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SIPVモデルにおける効率的メカニズムの特徴づけ

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SIPVモデルにおける効率メカニズム

単一オークションのSIPVモデルを分析対象とします。SIPVモデルでは入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定するため、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}であり、オークションの主催者が得る利得は、\begin{equation*}
\sum_{i\in I}t_{i}
\end{equation*}となります。加えて、SIPVモデルでは入札者たちのタイプに関して共通事前分布、分布独立性、分布対称性を仮定します。つまり、すべての入札者が同一のタイプ集合\begin{equation*}
\Theta =\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}を共有するとともに、それぞれの入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)の分布は同一の分布関数\(F:\Theta\rightarrow \left[ 0,1\right] \)によって記述されます。ただし、\(F\)に関する密度関数\(f:\Theta _{i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)の存在を仮定します。つまり、\(F\)が微分可能であり、\(f\)が連続であるということです。加えて、入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)は互いに独立です。つまり、同時分布関数\(F_{I}:\Theta^{n}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)が存在して、任意の状態\(\theta _{I}\in \left(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\right) \in \Theta ^{n}\)に対して、\begin{equation*}F_{I}(\theta _{I})=F(\theta _{1})\cdot \cdots \cdot F(\theta _{n})
\end{equation*}という関係が成り立つということです。

SIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後効率的であることとは、メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでの均衡\(s_{I}\in S_{I}\)と状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\sum_{i\in I}a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \cdot \theta
_{i}=\max_{a_{I}\in A}\sum_{i\in I}a_{i}\cdot \theta _{i}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。上の定義において、均衡\(s_{I}\)は正直戦略である必要はありません。つまり、考察対象を誘因両立的なメカニズムに限定しないということです。いずれにせよ、SIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後効率的であるための代替的な条件が知られており、以降ではそのような条件を紹介します。

 

メカニズムが効率的であるための条件

SIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)の配分ルール\(a:\Theta _{I}\rightarrow A\)が入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)に対して定める配分が、\begin{equation*}a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たす場合、この配分ルール\(a\)は上位落札性(standardness)を満たすと言います。つまり、上位落札性を満たす配分ルールのもとでは、最高額を入札した入札者が商品を確率1で入手し、それ以外の入札者は商品を手に入れられません。ちなみに、最高額を入札する入札者が複数人存在する場合は起こり得ますが、そのような場合のルールをどのような形で定めても分析結果に大きな影響を与えないため、以降では、最高額を入札する入札者は常に1人だけであるものと仮定します。

例(上位落札性)
SIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)の配分ルール\(a:\Theta _{I}\rightarrow A\)が入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)に対して定める配分が、\begin{equation*}a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\frac{\hat{\theta}_{i}}{\sum_{j\in I}\hat{\theta}_{j}}
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、入札者\(i\)が商品を落札する確率は、全員の入札額の合計に対して入札者\(i\)による入札額が占める割合です。入札者\(i\)による入札額が最高額である場合、以上の配分ルール\(a\)のもとでは、入札者\(i\)が最も高い確率で商品を落札できますが、その確率は\(1\)であるとは限らないため、他の入札者が商品を入手する事態が起こり得ます。したがって、以上の配分ルール\(a\)は上位落札性を満たしません。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)において、純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall j\in I\backslash \left\{ j\right\} ,\ \forall
\theta _{I}\in \Theta _{i}:\left[ \theta _{i}=\theta _{j}\Rightarrow
s_{i}\left( \theta _{i}\right) =s_{j}\left( \theta _{j}\right) \right] \end{equation*}を満たす場合、\(s_{I}\)は対称的(symmetric)であると言います。つまり、入札者たちが採用する純粋戦略の組が対称的である場合、等しい支払い意思額を持つ入札者たちの入札額もまた等しくなります。

