WIIS

単一財オークション

単一財オークションにおけるVCGオークション

目次

関連知識

Mailで保存
Xで共有

VCGオークション

単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。つまり、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right)\in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得が、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{i}\right) -t_{i}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(v_{i}\left( \cdot ,\theta_{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)は配分の価値を特定する評価関数です。

復習になりますが、グローヴスメカニズム\(\left( a,t\right) :\Theta _{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)が入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in\Theta _{I}\)に対して定める結果は、任意の関数\(h_{i}:\Theta _{-i}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ a\left( \hat{\theta}_{I}\right) &\in &\mathrm{argmax}_{a_{I}\in A}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a_{I},\hat{\theta}_{i}\right)
\\
\left( b\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) &=&h_{i}\left( \hat{\theta}_{-i}\right) -\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left(
a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,\hat{\theta}_{j}\right)
\end{eqnarray*}という形で表されます。特に、この関数\(h_{i}\)がそれぞれの\(\hat{\theta}_{-i}\in\Theta _{-i}\)に対して定める値が、\begin{equation*}h_{i}\left( \hat{\theta}_{-i}\right) =\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in
I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a_{I},\hat{\theta}_{j}\right)
\end{equation*}である場合、このような関数\(h_{i}\)をクラークのピボットルール(Clarke pivot rule)と呼びます。また、関数\(h_{i}\)がピボットルールであるようなグローヴスメカニズムをヴィックリー=クラーク=グローブス・オークション(Vickrey-Clarke-Grove)やVCGオークション(VCG auction)、VCGメカニズム(VCG mechanism)、クラークメカニズム(Clarke mechanism)またはピボタルメカニズム(pivotal mechanism)などと呼びます。

改めて整理すると、VCGオークション\(\left( a,t\right) :\Theta_{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)が入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in\Theta _{I}\)に対して定める結果は、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ a\left( \hat{\theta}_{I}\right) &\in &\mathrm{argmax}_{a_{I}\in A}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a_{I},\hat{\theta}_{i}\right)
\\
\left( b\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) &=&\max_{a_{I}\in
A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a_{I},\hat{\theta}_{j}\right) -\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a\left(
\hat{\theta}_{I}\right) ,\hat{\theta}_{j}\right)
\end{eqnarray*}という形で表されます。これはどのような意味を持つのでしょうか。

準線型環境を想定しているため、入札額からなる組が\(\hat{\theta}_{I}\)であるとき、配分\(a_{I}\in A\)がもたらす社会的余剰は、\begin{equation*}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a_{I},\hat{\theta}_{i}\right)
\end{equation*}となります。VCGオークションはグローヴスメカニズムと同様、この社会的余剰を最大化するような配分を選び取る配分効率的なメカニズムです。

VCGオークションが入札者\(i\)に課す支払い\begin{equation*}\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a_{I},\hat{\theta}_{j}\right)
\end{equation*}は、入札者\(i\)を除くすべての入札者たちの間で商品を効率的に配分した場合に、入札者\(i\)を除く入札者たちが得る社会的余剰に相当します。一方、VCGオークションが選択する配分\(a\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)は配分効率的であるため、VCGオークションが入札者\(i\)に移転する金額\begin{equation*}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,\hat{\theta}_{j}\right)
\end{equation*}は、入札者\(i\)を含めた全員の間で商品を効率的に配分した場合に、入札者\(i\)を除く入札者たちが得る社会的余剰に相当します。したがって、VCGオークションにおいて入札者\(i\)に課される所得移転\begin{equation*}\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a_{I},\hat{\theta}_{j}\right) -\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\}
}v_{j}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,\hat{\theta}_{j}\right)
\end{equation*}は、オークションの参加者の間で商品を効率的に配分することを前提とした場合、入札者\(i\)がオークションに参加することにより他の入札者たちが被る被害額に相当します。つまり、VCGオークションのもとでは、入札者\(i\)は自身がオークションに参加することにより発生する「外部性」に相当する金額を支払うことを要求されます。

