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SINGLE OBJECT AUCTION

分布対称性とSIPVモデル

目次

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分布対称性の仮定

復習になりますが、単一財オークション環境において共通事前分布の仮定が成り立つ場合、それぞれの入札者\(i\)の信念\(f_{i}\)は共通事前分布\(f^{\ast }:\Theta_{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)と整合的です。つまり、入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in\Theta _{i}\)および他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\in \Theta _{-i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、タイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)が離散的である場合には、\begin{equation*}f_{i}\left( \theta _{-i}|\theta _{i}\right) =\frac{f^{\ast }\left( \theta
_{i},\theta _{-i}\right) }{\sum\limits_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}f^{\ast
}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。さらにこのとき、入札者\(i\)のタイプが\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)である確率は、\(f^{\ast }\)から得られる\(\theta _{i}\)に関する周辺確率関数\(f^{\ast }:\Theta _{i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}f^{\ast }\left( \theta _{i}\right) =\sum_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}f^{\ast }\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right)
\end{equation*}と記述することができます。一般に、同一の共通事前分布\(f^{\ast }\)から導かれる各変数\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)に関する周辺確率関数\(f^{\ast }\left( \theta _{1}\right),\cdots ,f^{\ast }\left( \theta _{n}\right) \)は等しいとは限りません。一方、オークション理論では多くの場合、すべての入札者のタイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)が等しく、なおかつ、それぞれの入札者のタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)がしたがう周辺確率関数\(f^{\ast }\left( \theta _{1}\right) ,\cdots ,f^{\ast }\left( \theta_{n}\right) \)もまた等しいものと仮定します。このような仮定を分布対称性(symmetric type distribution)の仮定と呼びます。

入札者たちのタイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)が連続型である場合、共通事前分布\(f^{\ast }:\Theta _{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)が与えられたとき、\(f^{\ast }\)から得られる\(\theta_{i}\)に関する周辺確率密度関数\(f^{\ast }:\Theta _{i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)は、\begin{equation*}f^{\ast }\left( \theta _{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}f^{\ast }\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) d\theta _{-i}
\end{equation*}と記述されます。したがって、対称性の仮定とは、すべての入札者のタイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)が等しく、なおかつ、それぞれの入札者のタイプ\(\theta_{1},\cdots ,\theta _{n}\)がしたがう周辺確率密度関数\(f^{\ast }\left(\theta _{1}\right) ,\cdots ,f^{\ast }\left( \theta _{n}\right) \)もまた等しいことを意味します。

 

共通事前分布と分布独立性と分布対称性の仮定の含意

復習になりますが、共通事前分布と分布独立性の仮定を認める場合には、入札者たちのタイプとその分布を以下のように記述できます。まずはタイプ集合が離散型である場合です。

  1. 入札者たちのタイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)は共有知識である一方で、それぞれの入札者\(i\in I\)の真のタイプは私的情報である。
  2. 共通事前分布に相当する同時確率関数\(f:\Theta _{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)が存在する。つまり、状態が\(\theta _{I}\)である確率は\(f\left( \theta_{I}\right) \)である。この\(f\)は共有知識である。
  3. それぞれの入札者\(i\)のタイプの分布は、共通事前分布\(f\)の周辺確率関数\(f_{i}:\Theta _{i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)によって記述される。つまり、入札者\(i\)のタイプが\(\theta _{i}\)である確率は\(f_{i}\left( \theta _{i}\right) \)である。この\(f_{i}\)も共有知識である。
  4. 入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)は独立な確率関数である。つまり、任意の状態\(\theta_{I}\in \left( \theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\right) \in \Theta _{I}\)に対して、\begin{equation*}f(\theta _{I})=f_{1}(\theta _{1})\cdot \cdots \cdot f_{n}(\theta _{n})\end{equation*}という関係が成り立つ。

以上の仮定に加えて分布対称性を認める場合、すべての入札者が同一のタイプ集合とその分布を共有するため、入札者たちのタイプとその分布を以下のように記述できます。

  1. すべての入札者が同一のタイプ集合\(\Theta \)を共有するとともに、これは共有知識である。それぞれの入札者\(i\in I\)の真のタイプは私的情報である。
  2. 共通事前分布に相当する同時確率関数\(f_{I}:\Theta ^{n}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)が存在する。つまり、状態が\(\theta _{I}\)である確率は\(f_{I}\left( \theta _{I}\right) \)である。この\(f_{I}\)は共有知識である。
  3. すべての入札者のタイプの分布は\(f_{I}\)の同一の周辺確率関数\(f:\Theta \rightarrow \left[ 0,1\right] \)によって記述される。つまり、任意の入札者\(i\)について、そのタイプが\(\theta _{i}\)である確率は\(f\left( \theta_{i}\right) \)である。この\(f\)も共有知識である。
  4. 入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)は独立な確率関数である。つまり、任意の状態\(\theta_{I}\in \left( \theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\right) \in \Theta ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{I}(\theta _{I})=f(\theta _{1})\cdot \cdots \cdot f(\theta _{n})\end{equation*}という関係が成り立つ。