例(対称的な純粋戦略の組)
SIPVモデルにおいて、純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)が正直戦略の組である場合には、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}\left( \theta
_{i}\right) =\theta _{i} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。異なる入札者\(i,j\in I\)と状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\theta _{i}=\theta _{j}\Rightarrow s_{i}\left( \theta _{i}\right)
=s_{j}\left( \theta _{j}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(s_{I}\)は対称的です。つまり、正直戦略の組は対称的です。
例(対称的な純粋戦略の組)
SIPVモデルにおいて、純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)が、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}\left( \theta
_{i}\right) =\frac{\theta _{i}}{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとします。つまり、任意の入札者は、常に支払い意思額の半分の額を入札するということです。異なる入札者\(i,j\in I\)と状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\theta _{i}=\theta _{j} &\Rightarrow &2s_{i}\left( \theta _{i}\right)
=2s_{j}\left( \theta _{j}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&\Rightarrow &s_{i}\left( \theta _{i}\right) =s_{j}\left( \theta _{j}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(s_{I}\)は対称的です。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)において、純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i},\theta _{i}^{\prime }\in \Theta _{i}:
\left[ \theta _{i}>\theta _{i}^{\prime }\Rightarrow s_{i}\left( \theta
_{i}\right) >s_{i}\left( \theta _{i}^{\prime }\right) \right] \end{equation*}を満たす場合、\(s_{I}\)は単調増加(monotonically increasing)であると言います。つまり、入札者たちが採用する純粋戦略の組が単調増加である場合、それぞれの入札者は支払い意思額が高い場合にはより高い金額を入札します。

例(単調増加な純粋戦略の組)
SIPVモデルにおいて、純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)が正直戦略の組である場合には、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}\left( \theta
_{i}\right) =\theta _{i} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。入札者\(i\in i\)とそのタイプ\(\theta _{i},\theta _{i}^{\prime }\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\theta _{i}>\theta _{i}^{\prime }\Rightarrow s_{i}\left( \theta _{i}\right)
>s_{i}\left( \theta _{i}^{\prime }\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(s_{I}\)は単調増加です。つまり、正直戦略の組は単調増加です。
例(単調増加な純粋戦略の組)
SIPVモデルにおいて、純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)が、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}\left( \theta
_{i}\right) =\frac{\theta _{i}}{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとします。つまり、任意の入札者は、常に支払い意思額の半分の額を入札するということです。入札者\(i\in i\)とそのタイプ\(\theta _{i},\theta _{i}^{\prime}\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\theta _{i}>\theta _{j} &\Rightarrow &2s_{i}\left( \theta _{i}\right)
>2s_{j}\left( \theta _{j}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&\Rightarrow &s_{i}\left( \theta _{i}\right) >s_{j}\left( \theta _{j}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(s_{I}\)は単調増加です。

以上の諸概念を踏まえたとき、SIPVモデルにおけるメカニズムの効率性を以下のように特徴づけることができます。

命題(メカニズムが効率的であるための条件)
単一オークションのSIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)の配分ルール\(a\)が上位落札性を満たすとともに、\(\left(a,t\right) \)が遂行する純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)が対称的かつ単調増加である場合には、\(\left( a,t\right) \)は事後効率的メカニズムである。
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例(メカニズムが効率的であるための条件)
SIPVモデルにおける誘因両立メカニズム\(\left( a,t\right) \)の配分ルール\(a\)が上位落札性を満たすものとします。先に示したように、正直戦略の組は対称的かつ単調増加であるため、上の命題より、このメカニズム\(\left( a,t\right) \)は事後効率的です。
例(メカニズムが効率的であるための条件)
SIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)の配分ルール\(a\)が上位落札性を満たすものとします。さらに、\(\left( a,t\right) \)が遂行する純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)が、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}\left( \theta
_{i}\right) =\frac{\theta _{i}}{2}
\end{equation*}を満たすものとします。先に示したように\(s_{I}\)は対称的かつ単調増加であるため、上の命題より、このメカニズム\(\left( a,t\right) \)は事後効率的です。

次回はSIPVモデルにおける利得同値定理について解説します。

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