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分布独立性とIPVモデル

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分布独立性の仮定

単一財オークション環境における入札者たちのタイプ集合\(\Theta_{1},\cdots ,\Theta _{n}\)が離散型である場合、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)の信念は条件付き確率関数\begin{equation*}f_{i}\left( \cdot |\theta _{i}\right) :\Theta _{-i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \end{equation*}として定義されます。つまり、入札者\(i\)は自身のタイプが\(\theta _{i}\)であるとき、他の入札者たちのタイプが\(\theta _{-i}\)である確率を\(f_{i}\left( \theta_{-i}|\theta _{i}\right) \)と予想するということです。以上の定式化は、入札者\(i\)が他の入札者たちのタイプを予想する上で、自身のタイプ\(\theta _{i}\)が何らかの役割を果たすことを含意しています。つまり、入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)の中には、他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\)に関する情報が含まれているということです。一方、オークション理論では多くの場合、任意の入札者\(i\)にとって、自身のタイプ\(\theta _{i}\)の中には他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\)に関する情報は含まれていないものと仮定します。これを分布独立性(independent type distribution)の仮定と呼びます。

自身のタイプ\(\theta _{i}\)の中に他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\)に関する情報が含まれないということは、入札者\(i\)が他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\)を予想する上で、自身のタイプ\(\theta _{i}\)を前提しているか否かに関わらず、その予想は変化しないことを意味します。つまり、入札者\(i\)の信念\(f_{i}=\left\{ f_{i}\left( \cdot |\theta _{i}\right)\right\} _{\theta _{i}\in \Theta _{i}}\)に対してある同時確率関数\(f_{i}:\Theta _{-i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)が存在し、自身のタイプ\(\theta_{i}\in \Theta _{i}\)と他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\in \Theta _{-i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f_{i}\left( \theta _{-i}\right) =f_{i}\left( \theta _{-i}|\theta _{i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つということです。

タイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)が連続型である場合、分布独立性の仮定とは、入札者\(i\)の信念に相当する条件付き密度関数の組\(_{i}=\left\{ f_{i}\left(\cdot |\theta _{i}\right) \right\} _{\theta _{i}\in \Theta _{i}}\)に対してある同時密度関数\(f_{i}:\Theta _{-i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)が存在し、自身のタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)と他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\in\Theta _{-i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f_{i}\left( \theta _{-i}\right) =f_{i}\left( \theta _{-i}|\theta _{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

 

共通事前分布と分布独立性の仮定の含意

復習になりますが、単一財オークション環境において共通事前分布の仮定が成り立つ場合、それぞれの入札者\(i\)の信念\(f_{i}\)は共通事前分布\(f^{\ast }:\Theta_{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)と整合的です。つまり、入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in\Theta _{i}\)および他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\in \Theta _{-i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、タイプ集合が離散的である場合には、\begin{equation*}f_{i}\left( \theta_{-i}|\theta_{i}\right) =\frac{f^{\ast }\left( \theta_{i},\theta_{-i}\right) }{\sum\limits_{\theta_{-i}\in \Theta_{-i}}f^{\ast }\left( \theta_{i},\theta_{-i}\right) }
\end{equation*}が成り立ち、タイプ集合が連続的である場合には、\begin{equation*}
f_{i}\left( \theta _{-i}|\theta _{i}\right) =\frac{f^{\ast }\left( \theta
_{i},\theta _{-i}\right) }{\int\limits_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}f^{\ast
}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) d\theta _{-i}}
\end{equation*}が成り立ちます。タイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)と共通事前分布\(f^{\ast }\)は共有知識であるため、以上を踏まえると、任意の入札者\(i\)の信念\(f_{i}=\left\{ f_{i}\left( \cdot |\theta _{i}\right) \right\} _{\theta_{i}\in \Theta _{i}}\)もまた共有知識です。その一方で、それぞれの入札者\(i\)の真のタイプ\(\theta _{i}\)は私的情報であるため、入札者\(i\)の真のタイプ\(\theta_{i}\)にもとづく信念\(f_{i}\left(\cdot |\theta _{i}\right) \)もまた入札者\(i\)の私的情報です。

入札者たちの信念に関して共通事前分布と分布独立性を仮定する場合、以下の命題が成り立ちます。

命題(共通事前分布と分布独立性の含意)
単一財オークション環境において共通事前分布と分布独立性を仮定する場合、共通事前分布\(f^{\ast }:\Theta _{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)がそれぞれの状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)に対して定める値は、\begin{equation*}f^{\ast }\left( \theta _{I}\right) =f^{\ast }\left( \theta _{1}\right) \cdot
\cdots \cdot f^{\ast }\left( \theta _{n}\right)
\end{equation*}を満たす。ただし、\(f^{\ast }\left( \theta _{i}\right) \)は\(f^{\ast }\)から導かれる\(\theta _{i}\)に関する周辺分布であり、タイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)が離散型である場合には、\begin{equation*}f^{\ast }\left( \theta _{i}\right) =\sum\limits_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}f^{\ast }(\theta _{i},\theta _{-i})
\end{equation*}であり、タイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)が連続型である場合には、\begin{equation*}f^{\ast }\left( \theta _{i}\right) =\int\limits_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}f^{\ast }\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) d\theta _{-i}
\end{equation*}である。

証明

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以上の命題を踏まえると、共通事前分布と分布独立性の仮定を認める場合には、入札者たちのタイプとその分布を以下のように記述できるようになるため、分析が容易になります。まずはタイプ集合が離散型である場合です。