例(VCGオークション)
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定に加えて非外部性の仮定が成り立つ場合、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right)\in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}となります。以上の状況において、VCGオークション\(\left( a,t\right) :\Theta _{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)は入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in\Theta _{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ a\left( \hat{\theta}_{I}\right) &\in &\mathrm{argmax}_{a_{I}\in A}\sum_{i\in I}a_{i}\cdot \hat{\theta}_{i} \\
\left( b\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) &=&\max_{a_{I}\in
A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }a_{j}\cdot \hat{\theta}_{j}-\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }a_{j}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \hat{\theta}_{j}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(VCGオークション)
単一財オークション環境において非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。入札者集合は、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、彼らの入札額が、\begin{equation*}
\hat{\theta}_{I}=\left( \hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2},\hat{\theta}_{3}\right) =\left( 10,9,8\right)
\end{equation*}であるものとします。入札者\(1\)が最大の支払い意思額を表明しているため、入札者\(1\)を勝者とすることにより配分効率性は達成されます。したがって、VCGオークションの配分ルール\(a:\Theta _{I}\rightarrow A\)が定める配分は、\begin{equation*}a\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left( a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,a_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,a_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\right) =\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}となります。仮に入札者\(1\)がオークションに参加しない場合、配分効率性を達成するためには入札者\(2\)が商品を落札することになるため、入札者\(2,3\)が得る社会的余剰は\(9\)です。一方、入札者\(1\)がオークションに参加する場合、配分効率性を達成するためには入札者\(1\)が商品を落札することになるため、入札者\(2,3\)が得る社会的余剰は\(0\)です。したがって、VCGオークションの移転ルール\(t\)が入札者\(1\)に課す所得移転は、\begin{equation*}t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =9-0=9
\end{equation*}となります。仮に入札者\(2\)がオークションに参加しない場合、配分効率性を達成するためには入札者\(1\)が商品を落札することになるため、入札者\(1,3\)が得る社会的余剰は\(10\)となります。一方、入札者\(2\)がオークションに参加する場合、配分効率性を達成するためにはやはり入札者\(1\)が商品を落札することになるため、入札者\(1,3\)が得る社会的余剰は\(10\)です。したがって、VCGオークションの移転ルール\(t\)が入札者\(2\)に課す所得移転は、\begin{equation*}t_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =10-10=0
\end{equation*}となります。同様に考えると、VCGオークションの移転ルール\(t\)が入札者\(3\)に課す所得移転は、\begin{equation*}t_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =10-10=0
\end{equation*}となります。真の状態が、\begin{equation*}
\theta _{I}=\left( \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\right)
\end{equation*}であるとき、以上の結果からそれぞれの入札者が得る利得は、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,\theta _{I}\right) &=&a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{1}-t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\theta _{1}-9 \\
u_{2}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,\theta _{I}\right) &=&a_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{2}-t_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =0 \\
u_{3}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,\theta _{I}\right) &=&a_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{3}-t_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =0
\end{eqnarray*}となります。ただし、後ほど示すように、VCGオークションは誘因両立性(耐戦略性)を満たすため、均衡において、\begin{equation*}
\hat{\theta}_{I}=\theta _{I}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、均衡である正直戦略の組においてそれぞれの入札者が得る利得は、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{I}\right) &=&10-9=1 \\
u_{2}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{I}\right) &=&0 \\
u_{3}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{I}\right) &=&0
\end{eqnarray*}となります。

 

VCGオークションの耐戦略性

単一財オークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が耐戦略的であることとは、そのメカニズム\(\left( a,t\right) \)に直面した任意の入札者にとって、真の支払い意思額を正直に入札することが支配戦略になることを意味します。つまり、入札者\(i\in I\)と状態\(\theta _{I}\in\Theta _{I}\)および全員の入札額からなる組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta_{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}u_{i}\left( a\left( \theta _{i},\hat{\theta}_{-i}\right) ,t\left( \theta
_{i},\hat{\theta}_{-i}\right) ,\theta _{I}\right) \geq u_{i}\left( a\left(
\hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,\theta _{I}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。特に、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ場合、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{i}\right) -t_{i}
\end{equation*}となるため、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が耐戦略的であることとは、入札者\(i\in I\)と状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)および全員の入札額からなる組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}v_{i}\left( a\left( \theta _{i},\hat{\theta}_{-i}\right) ,\theta _{i}\right)
-t_{i}\left( \theta _{i},\hat{\theta}_{-i}\right) \geq v_{i}\left( a\left(
\hat{\theta}_{I}\right) ,\theta _{i}\right) -t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定を認める場合、グローヴスメカニズムは耐戦略性を満たします。VCGオークションはグローヴスメカニズムのバリエーションの1つであるため、VCGオークションもまた耐戦略性を満たします。VCGオークションに直面した任意の入札者にとって、真の支払い意思額を正直に入札することが支配戦略になるということです。

