参加料を導入した第二価格封印オークション（セカンドプライス・オークション）

参加料を導入した第二価格封印オークション

分割不可能な1つの商品が売りに出される単一財オークションが環境\begin{equation*}
\left( I,\left\{ \theta _{i}\right\} _{i\in I},A\times \mathbb{R} ^{n},\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)は入札者集合、\(\theta _{i}\)は入札者\(i\)にとっての商品の評価額、\(A\times \mathbb{R} ^{n}\)は結果集合、\(u_{i}\left( \cdot,\theta _{I}\right) \)は入札者\(i\)が結果どうしを比較する利得関数です。特に、入札者の利得関数に関して準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定する場合には、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得を、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{i}\right) -t_{i}
\end{equation*}と表現できます。ただし、\(v_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)は配分の金銭価値を特定する評価関数です。また、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定に加えて非外部性を仮定する場合には、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得を、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}と表現できます（準線型環境）。必要に応じて、入札者たちのタイプに関して共通事前分布、分布独立性、分布対称性を仮定します。つまり、すべての入札者が同一のタイプ集合\begin{equation*}
\Theta =\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}を共有するとともに、それぞれの入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\in \Theta \)がしたがう確率分布が同一の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)および確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されます。加えて、入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta_{n}\)は互いに独立です。つまり、同時分布関数\(F_{I}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の状態\(\theta _{I}\in \left( \theta _{1},\cdots ,\theta_{n}\right) \in \Theta ^{n}\)に対して以下の関係\begin{equation*}F_{I}(\theta _{I})=F(\theta _{1})\times \cdots \times F(\theta _{n})
\end{equation*}が成り立つということです（SIPVモデル）。

入札者たちが表明するタイプからなる組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall i,j\in I:\left( i\not=j\Rightarrow \hat{\theta}_{i}\not=\hat{\theta}_{j}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。全員の入札額が異なる状況を想定するということです。この場合、第二価格封印オークション\(\left(a,t\right) :\Theta _{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)定める結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)において入札者\(i\in I\)が直面する配分\(a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)および所得移転\(t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right. \\
&&\left( b\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{ i\right\}
\right\} & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\
j\in I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}と定まります。条件\(\left( a\right) \)より、第二価格封印オークションのもとでは、最高額を入札した入札者が商品を確率\(1\)で入手し、それ以外の入札者は商品を手に入れられません。条件\(\left( b\right) \)より、商品を落札した入札者は2番目に高い入札額に相当する金額を支払う必要がある一方で、それ以外の入札者に所得移転は課されません。

現実にはオークションの主催者が入札者たちから参加料を徴収したいと考える状況は起こり得るため、そのような状況に対処できるよう、メカニズムを修正する必要があります。そこで、まずは主催者がオークションへの参加料を設定し、それを入札者に提示した上で、第二価格封印オークションを実施します。

オークションへの参加者は参加料を支払うと同時に入札を行います。つまり、参加者たちは他の参加者が何人であるかを観察できず、また他の参加者による入札額を観察できない状態で入札を行う必要があります。参加者が2人以上である場合、最高額を提示した入札者が落札者となり、2番目に高い入札額に相当する金額を支払います（総支払額は2番目に高い入札額と参加料の和）。参加者が1人だけである場合、その入札者が落札者となりますが、支払いは課されません（総支払額は参加料だけ）。参加者がいない場合には商品は売却されません。正確には以下の通りです。

主催者はオークションへの参加料\begin{equation*}
e>0
\end{equation*}を設定し、これを入札者たちに提示します。参加料\(e\)を観察した入札者たちは、オークションへ参加するかどうかを決定します。オークションへ参加することを選んだ入札者からなる集合を\(I\)で表記します。入札者たちが表明する入札額からなる組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)に対して、最低落札価格を導入した第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) :\Theta_{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)は結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right),t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)を定めますが、この結果において入札者\(i\in I\)が直面する配分\(a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)および所得移転\(t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)は、\begin{equation*}\left\vert I\right\vert \geq 2
\end{equation*}の場合には、\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{1}\right) \ a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right. \\
&&\left( b_{1}\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{ i\right\}
\right\} +e & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\
j\in I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
e & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}と定まり、\begin{equation*}
\left\vert I\right\vert =1
\end{equation*}の場合には、\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{1}\right) \ a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =1 \\
&&\left( b_{2}\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =e
\end{eqnarray*}と定まります。

参加者が2人以上である場合、条件\(\left( a_{1}\right) \)より、最高額を入札した入札者が商品を確率\(1\)で入手し、それ以外の入札者は商品を手に入れられません。条件\(\left( b_{1}\right) \)より、落札者は2番目に高い入札額と参加料の和に相当する金額を支払う一方で、それ以外の入札者は参加料だけを支払います。参加者が1人だけである場合、条件\(\left( a_{2}\right) \)より、その入札者が商品を確率\(1\)で入手し、条件\(\left( b_{2}\right) \)より、落札者は参加料だけを支払います。

