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SINGLE OBJECT AUCTION

VCGオークション

目次

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VCGオークション

単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。つまり、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得が、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{i}\right) -t_{i}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(v_{i}\left( \cdot ,\theta_{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)は評価関数です。復習になりますが、グローヴスメカニズム\(\left( a,t\right) :\Theta _{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)は入札者たちが表明するタイプの組\(\hat{\theta}_{I}\in\Theta _{I}\)に対して、以下の条件を満たす結果\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ a\left( \hat{\theta}_{I}\right) &\in &\mathrm{argmax}_{a_{I}\in A}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a_{I},\hat{\theta}_{i}\right)
\\
\left( b\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) &=&h_{i}\left( \hat{\theta}_{-i}\right) -\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left(
a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,\hat{\theta}_{j}\right)
\end{eqnarray*}を選び取ります。ただし、\(h_{i}:\Theta _{-i}\rightarrow \mathbb{R} \)は任意の関数です。特に、この関数\(h_{i}\)がそれぞれの\(\hat{\theta}_{-i}\in \Theta _{-i}\)に対して定める値が、\begin{equation*}h_{i}\left( \hat{\theta}_{-i}\right) =\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in
I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a_{I},\hat{\theta}_{j}\right)
\end{equation*}である場合、このような関数\(h_{i}\)をクラークのピボットルール(Clarke pivot rule)と呼びます。関数\(h_{i}\)がピボットルールであるようなグローヴスメカニズムをヴィックリー=クラーク=グローブス・オークション(Vickrey-Clarke-Grove)やVCGオークション(VCG auction)、VCGメカニズム(VCG mechanism)、クラークメカニズム(Clarke mechanism)またはピボタルメカニズム(pivotal mechanism)などと呼びます。

改めて整理すると、VCGオークション\(\left( a,t\right) :\Theta_{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)は入札者たちが表明するタイプの組\(\hat{\theta}_{I}\in\Theta _{I}\)に対して、以下の条件を満たす結果\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ a\left( \hat{\theta}_{I}\right) &\in &\mathrm{argmax}_{a_{I}\in A}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a_{I},\hat{\theta}_{i}\right)
\\
\left( b\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) &=&\max_{a_{I}\in
A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a_{I},\hat{\theta}_{j}\right) -\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a\left(
\hat{\theta}_{I}\right) ,\hat{\theta}_{j}\right)
\end{eqnarray*}を選び取りますが、これはどのような意味を持つのでしょうか。

準線型環境を想定しているため、入札者たちが表明するタイプの組が\(\hat{\theta}_{I}\)であるとき、配分\(a_{I}\in A\)がもたらす社会的余剰は、\begin{equation*}\sum_{i\in I}v_{i}\left( a_{I},\hat{\theta}_{i}\right)
\end{equation*}となります。VCGオークションはこの社会的余剰を最大化するような配分を選び取る事後効率的なメカニズムです。

VCGオークションが入札者\(i\)に対して課す支払い\begin{equation*}\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a_{I},\hat{\theta}_{j}\right)
\end{equation*}は、入札者\(i\)を除くすべての入札者たちの間で商品を効率的に配分した場合に、入札者\(i\)を除く入札者たちが得る社会的余剰に相当します。一方、VCGオークションが入札者\(i\)に対して移転する金額\begin{equation*}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,\hat{\theta}_{j}\right)
\end{equation*}は、入札者\(i\)を含めた全員の間で商品を効率的に配分した場合に、入札者\(i\)を除く入札者たちが得る社会的余剰に相当します。したがって、VCGオークションにおいて入札者\(i\)に課される所得移転\begin{equation*}\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a_{I},\hat{\theta}_{j}\right) -\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\}
}v_{j}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,\hat{\theta}_{j}\right)
\end{equation*}は、入札者\(i\)がオークションに参加することにより他の入札者たちが被る被害額に相当します。つまり、VCGオークションのもとでは、入札者\(i\)は自身がオークションに参加することにより発生する「外部性」に相当する金額を支払うことを要求されます。