命題(VCGオークションの耐戦略性)
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは耐戦略性を満たす。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(VCGメカニズム)
単一財オークション環境において非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。入札者集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、入札者\(1\)の真のタイプが、\begin{equation*}\theta _{1}=10
\end{equation*}であり、入札者たちの入札額が、\begin{equation*}
\hat{\theta}_{I}=\left( \hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2},\hat{\theta}_{3}\right)
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(\hat{\theta}_{2}\geq \hat{\theta}_{3}\)であるものとします。このとき、VCGメカニズムの配分ルール\(a\)は、\begin{equation*}a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}\geq \hat{\theta}_{2}\right) \\
0 & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}<\hat{\theta}_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、移転ルール\(t\)は、\begin{equation*}t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\hat{\theta}_{2} & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}\geq \hat{\theta}_{2}\right) \\
0 & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}<\hat{\theta}_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるため、入札者\(1\)が得る利得は、\begin{equation*}a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta _{1}-t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
10-\hat{\theta}_{2} & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}\geq \hat{\theta}_{2}\right) \\
0 & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}<\hat{\theta}_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。したがって、\(10-\hat{\theta}_{2}\geq 0\)である場合には\(\hat{\theta}_{1}\geq \hat{\theta}_{2}\)を満たす任意の\(\hat{\theta}_{1}\)が最適であり、逆に\(10-\hat{\theta}_{2}<0\)である場合には\(\hat{\theta}_{1}<\hat{\theta}_{2}\)を満たす任意の\(\hat{\theta}_{1}\)が最適です。\(\hat{\theta}_{1}=10\)すなわち\(\hat{\theta}_{1}=\theta _{1}\)はいずれの条件も満たすため、入札者\(1\)にとって正直戦略は支配戦略です。

準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ環境においてVCGオークション\(\left( a,t\right) \)が運用されているものとします。VCGオークションは耐戦略性を満たすため、真の状態が\(\theta _{I}=\left( \theta _{i},\theta_{-i}\right) \)であるとき、均衡における入札額の組は\(\theta _{I}\)となるため、均衡において入札者\(i\)が獲得する利得は、\begin{eqnarray*}v_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{i}\right) -t_{i}\left(
\theta _{I}\right) &=&v_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{i}\right) -\left[ \max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I\backslash \left\{
i\right\} }v_{j}\left( a_{I},\theta _{j}\right) -\sum_{j\in I\backslash
\left\{ i\right\} }v_{j}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{j}\right) \right] \quad \because t\text{の定義} \\
&=&\sum_{j\in I}v_{j}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{j}\right)
-\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left(
a_{I},\theta _{j}\right) \\
&=&\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I}v_{j}\left( a_{I},\theta _{j}\right)
-\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left(
a_{I},\theta _{j}\right) \quad \because a\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。最後の辺の第1項\begin{equation*}
\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I}v_{j}\left( a_{I},\theta _{j}\right)
\end{equation*}は、すべての入札者がオークションに参加し、すべての入札者の間で商品を効率的に配分したときに、すべての入札者が得る社会的余剰に相当します。一方、第2項\begin{equation*}
\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left(
a_{I},\theta _{j}\right)
\end{equation*}は、入札者\(i\)以外の入札者たちがオークションに参加し、入札者\(i\)以外の入札者の間で商品を効率的に配分したときに、入札者\(i\)以外の入札者たちが得る社会的余剰に相当します。したがって、それらの差と一致する入札者\(i\)の利得は、オークションの参加者の間で商品が効率的に配分されることを前提とした場合に、入札者\(i\)がオークションに参加したことにより生み出される社会的余剰の増分に相当します。そこで、この余剰の増加分を入札者\(i\)の限界貢献度(marginal contribution)と呼びます。VCGオークションにおいて、それぞれの入札者は自身の限界貢献度に等しい利得を獲得するということです。

 