タイプ集合が連続型である場合には以下の通りです。

  1. すべての入札者が同一のタイプ集合\(\Theta \)を共有するとともに、これは共有知識である。それぞれの入札者\(i\in I\)の真のタイプは私的情報である。
  2. 共通事前分布に相当する同時分布関数\(F_{I}:\Theta ^{n}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)が存在する。つまり、状態が\(\theta _{I}\)以下である確率は\(F_{I}\left( \theta _{I}\right) \)である。この\(F_{I}\)は共有知識である。
  3. すべての入札者のタイプの分布は\(F_{I}\)の同一の周辺分布\(F:\Theta\rightarrow \left[ 0,1\right] \)によって記述される。つまり、任意の入札者\(i\)について、そのタイプが\(\theta _{i}\)以下である確率は\(F\left(\theta _{i}\right) \)である。この\(f\)も共有知識である。多くの場合、\(F\)に関する密度関数\(f:\Theta \rightarrow \left[ 0,1\right] \)の存在を仮定する。つまり、\(F\)が微分可能であり、\(f\)が連続であることを仮定する。
  4. 入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)は独立な確率関数である。つまり、任意の状態\(\theta_{I}\in \left( \theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\right) \in \Theta ^{n}\)に対して、\begin{equation*}F_{I}(\theta _{I})=F(\theta _{1})\cdot \cdots \cdot F(\theta _{n})\end{equation*}という関係が成り立つ。
例(商品を落札する確率)
メカニズム\(\left( a,t\right) \)において入札者\(i\)の入札額が\(\theta _{i}\)であるものとします。仮に、他の入札者による入札額が\(\theta _{-i}\)であることを入札者\(i\)が知っている場合、入札者\(i\)は自身が商品を落札する確率が、\begin{equation*}a_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right)
\end{equation*}であると判断できます。では、他の入札者による入札額が分からない場合にはどうでしょうか。共通事前分布と分布独立性に加えて分布対称性を仮定する場合、他の入札者たちのタイプの分布は同時密度関数\(f_{-i}:\Theta ^{n-1}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)にしたがって分布し、そのことを入札者\(i\)は知っているため、自分が\(\theta _{i}\)を入札したときに自身が商品を落札する確率を、\begin{equation*}\int_{\theta _{-i}\in \Theta ^{n-1}}\left[ a_{i}\left( \theta _{i},\theta
_{-i}\right) \cdot f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}と評価できます。

 

SIPVモデル

単一オークション環境において入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定するとともに、入札者たちのタイプに関して共通事前分布、分布独立性、分布対称性を仮定する場合、そのような環境をSIPVモデル(symmetric independent private value model)と呼びます。具体的には、SIPVモデルの要素は以下の通りです。

  1. 入札者集合は\(I=\left\{ 1,\cdots,n\right\} \)である。
  2. 結果集合は\(A\times \mathbb{R} ^{n}\)であり、その要素であるそれぞれの結果は、\begin{equation*}\left( a_{I},t_{I}\right) =\left( a_{1},\cdots ,a_{n},t_{1},\cdots,t_{n}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}
    \end{equation*}である。結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)において入札者\(i\)は商品を確率\(a_{i}\)で入手する一方、その対価として所得移転\(t_{i}\)が課せられる。
  3. 入札者のタイプは商品への支払い意思額であり、すべての入札者が同一のタイプ集合\begin{equation*}\Theta =\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}を共有する。
  4. 状態\(\theta _{I}\)の分布が同時分布関数\(F_{I}:\Theta ^{n}\rightarrow \left[0,1\right] \)によって記述され、それぞれの入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)の分布は\(F\)の同一の周辺分布関数\(F:\Theta \rightarrow \left[ 0,1\right] \)によって記述される。さらに、入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)は互いに独立である。すなわち、任意の状態\(\theta_{I}\in \left( \theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\right) \in \Theta ^{n}\)に対して、\begin{equation*}F_{I}(\theta _{I})=F(\theta _{1})\cdot \cdots \cdot F(\theta _{n})\end{equation*}という関係が成り立つ。多くの場合、\(F\)に関する密度関数\(f:\Theta_{i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)の存在を仮定する。つまり、\(F\)が微分可能であり、\(f\)が連続であることを仮定する。
  5. 入札者\(i\in I\)が状態\(\theta_{I}\in \Theta ^{n}\)において結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}\end{equation*}であり、オークションの主催者が得る利得は、\begin{equation*}
    \sum_{i\in I}t_{i}
    \end{equation*}である。

次回からメカニズムの代表的な性質について解説します。

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