例(VCGオークション)
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定に加えて非外部性の仮定が成り立つ場合、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a,t\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}となります。以上の状況において、VCGオークション\(\left( a,t\right) :\Theta _{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)は入札者たちが表明するタイプの組\(\hat{\theta}_{I}\in\Theta _{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ a\left( \hat{\theta}_{I}\right) &\in &\mathrm{argmax}_{a_{I}\in A}\sum_{i\in I}a_{i}\cdot \hat{\theta}_{i} \\
\left( b\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) &=&\max_{a_{I}\in
A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }a_{j}\cdot \hat{\theta}_{j}-\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }a_{j}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \hat{\theta}_{j}
\end{eqnarray*}を定めます。入札者集合は\(I=\left\{ 1,2,3\right\} \)であり、彼らの入札額が、\begin{equation*}\hat{\theta}_{I}=\left( \hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2},\hat{\theta}_{3}\right) =\left( 10,9,8\right)
\end{equation*}であるものとします。入札者\(1\)が最大の支払い意思額を表明しているため、入札者\(1\)を勝者とすることにより効率性は達成されます。したがって、VCGオークションの配分ルール\(a\)が定める配分は、\begin{equation*}a\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left( a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,a_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,a_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\right) =\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}となります。仮に入札者\(1\)がオークションに参加しない場合、商品は入札者\(2\)が落札することになるため、入札者\(2,3\)が得る社会的余剰は\(9\)となります。一方、入札者\(1\)がオークションに参加する場合、商品は入札者\(1\)が落札することになるため、入札者\(2,3\)が得る社会的余剰は\(0\)です。したがって、VCGオークションの移転ルール\(t\)が入札者\(1\)に課す所得移転は、\begin{equation*}t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =9-0=9
\end{equation*}となります。仮に入札者\(2\)がオークションに参加しない場合、商品は入札者\(1\)が落札することになるため、入札者\(1,3\)が得る社会的余剰は\(10\)となります。一方、入札者\(2\)がオークションに参加する場合、商品はやはり入札者\(1\)が落札することになるため、入札者\(1,3\)が得る社会的余剰は\(10\)です。したがって、VCGオークションの移転ルール\(t\)が入札者\(2\)に課す所得移転は、\begin{equation*}t_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =10-10=0
\end{equation*}となります。同様に考えると、VCGオークションの移転ルール\(t\)が入札者\(3\)に課す所得移転は、\begin{equation*}t_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =10-10=0
\end{equation*}となります。

 

VCGオークションの耐戦略性

VCGオークションはグローヴスメカニズムであるため耐戦略的です。つまり、VCGオークションのもとでのベイジアンゲームにおいて、正直戦略の組が支配戦略均衡になります。任意の入札者にとって、真の支払い意思額を正直に入札することが支配戦略になるということです。

命題(VCGオークションの耐戦略性)
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは耐戦略性を満たす。

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例(VCGメカニズム)
単一財オークション環境において非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。入札者集合は\(I=\left\{ 1,2,3\right\} \)であり、入札者\(1\)の真のタイプが、\begin{equation*}\theta _{1}=10
\end{equation*}であるものとします。入札者たちが表明するタイプが、\begin{equation*}
\hat{\theta}_{I}=\left( \hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2},\hat{\theta}_{3}\right)
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(\hat{\theta}_{2}\geq \hat{\theta}_{3}\)です。VCGメカニズムの配分ルール\(a\)は、\begin{equation*}a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}\geq \hat{\theta}_{2}\right) \\
0 & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}<\hat{\theta}_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、移転ルール\(t\)は、\begin{equation*}t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\hat{\theta}_{2} & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}\geq \hat{\theta}_{2}\right) \\
0 & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}<\hat{\theta}_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるため、入札者\(1\)が得る利得は、\begin{equation*}a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta _{1}-t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
10-\hat{\theta}_{2} & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}\geq \hat{\theta}_{2}\right) \\
0 & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}<\hat{\theta}_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。したがって、\(10-\hat{\theta}_{2}\geq 0\)である場合には\(\hat{\theta}_{1}\geq \hat{\theta}_{2}\)を満たす任意の\(\hat{\theta}_{1}\)が最適であり、逆に\(10-\hat{\theta}_{2}<0\)である場合には\(\hat{\theta}_{1}<\hat{\theta}_{2}\)を満たす任意の\(\hat{\theta}_{1}\)が最適です。\(\hat{\theta}_{1}=10\)すなわち\(\hat{\theta}_{1}=\theta _{1}\)はいずれの条件も満たすため、入札者\(1\)にとって正直戦略は支配戦略です。