VCGオークションの狭義事後効率性

引き続き、単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ状況を想定します。この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が配分効率的であることとは、入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して配分ルール\(a\)が定める配分\(a\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)が\(\hat{\theta}_{I}\)のもとで配分効率的であること、すなわち、\begin{equation*}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,\hat{\theta}_{i}\right) =\max_{a_{I}\in A}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a_{I},\hat{\theta}_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。VCGオークションの配分ルール\(a\)は、\begin{equation*}a\left( \hat{\theta}_{I}\right) \in \mathrm{argmax}_{a_{I}\in
A}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a_{I},\hat{\theta}_{i}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているため、これは明らかに配分効率的です。

命題(VCGオークションの配分効率性)
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは配分効率性を満たす。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

一般に、配分効率的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)は入札額からなる組\(\hat{\theta}_{I}\)のもとで配分効率的な配分を定めるメカニズムであり、その配分は真の状態\(\theta _{I}\)のもとで配分効率的であるとは限りません。なぜなら、入札者たちが嘘をついて真のタイプとは異なる金額を入札する可能性があり、その場合には入札額からなる組\(\hat{\theta}_{I}\)は真の状態\(\theta_{I}\)と一致するとは限らないからです。ただ、先に示したように、VCGオークションは誘因両立的(耐戦略的)であるため、入札者たちにとって真のタイプを正直に入札することが最適であり、均衡において入札額からなる組\(\hat{\theta}_{I}\)は真の状態\(\theta _{I}\)と一致します。その結果、VCGオークションは均衡において真の状態\(\theta _{I}\)のもとで配分効率的な結果を遂行します。

例(VCGオークションの配分効率性)
単一財オークション環境において非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。入札者集合は、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、彼らの真のタイプが、\begin{equation*}
\theta _{I}=\left( \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\right) =\left(
10,9,8\right)
\end{equation*}であるものとします。VCGオークションは耐戦略的であるため、均衡において入札者たちが真のタイプを表明する状況を想定すると、VCGオークションの配分ルール\(a\)が定める配分は、\begin{equation*}a\left( \theta _{I}\right) =\left( a_{1}\left( \theta _{I}\right)
,a_{2}\left( \theta _{I}\right) ,a_{3}\left( \theta _{I}\right) \right)
=\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}であり、移転ルール\(t\)が定める所得移転は、\begin{eqnarray*}t_{1}\left( \theta _{I}\right) &=&9 \\
t_{2}\left( \theta _{I}\right) &=&0 \\
t_{3}\left( \theta _{I}\right) &=&0
\end{eqnarray*}となります。以上の均衡結果において入札者たちが得る利得は、\begin{eqnarray*}
a_{1}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{1}-t_{1}\left( \theta
_{I}\right) &=&10-9=1 \\
a_{2}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{2}-t_{2}\left( \theta
_{I}\right) &=&0-0=0 \\
a_{3}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{3}-t_{3}\left( \theta
_{I}\right) &=&0-0=0
\end{eqnarray*}であり、オークションの主催者が得る利得は、\begin{eqnarray*}
t_{1}\left( \theta _{I}\right) +t_{2}\left( \theta _{I}\right) +t_{3}\left(
\theta _{I}\right) &=&9+0+0 \\
&=&9
\end{eqnarray*}です。社会的余剰は全員が得る利得の総和であり、その値は、\begin{equation*}
10
\end{equation*}ですが、上の命題より、これは実現可能な社会的余剰の最大値です。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)が狭義事後効率的であることとは、全員の入札額からなる組\(\hat{\theta}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( a,t\right) \)が定める結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)が\(\hat{\theta}_{I}\)のもとで狭義パレート効率的であること意味します。準線型性とリスク中立性を認める場合、メカニズムが配分効率的であることと狭義事後効率的であることは必要十分であるため、先の命題より以下を得ます。

命題(VCGオークションの狭義事後効率性)
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは狭義事後効率性を満たす。

繰り返しになりますが、VCGオークションは誘因両立的(耐戦略的)であるため、入札者たちにとって真のタイプを正直に入札することが最適であり、均衡において入札額からなる組\(\hat{\theta}_{I}\)は真の状態\(\theta _{I}\)と一致します。したがって、VCGオークションが定める均衡結果は真のタイプ\(\theta _{I}\)のもとで狭義パレート効率的です。

