{-i}\cdot \theta _{i}-\int_{\theta _{-i}\in
\Theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}を定める均衡中間期待利得関数\(V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以上の条件のもとでは、任意の入札者\(i\in I\)について\(V_{i}\)は凸関数である。

 

マイヤーソンの定理

均衡中間期待配分関数は単調増加関数であることが明らかになりました。つまり、メカニズムが誘因両立的である場合、入札者\(i\)による商品への支払い意思額が高いほど、メカニズムの均衡である正直戦略の組において入札者\(i\)が商品を落札できる確率の期待値もまた高くなります。実は、その逆もまた成立します。つまり、中間期待配分関数が単調増加である場合には、そのメカニズムが誘因両立的であることが保証されます。これをマイヤーソンの定理(Myerson’s characterization theorem)と呼びます。

命題(マイヤーソンの定理)
単一オークションのIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が与えられたとき、入札者\(i\in I\)のそれぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[
a_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right] d\theta _{-i}\cdot \theta _{i}-\int_{\theta _{-i}\in
\Theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}を定める均衡中間期待利得関数\(V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と、入札者\(i\in I\)のそれぞれの入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、\begin{equation*}\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}\left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}を定める中間期待配分関数\(\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ定義する。入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
+\int_{\underline{\theta }_{i}}^{\theta _{i}}\alpha _{i}\left( u\right) du
\end{equation*}という関係が成り立つとともに\(\alpha _{i}\)が単調増加関数であるならば、\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的である。
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以上の2つの命題より、均衡中間期待利得関数\(V_{i}\)が積分形式で表されるとともに均衡中間期待配分関数\(\alpha _{i}\)が単調増加であることは、メカニズムが誘因両立的であるための必要十分条件であることが明らかになりました。結論を整理します。こちらをマイヤーソンの定理と呼ぶ場合もあります。

命題(誘因両立性の特徴づけ)
単一オークションのIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が与えられたとき、入札者\(i\in I\)のそれぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[
a_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right] d\theta _{-i}\cdot \theta _{i}-\int_{\theta _{-i}\in
\Theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}を定める均衡中間期待利得関数\(V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と、入札者\(i\in I\)のそれぞれの入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、\begin{equation*}\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}\left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}を定める中間期待配分関数\(\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ定義する。入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
+\int_{\underline{\theta }_{i}}^{\theta _{i}}\alpha _{i}\left( u\right) du
\end{equation*}という関係が成り立つとともに\(\alpha _{i}\)が単調増加関数であることは、\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的であるための必要十分条件である。

 

誘因両立的メカニズムの中間個人合理性

均衡中間期待利得関数を用いると、誘因両立的なメカニズムの中間個人合理性を以下のように表現できます。

命題(誘因両立的メカニズムの中間個人合理性)
単一オークションのIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的であるものとする。入札者\(i\in I\)のそれぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[
a_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right] d\theta _{-i}\cdot \theta _{i}-\int_{\theta _{-i}\in
\Theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}を定める均衡中間期待利得関数\(V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。任意の入札者\(i\in I\)について、\begin{equation*}V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であるための必要十分条件である。
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