VCGオークション\(\left( a,t\right) \)は耐戦略性を満たすため、状態\(\theta _{I}\)を任意に選んだとき、均衡において入札者\(i\)が獲得する利得は、\begin{eqnarray*}v_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{i}\right) -t_{i}\left(
\theta _{I}\right) &=&v_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{i}\right) -\left[ \max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I\backslash \left\{
i\right\} }v_{j}\left( a_{I},\theta _{j}\right) -\sum_{j\in I\backslash
\left\{ i\right\} }v_{j}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{j}\right) \right] \quad \because t\text{の定義} \\
&=&\sum_{j\in I}v_{j}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{j}\right)
-\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left(
a_{I},\theta _{j}\right) \\
&=&\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I}v_{j}\left( a_{I},\theta _{j}\right)
-\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }a_{j}\cdot
\theta _{j}\quad \because a\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。最後の辺の第1項\begin{equation*}
\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I}v_{j}\left( a_{I},\theta _{j}\right)
\end{equation*}は、すべての入札者がオークションに参加し、すべての入札者の間で商品を効率したときに、すべての入札者が得る社会的余剰に相当します。一方、第2項\begin{equation*}
\max_{a_{I}\in A}\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }a_{j}\cdot \theta
_{j}
\end{equation*}は、入札者\(i\)以外の入札者たちがオークションに参加し、入札者\(i\)以外の入札者の間で商品を効率的に配分したときに、入札者\(i\)以外の入札者たちが得る社会的余剰に相当します。したがって、それらの差と一致する入札者\(i\)の利得は、オークションの参加者の間で商品が効率的に配分されることを前提とした場合に、入札者\(i\)がオークションに参加したことにより生み出される社会的余剰の増分に相当します。そこで、この余剰の増加分を入札者\(i\)の限界貢献度(marginal contribution)と呼びます。VCGオークションにおいて、それぞれの入札者は自身の限界貢献度に等しい利得を獲得するということです。

 

VCGオークションの事後効率性

VCGオークションはグローヴスメカニズムであるため事後効率的です。

命題(VCGオークションの事後効率性)
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは事後効率性を満たす。

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例(VCGオークション)
単一財オークション環境において非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。入札者集合は\(I=\left\{ 1,2,3\right\} \)であり、彼らの真のタイプが、\begin{equation*}\theta _{I}=\left( \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\right) =\left(
10,9,8\right)
\end{equation*}であるものとします。VCGオークションは耐戦略的であるため、入札者たちが真のタイプを表明するものと仮定すると、VCGオークション配分ルール\(a\)は、\begin{equation*}a\left( \theta _{I}\right) =\left( a_{1}\left( \theta _{I}\right)
,a_{2}\left( \theta _{I}\right) ,a_{3}\left( \theta _{I}\right) \right)
=\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}を定め、移転ルール\(t\)が定める所得移転\(t\left(\theta _{I}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は、\begin{eqnarray*}t_{1}\left( \theta _{I}\right) &=&9-0=9 \\
t_{2}\left( \theta _{I}\right) &=&10-10=0 \\
t_{3}\left( \theta _{I}\right) &=&10-10=0
\end{eqnarray*}を定めます。入札者たちが得る利得は、\begin{eqnarray*}
a_{1}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{1}-t_{1}\left( \theta
_{I}\right) &=&10-9=1 \\
a_{2}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{2}-t_{2}\left( \theta
_{I}\right) &=&0-0=0 \\
a_{3}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{3}-t_{3}\left( \theta
_{I}\right) &=&0-0=0
\end{eqnarray*}であり、オークションの主催者が得る利得は、\begin{eqnarray*}
t_{1}\left( \theta _{I}\right) +t_{2}\left( \theta _{I}\right) +t_{3}\left(
\theta _{I}\right) &=&9+0+0 \\
&=&9
\end{eqnarray*}であるため、社会的余剰はこれらの総和である\(10\)となります。上の命題より、これは実現可能な社会的余剰の最大値です。

 

VCGオークションの事後個人合理性

単一財オークションの環境において、すべての入札者がオークションに参加する場合に起こり得るすべての配分からなる集合を\(A\)で、入札者\(i\)以外のすべての入札者がオークションに参加する場合に起こり得るすべての配分からなる集合を\(A_{-i}\)でそれぞれ表記する場合、任意の入札者\(i\in I\)について、\begin{equation*}A_{-i}\subset A
\end{equation*}が成り立つ場合、その環境は配分集合に関する単調性(allocation set monotonicity)を満たすと言います。この仮定は、ある入札者がオークションへの参加を取りやめても、その人が参加時には不可能であった配分が実現可能になるという事態が起こり得ないことを要求します。逆に言うと、新たな入札者がオークションへ参加した場合、その人が参加する前に実現可能であった配分は相変わらず実現可能であるということです。単一財オークションにおいては、たとえ入札者が増加しても、それ以前から参加している入札者たちに対して以前と同様の配分を割り当てることは物理的に可能であるため、常に単調性の仮定が満たされます。