参加料を提示された入札者にとっての最適戦略

通常の第二価格オークションにおけるプレイヤーは入札者たちであり、オークションの主催者（もしくは商品の売り手）はプレイヤーとはみなされません。主催者はメカニズムの運用主体として位置付けられます。一方、参加料を導入した第二価格封印オークションでは、主催者は参加料の水準を決定するプレイヤーとなります。つまり、ゲームの第1ステージにおいて主催者が参加料を設定した上で、ゲームの第2ステージにおいて、参加料を観察した入札者たちはオークションへ参加するかどうかを決定し、参加する場合には参加料を支払った上で入札を行います。参加料を導入した第二価格オークションが想定する戦略的状況は、主催者と入札者をプレイヤーとする以上のような動学ゲームです。

ゲームを後ろから解きます。オークションの主催者が提示した参加料のもとでオークションへ参加することを決めた場合、参加者たちはどのように入札することが最適でしょうか。通常の第二価格封印オークションは耐戦略性を満たすため、すべての入札者にとって、商品の評価額をそのまま正直に入札することが広義の支配戦略です。実は、参加料が導入された場合においても、すべての参加者にとって、正直戦略は広義の支配戦略であり続けます。

オークションの主催者が提示した参加料のもとでオークションへ参加することを決めた場合、参加者たちにとって正直戦略は広義の支配戦略であることが明らかになりました。つまり、すべての参加者にとって、商品の評価額をそのまま正直に入札することが最適です。なぜでしょうか。参加料を払い終えた場合、後に続くオークションの結果がいかなるものであったとしても、参加者は参加料を取り戻すことはできません。つまり、すでに支払った参加料は参加者にとってサンク費用になるため、参加料はオークションにおける入札行動に影響を与えません。後に続くオークションは第二価格封印オークションであるため、参加者たちにとって正直戦略は広義の支配戦略になります。

入札者の最適行動を踏まえた場合のオークションへの参加者

参加料を導入した第二価格オークションへ参加する場合には、入札者は商品の評価額を正直に入札することが最適であることが明らかになりました。ただし、以上の議論は、オークションへ参加することを決定した入札者を対象としたものです。入札者の中には、提示された参加料を観察した後に、オークションへ参加しないことを選択する者もいるはずです。なぜなら、オークションへ参加すると問答無用で参加料を徴収されるため、勝ち目のない入札者がオークションへ参加しても損をするだけだからです。では、どの入札者がオークションへ参加するのでしょうか。

オークションへの参加者はもれなく参加料\(e\)を支払う必要があるため、商品を落札できなければ参加料分だけ損をします。したがって、商品への評価額が低く勝ち目のない入札者にとってオークションへ参加するメリットがありません。逆に、商品への評価額が高くなるほど、オークションへ参加するメリットが大きくなります。そこで、オークションへ参加することと参加しないことが無差別であるような入札者にとっての評価額を、\begin{equation*}\theta _{0}
\end{equation*}で表記します。評価額が\(\theta _{0}\)より低い入札者はオークションへ参加せず、評価額が\(\theta _{0}\)以上の入札者はオークションへ参加するということです。\(\theta _{0}\)の水準を以下で特定します。

オークションへの参加者がいずれも\(\theta _{0}\)以上の評価額を持つ状況を想定しているため、評価額\(\theta _{0}\)を持つ入札者が落札者になるシナリオは、彼だけが参加者であるケースに限定されます。そのようなシナリオが起こる確率は\(\left[F\left( \theta _{0}\right) \right] ^{n-1}\)です。この入札者が落札者になった場合に得る利得は\(\theta _{0}-e\)である一方で、落札できなかった場合に得る利得は\(-e\)です。したがって、この入札者がオークションへ参加した場合に直面する利得の期待値は、\begin{eqnarray*}&&\left( \theta _{0}-e\right) \cdot \left[ F\left( \theta _{0}\right) \right] ^{n-1}+\left( -e\right) \cdot \left\{ 1-\left[ F\left( \theta _{0}\right) \right] ^{n-1}\right\} \\
&=&\left( \theta _{0}-e+e\right) \cdot \left[ F\left( \theta _{0}\right) \right] ^{n-1}-e \\
&=&\theta _{0}\cdot \left[ F\left( \theta _{0}\right) \right] ^{n-1}-e
\end{eqnarray*}となります。一方、この入札者がオークションへ参加しない場合の利得は\(0\)です。したがって、評価額\(\theta _{0}\)を持つ入札者にとってオークションへ参加することと参加しないことが無差別であることは、\begin{equation*}\theta _{0}\cdot \left[ F\left( \theta _{0}\right) \right] ^{n-1}-e=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\theta _{0}\cdot \left[ F\left( \theta _{0}\right) \right] ^{n-1}=e
\end{equation*}が成り立つことを意味します。入札者\(i\)の評価額が\(\theta _{i}\)である場合、以上の条件を満たす評価額\(\theta _{0}\)と比較した上で、\(\theta _{i}<\theta _{0}\)の場合に入札者\(i\)はオークションへ参加せず、\(\theta _{i}\leq \theta _{0}\)の場合に入札者\(i\)はオークションへ参加することとなります。