  1. 入札者たちのタイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)は共有知識である一方で、それぞれの入札者\(i\in I\)の真のタイプは私的情報である。
  2. 共通事前分布に相当する同時確率関数\(f:\Theta _{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)が存在する。つまり、状態が\(\theta _{I}\)である確率は\(f\left( \theta_{I}\right) \)である。この\(f\)は共有知識である。
  3. それぞれの入札者\(i\)のタイプの分布は、共通事前分布\(f\)の周辺確率関数\(f_{i}:\Theta _{i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)によって記述される。つまり、入札者\(i\)のタイプが\(\theta _{i}\)である確率は\(f_{i}\left( \theta _{i}\right) \)である。この\(f_{i}\)も共有知識である。
  4. 入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)は独立な確率関数である。つまり、任意の状態\(\theta_{I}\in \left( \theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\right) \in \Theta _{I}\)に対して、\begin{equation*}f(\theta _{I})=f_{1}(\theta _{1})\cdot \cdots \cdot f_{n}(\theta _{n})\end{equation*}という関係が成り立つ。

タイプ集合が連続型である場合には以下の通りです。

  1. 入札者たちのタイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)は共有知識である一方で、それぞれの入札者\(i\in I\)の真のタイプは私的情報である。
  2. 共通事前分布に相当する同時分布関数\(F:\Theta _{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)が存在する。つまり、状態が\(\theta _{I}\)以下である確率は\(F\left( \theta _{I}\right) \)である。この\(F\)は共有知識である。
  3. それぞれの入札者\(i\)のタイプの分布は、共通事前分布の周辺分布関数\(F_{i}:\Theta _{i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)によって記述される。つまり、入札者\(i\)のタイプが\(\theta _{i}\)以下である確率は\(F_{i}\left( \theta _{i}\right) \)である。この\(F_{i}\)も共有知識である。多くの場合、\(F_{i}\)に関する密度関数\(f_{i}:\Theta _{i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)の存在を仮定する。つまり、\(F_{i}\)が微分可能であり、\(f_{i}\)が連続であることを仮定する。
  4. 入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)は独立な確率関数である。つまり、任意の状態\(\theta_{I}\in \left( \theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\right) \in \Theta _{I}\)に対して、\begin{equation*}F(\theta _{I})=F_{1}(\theta _{1})\cdot \cdots \cdot F_{n}(\theta _{n})\end{equation*}という関係が成り立つ。
例(商品を落札する確率)
メカニズム\(\left( a,t\right) \)において入札者\(i\)の入札額が\(\theta _{i}\)であるものとします。仮に、他の入札者による入札額が\(\theta _{-i}\)であることを入札者\(i\)が知っている場合、入札者\(i\)は自身が商品を落札する確率が、\begin{equation*}a_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right)
\end{equation*}であると判断できます。では、他の入札者による入札額が分からない場合にはどうでしょうか。共通事前分布と分布独立性を仮定する場合、他の入札者たちのタイプの分布は同時密度関数\(f_{-i}:\Theta _{-i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)にしたがって分布し、そのことを入札者\(i\)は知っているため、自分が\(\theta _{i}\)を入札したときに自身が商品を落札する確率を、\begin{equation*}\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( \theta _{i},\theta
_{-i}\right) \cdot f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}と評価できます。

 

IPVモデル

単一オークション環境において入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定するとともに、入札者たちのタイプに関して共通事前分布と分布独立性を仮定する場合、そのような環境をIPVモデル(independent private value model)と呼びます。具体的には、IPVモデルの要素は以下の通りです。

  1. 入札者集合は\(I=\left\{ 1,\cdots,n\right\} \)である。
  2. 結果集合は\(A\times \mathbb{R} ^{n}\)であり、その要素であるそれぞれの結果は、\begin{equation*}\left( a_{I},t_{I}\right) =\left( a_{1},\cdots ,a_{n},t_{1},\cdots,t_{n}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}
    \end{equation*}である。結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)において入札者\(i\)は商品を確率\(a_{i}\)で入手する一方、その対価として所得移転\(t_{i}\)が課せられる。
  3. 入札者\(i\)のタイプは商品への支払い意思額であり、入札者\(i\)のタイプ集合は、\begin{equation*}\Theta _{i}=\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{\iota }\right]\subset \mathbb{R} \end{equation*}である。
  4. 状態\(\theta _{I}\)の分布が同時分布関数\(F:\Theta _{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)によって記述され、それぞれの入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)の分布は\(F\)の周辺分布関数\(F_{i}:\Theta_{i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)によって記述される。さらに、入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)は互いに独立である。すなわち、任意の状態\(\theta _{I}\in \left(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\right) \in \Theta _{I}\)に対して、\begin{equation*}F(\theta _{I})=F_{1}(\theta _{1})\cdot \cdots \cdot F_{n}(\theta _{n})\end{equation*}という関係が成り立つ。多くの場合、\(F_{i}\)に関する密度関数\(f_{i}:\Theta _{i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)の存在を仮定する。つまり、\(F_{i}\)が微分可能であり、\(f_{i}\)が連続であることを仮定する。
  5. 入札者\(i\in I\)が状態\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}\end{equation*}であり、オークションの主催者が得る利得は、\begin{equation*}
    \sum_{i\in I}t_{i}
    \end{equation*}である。

IPVモデルのもと、同値定理(利得同値定理・支払い同値定理・収入同値定理)をはじめとする様々な重要な命題を示すことになりますが、詳細は場を改めて解説します。

次回はSIPVモデルについて解説します。

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