 

VCGオークションの事後個人合理性

単一財オークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることとは、入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( a,t\right) \)が定める結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)が\(\hat{\theta}_{I}\)のもとで事後個人合理的であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I},\ \forall i\in I:u_{i}\left( a\left(
\hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,\hat{\theta}_{I}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。特に、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ場合、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right)\in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{i}\right) -t_{i}
\end{equation*}となるため、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることとは、\begin{equation*}\forall \hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I},\ \forall i\in I:v_{i}\left( a\left(
\hat{\theta}_{I}\right) ,\hat{\theta}_{i}\right) -t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。VCGオークションは一定の条件のもとで事後個人合理性を満たします。以下で解説します。

単一財オークションの環境において、入札者集合\(I\)に属するすべての入札者がオークションに参加する場合に起こり得るすべての配分からなる集合を\(A\)で表記し、入札者\(i\)以外のすべての入札者がオークションに参加する場合に起こり得るすべての配分からなる集合を\(A_{-i}\)で表記する場合、任意の入札者\(i\in I\)について、\begin{equation*}A_{-i}\subset A
\end{equation*}が成り立つのであれば、配分集合に関する単調性(allocation set monotonicity)が成り立つと言います。この仮定は、ある入札者がオークションへの参加をやめても、その人の参加時には実現不可能であった配分が実現可能になるような事態は起こり得ないことを要求します。逆に言うと、ある入札者がオークションへ参加した場合、その人が参加する前に実現可能であった配分は相変わらず実現可能であるということです。単一財オークションにおいては、たとえ入札者が増加しても、それ以前から参加している入札者たちに対して以前と同様の配分を割り当てることは物理的に可能であるため、単調性の仮定が常に満たされます。

単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。つまり、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得が、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{i}\right) -t_{i}
\end{equation*}であるということです。入札者\(i\)以外のすべての入札者がオークションに参加する場合に起こり得るすべての配分からなる集合を\(A_{-i}\)で表記する場合、任意の入札者\(i\in I\)とその任意のタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)および任意の配分\(a_{I}\in A_{-i}\)に対して、\begin{equation*}v_{i}\left( a_{I},\theta _{i}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合には非負の外部性(no negative externalities)が成り立つと言います。この仮定は、入札者\(i\)がオークションに参加しない場合に実現し得る結果から入札者\(i\)が得る利得が負にならないことを要求します。言い換えると、オークションに参加しない入札者にとって、参加者の中の誰が商品を落札しても構わないということです。これは、オークションの参加者が非参加者に対して負の外部性をもたらさないことを意味します。

例(非負の外部性)
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定に加えて非外部性が成り立つものとします。この場合、入札者\(i\in I\)とタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)および配分\(a_{I}\in A\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}v_{i}\left( a_{I},\theta _{i}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。入札者\(i\)がオークションに参加しない場合の配分\(a_{I}\in A_{-i}\)を任意に選ぶと\(a_{i}=0\)となるため、この場合、\begin{equation*}v_{i}\left( a_{I},\theta _{i}\right) =0
\end{equation*}となるため非負の外部性が成り立ちます。つまり、非外部性は非負の外部性を含意します。

VCGオークションが事後個人合理性を満たすためには以上の2つの条件が必要ですが、単一財オークションの環境では単調性は常に満たされるため、結局、必要な条件は非負の外部性のみです。

命題(VCGオークションが事後個人合理的であるための条件)
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値、非負の外部性の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは事後個人合理性を満たす。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

先ほど例を通じて確認したように、非外部性が成り立つ場合には非負の外部性が成り立ちます。以上の事実と上の命題より以下を得ます。

命題(VCGオークションが事後個人合理的であるための条件)
単一財オークション環境において非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは事後個人合理性を満たす。

