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IPVモデルにおける支払い同値定理

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誘因両立メカニズムの均衡における事前期待支払い

単一オークション環境の中でもIPVモデルを分析対象とします。つまり、入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定するとともに、入札者たちのタイプに関して共通事前分布と分布独立性を仮定するということです。加えて、それぞれの入札者\(i\)のタイプ集合\(\Theta _{i}\)は連続型であり、具体的には以下のような有界閉区間\begin{equation*}\Theta _{i}=\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。

復習になりますが、入札者\(i\)の中間期待支払い関数\(\tau _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)とは、メカニズム\(\left(a,t\right) \)において入札者\(i\)以外の入札者たちが正直戦略にしたがって入札することを前提としたとき、入札者\(i\)が入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)を入札した場合に直面する中間期待支払い\begin{equation*}\tau _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left(
\theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}を特定する関数です。特に、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的である場合には、入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して中間期待支払い関数\(\tau _{i}\)が定める値\begin{equation*}\tau _{i}\left( \theta _{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[
t_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}は、メカニズムの均衡である正直戦略の組においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者が直面する中間期待支払い相当します。中間期待支払い関数\(\tau _{i}\)を以上のように読み替えたとき、それを均衡中間期待支払い関数と呼ぶこととします。

 

積分形式で表現された均衡中間期待支払い関数

均衡中間期待支払いに関する同値定理を示す上での準備として、均衡中間期待支払い関数を積分形式を表現します。

命題(積分形式で表現された均衡中間期待支払い関数)
単一オークションのIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的であるならば、入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、均衡中間期待支払い関数\(\tau _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と均衡中間期待利得関数\(V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)および中間期待落札関数\(\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \left[ 0,1\right] \)に関して、\begin{equation*}\tau _{i}\left( \theta _{i}\right) =\alpha _{i}\left( \theta _{i}\right)
\cdot \theta _{i}-V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right) -\int_{\underline{\theta }_{i}}^{\theta _{i}}\alpha _{i}\left( u\right) du
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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均衡中間期待支払いに関する同値定理

均衡中間期待支払い関数\(\tau _{i}\)が積分形式で表現されることを踏まえると以下が導かれます。これを支払い同値定理(payment equivalence theorem)と呼びます。

命題(均衡中間期待支払いに関する同値定理)
単一オークションのIPVモデルにおいて、同一の配分ルールを持つ2つの誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t^{1}\right) ,\left(\alpha ,t^{2}\right) \)を任意に選ぶ。このとき、それぞれの入札者\(i\in I\)に対してある定数\(c_{i}\in \mathbb{R} \)が存在して、入札者\(i\)の任意のタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に関して、\begin{equation*}E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}^{1}\left( \theta _{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] -E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}^{2}\left( \theta _{I}\right) \ |\
\theta _{i}\right] =c_{i}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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上の命題より、配分ルールを共有する2つの誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t^{1}\right) ,\left( \alpha ,t^{2}\right) \)を任意に選んだとき、任意の入札者\(i\)について、均衡中間期待支払い関数\(\tau _{i}^{1},\tau _{i}^{2}\)のグラフは互いに平行な曲線になり、なおかつ、任意の\(\theta _{i}\)における両者の差\(\tau _{i}^{1}\left( \theta_{i}\right) -\tau _{i}^{2}\left( \theta _{i}\right) \)は\(V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right) -V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right) \)と一致する定数であることが明らかになりました。特に、入札者\(i\)について\(V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right) =V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right) \)が成り立つ場合には、任意の\(\theta _{i}\)について、\begin{equation*}\tau _{i}^{1}\left( \theta _{i}\right) =\tau _{i}^{2}\left( \theta
_{i}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}^{1}\left( \theta _{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] -E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}^{2}\left( \theta _{I}\right) \ |\
\theta _{i}\right] \end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、IPVモデルにおける複数の誘因両立的なメカニズムが配分ルールを共有する場合、入札者\(i\)が均衡において直面する中間期待支払いは、入札者\(i\)のタイプに関わらず、どちらのメカニズムを採用する場合でも一致するということです。このような意味において上の命題は支払い同値定理と呼ばれます。

 

事前期待支払いに関する同値定理

均衡における事前期待支払いに関しても同値定理が成り立ちますが、その前に、誘因両立メカニズムの均衡における事前期待支払いを積分形式で表現します。

命題(積分形式で表現された均衡事前期待支払い)
単一オークションのIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的であるならば、入札者\(i\in I\)を任意に選んだとき、均衡中間期待支払い関数\(\tau _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と均衡中間期待利得関数\(V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)および中間期待落札関数\(\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \left[ 0,1\right] \)に関して、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ t_{i}\left( \theta _{I}\right) \right] =-V_{i}\left(
\underline{\theta }_{i}\right) +\int_{\theta _{I}\in \Theta _{I}}\left[
\left( \theta _{i}-\frac{1-F_{i}\left( \theta _{i}\right) }{f_{i}\left(
\theta _{i}\right) }\right) \cdot \alpha _{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot
f\left( \theta _{I}\right) \right] d\theta _{I}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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以上の命題から以下が導かれます。

命題(均衡事前期待支払いに関する同値定理)
単一オークションのIPVモデルにおいて、同一の配分ルールを持つ2つの誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t^{1}\right) ,\left(\alpha ,t^{2}\right) \)を任意に選ぶ。このとき、それぞれの入札者\(i\in I\)に対してある定数\(c_{i}\in \mathbb{R} \)が存在して、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ t_{i}^{1}\left( \theta _{I}\right) \right] -E_{\theta
_{I}}\left[ t_{i}^{2}\left( \theta _{I}\right) \right] =c_{i}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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次回は収入同値定理について解説します。

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