入札者の最適行動を踏まえた主催者の最適戦略

先の命題において明らかになったように、オークションの参加者たちの入札行動は参加料\(e\)に影響されません。すべての参加者にとって、商品の評価額をそのまま正直に入札することが最適です。言い換えると、主催者が参加料を調整しても、参加者たちの入札行動に影響を与えることはできません。参加料を調整すれば入札行動が活性化されて収入が増えるというシナリオは、理論的には起こり得ないということです。

その一方で、オークションへ誰が参加するかは、参加料\(e\)の水準に影響されます。具体的には、以下の関係\begin{equation}\theta _{0}\cdot \left[ F\left( \theta _{0}\right) \right] ^{n-1}=e \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす評価額\(\theta _{0}\)を基準に、\(\theta _{0}\)より低い評価額を持つ入札者はオークションへ参加せず、逆に\(\theta _{0}\)以上の評価額を持つ入札者はオークションへ参加します。

オークションの主催者が参加料\(e\)の水準を変化させた場合、オークションへの参加者の数はどのように変化するのでしょうか。参加料\(e\)を上昇させた場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は増加する一方で、左辺は変化しません。\(\left( 1\right) \)の左辺は\(\theta_{0}\)に関する増加関数であるため、\(e\)を上昇させた後にも\(\left( 1\right) \)の等号を成立させるためには\(\theta _{0}\)を増やす必要があります。\(\theta _{0}\)を増やすことは、より高い評価額を持つ入札者だけがオークションへ参加するようになること、すなわちオークションへの参加者が減少することを意味します。結論を整理すると、参加料\(e\)を上昇させた場合、オークションへの参加者は減少します。逆に、参加料\(e\)を下落させた場合、オークションへの参加者は増加します。

主催者が入札者たちにとっての商品の評価額を過剰に高く見積もり、参加料を過剰に高く設定してしまった場合、参加者がいなくなってしまう恐れがあります。参加料を調整しても入札者たちによる入札額が変わらないのであれば、参加料を過剰に高く設定する行為は参加者を減少させるネガティブな効果しかもたらしません。

ただし、主催者が入札者たちにとっての評価額を把握している場合には事情が変わります。主催者が上位2人の評価額\(\theta _{1},\theta_{2}\)を把握しているものとします。ただし、\(\theta _{1}>\theta _{2}\)です。参加料を導入宇しない場合、落札者が支払う金額は\(\theta _{2}\)であり、主催者の収入も\(\theta _{2}\)です。その一方で、この2人の入札者が参加をためらわないほど十分低い参加料\(e\)を設定した場合、落札者が支払う金額は\(\theta _{2}+e\)となり、これは\(\theta _{2}\)を上回ります。さらに、他の参加者からも参加料\(e\)を徴収できるため、主催者は参加料を導入することにより収入を増やすことができます。

主催者が入札者たちにとっての評価額を正確に把握していない場合でも、評価額がしたがう確率分布を把握している場合には、参加料を適切な水準に設定することにより、参加料を導入しない場合よりも期待収入を高めることができます。以下が具体例です。

参加料に付随する収入最大化と効率性のトレードオフ

入札者たちにとっての評価額がしたがう確率分布をある程度予測できる場合には、参加料を導入することにより、参加料を導入しない場合よりも期待収入を高められる余地があることが明らかになりました。ただし、期待収入を最大化するような選択をした場合でも、実際に実現する結果においてより高い収入を確実に得られるわけではありません。評価額の分布はランダムに決定されるため、参加料を設定した場合に実現する収入が、参加料を導入しない場合に実現する収入を下回る事態は起こり得ます。以下の例より明らかです。

通常の第二価格封印オークションのもとでは、商品を最も高く評価する入札者が落札者になるため、実現する結果は効率的です。一方、先の例が示唆するように、参加料を導入した第二価格封印オークションのもとでは、取引が成立しない事態が一定の確率のもとで起こり得るため、実現する結果は効率的であるとは限りません。

参加料を導入した第二価格封印オークションのもとで取引が成立する場合、通常の第二価格封印オークションの結果と比べて、主催者はより多くの収入を得られる余地があります。一方、参加料を導入した第二価格封印オークションのもとでは取引が成立しない事態が起こり得るため、その場合の結果は効率的ではありません。どちらが実現するかはランダムに決定されます。つまり、参加料を導入する場合、主催者は「収入の最大化」と「効率性の実現」という2つの目的の間のトレードオフに直面します。

演習問題