一般に、事後個人合理的なメカニズム\(\left(a,t\right) \)は入札額からなる組\(\hat{\theta}_{I}\)のもとで事後個人合理的な結果を定めるメカニズムであり、その結果は真の状態\(\theta _{I}\)のもとで事後個人合理的であるとは限りません。なぜなら、入札者たちが嘘をついて真のタイプとは異なる金額を入札する可能性があり、その場合には入札額からなる組\(\hat{\theta}_{I}\)は真の状態\(\theta _{I}\)と一致するとは限らないからです。ただ、先に示したように、VCGオークションは誘因両立的(耐戦略的)であるため、入札者たちにとって真のタイプを正直に入札することが最適であり、均衡において入札額からなる組\(\hat{\theta}_{I}\)は真の状態\(\theta _{I}\)と一致します。その結果、VCGオークションは均衡において真の状態\(\theta _{I}\)のもとで事後個人合理的な結果を遂行します。

例(VCGオークションの事後個人合理性)
単一財オークション環境において非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。入札者集合は、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、彼らの真のタイプが、\begin{equation*}
\theta _{I}=\left( \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\right) =\left(
10,9,8\right)
\end{equation*}であるものとします。VCGオークションは耐戦略的であるため、均衡において入札者たちが真のタイプを表明する状況を想定すると、VCGオークションの配分ルール\(a\)が定める配分は、\begin{equation*}a\left( \theta _{I}\right) =\left( a_{1}\left( \theta _{I}\right)
,a_{2}\left( \theta _{I}\right) ,a_{3}\left( \theta _{I}\right) \right)
=\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}であり、移転ルール\(t\)が定める所得移転は、\begin{eqnarray*}t_{1}\left( \theta _{I}\right) &=&9 \\
t_{2}\left( \theta _{I}\right) &=&0 \\
t_{3}\left( \theta _{I}\right) &=&0
\end{eqnarray*}となります。以上の均衡結果において入札者たちが得る利得は、\begin{eqnarray*}
a_{1}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{1}-t_{1}\left( \theta
_{I}\right) &=&10-9=1 \\
a_{2}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{2}-t_{2}\left( \theta
_{I}\right) &=&0-0=0 \\
a_{3}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{3}-t_{3}\left( \theta
_{I}\right) &=&0-0=0
\end{eqnarray*}となります。これらはいずれも非負の実数であり、先の命題の主張と整合的です。

 

VCGオークションの広義予算均衡性

単一財オークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が広義の予算均衡を満たすこととは、入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して移転ルール\(t\)が定める所得移転\(t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)のもとでオークションの主催者の収支が赤字にならないこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}:\sum_{i\in I}t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。VCGオークションは一定の条件のもとで広義の予算均衡を満たします。以下で解説します。

単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。つまり、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得が、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{i}\right) -t_{i}
\end{equation*}であるということです。状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において、すべての入札者がオークションに参加する場合の効率的な配分を、\begin{equation*}a_{I}^{\ast }=\mathrm{argmax}_{a_{I}\in A}\sum_{i\in I}v_{i}\left(
a_{I},\theta _{j}\right)
\end{equation*}で表記します。また、入札者\(i\)以外のすべての入札者がオークションに参加する場合に起こり得るすべての配分からなる集合を\(A_{-i}\)で表記します。その上で、状態\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)と入札者\(i\in I\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\sum\limits_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a^{\ast
}(\theta _{I}),\theta _{j}\right) \leq \sum\limits_{j\in I\backslash \left\{
i\right\} }v_{j}\left( a_{I},\theta _{j}\right)
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}\in A_{-i}\)が存在することが保証されるのであれば、非単一エージェント効果(no single-agent effect)を満たすと言います。左辺は入札者\(i\)を含めた全員がオークションに参加する場合の効率的配分において、入札者\(i\)以外の入札者たちが得る余剰に相当します。右辺は、入札者\(i\)がオークションに参加しない場合に入札者\(i\)以外の入札者たちが得る余剰です。したがって上の条件は、効率的な配分を出発点として入札者\(i\)がオークションから抜けても、残った入札者たちが得る余剰が減少しないような配分が存在することを保証しています。単一財オークションでは、ある入札者がオークションから離脱すると、入札者間の競争の度合いが緩和されるため、残された入札者たちが直面する配分が悪化することはなく、したがって非単一エージェント効果の仮定は成り立つものと考えられます。

非単一エージェント効果の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは広義の予算均衡を満たします。つまり、オークションの主催者の収支が赤字になることはありません。

命題(VCGオークションが広義の予算均衡を満たすための条件)
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値、非単一エージェント効果の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは広義の予算均衡を満たす。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

単一財オークション