単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。つまり、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a,t\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得が、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{i}\right) -t_{i}
\end{equation*}であるということです。入札者\(i\)以外のすべての入札者がオークションに参加する場合に起こり得るすべての配分からなる集合を\(A_{-i}\)で表記する場合、任意の入札者\(i\in I\)とその任意のタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)および任意の配分\(a_{I}\in A_{-i}\)に対して、\begin{equation*}v_{i}\left( a_{I},\theta _{i}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合、その環境は非負の外部性(no negative externalities)を満たすと言います。この仮定は、入札者\(i\)がオークションに参加しない場合に実現し得る結果から入札者\(i\)が得る利得が負になることはないことを要求します。言い換えると、オークションに参加しない入札者にとって、参加者の中の誰が商品を落札しても構わないということです。これは、オークションの参加者が非参加者に対して負の外部性をもたらさないことを意味します。

例(非負の外部性)
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定に加えて非外部性が成り立つものとします。この場合、入札者\(i\in I\)とタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)および配分\(a_{I}\in A\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}v_{i}\left( a_{I},\theta _{i}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。入札者\(i\)がオークションに参加しない場合の配分\(a_{I}\in A_{-i}\)を任意に選ぶと\(a_{i}=0\)となるため、この場合、\begin{equation*}v_{i}\left( a_{I},\theta _{i}\right) =0
\end{equation*}となるため非負の外部性が成り立ちます。つまり、非外部性は非負の外部性を含意します。

VCGオークションが事後個人合理性を満たすためには以上の2つの条件が必要ですが、単一財オークションの環境では単調性は常に満たされるため、結局、必要な条件は非負の外部性のみです。

命題(VCGオークションが事後個人合理的であるための条件)
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値、非負の外部性の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは事後個人合理性を満たす。

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先ほど例を通じて確認したように、非外部性が成り立つ場合には非負の外部性が成り立ちます。以上の事実と上の命題より以下を得ます。

命題(VCGオークションが事後個人合理的であるための条件)
単一財オークション環境において非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは事後個人合理性を満たす。

例(VCGオークションの事後個人合理性)
単一財オークション環境において非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。入札者集合は\(I=\left\{ 1,2,3\right\} \)であり、彼らの真のタイプが、\begin{equation*}\theta _{I}=\left( \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\right) =\left(
10,9,8\right)
\end{equation*}であるものとします。VCGオークションは耐戦略的であるため、入札者たちが真のタイプを表明するものと仮定すると、VCGオークション配分ルール\(a\)は、\begin{equation*}a\left( \theta _{I}\right) =\left( a_{1}\left( \theta _{I}\right)
,a_{2}\left( \theta _{I}\right) ,a_{3}\left( \theta _{I}\right) \right)
=\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}を定め、移転ルール\(t\)が定める所得移転\(t\left(\theta _{I}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は、\begin{eqnarray*}t_{1}\left( \theta _{I}\right) &=&9-0=9 \\
t_{2}\left( \theta _{I}\right) &=&10-10=0 \\
t_{3}\left( \theta _{I}\right) &=&10-10=0
\end{eqnarray*}を定めます。入札者たちが得る利得は、\begin{eqnarray*}
a_{1}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{1}-t_{1}\left( \theta
_{I}\right) &=&10-9=1 \\
a_{2}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{2}-t_{2}\left( \theta
_{I}\right) &=&0-0=0 \\
a_{3}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{3}-t_{3}\left( \theta
_{I}\right) &=&0-0=0
\end{eqnarray*}となります。これらはいずれも非負の実数であり、先の命題の主張と整合的です。

 

VCGオークションの弱予算均衡性

単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つものとします。つまり、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a,t\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得が、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{i}\right) -t_{i}
\end{equation*}であるということです。状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において、すべての入札者がオークションに参加する場合の効率的な配分を、\begin{equation*}a_{I}^{\ast }=\mathrm{argmax}_{a_{I}\in A}\sum_{i\in I}v_{i}\left(
a_{I},\theta _{j}\right)
\end{equation*}で表記します。また、入札者\(i\)以外のすべての入札者がオークションに参加する場合に起こり得るすべての配分からなる集合を\(A_{-i}\)で表記します。その上で、状態\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)と入札者\(i\in I\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\sum\limits_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }v_{j}\left( a^{\ast
}(\theta _{I}),\theta _{j}\right) \leq \sum\limits_{j\in I\backslash \left\{
i\right\} }v_{j}\left( a_{I},\theta _{j}\right)
\end{equation*}を満たす配分\(a_{I}\in A_{-i}\)が存在することが保証されるのであれば、その環境は非単一エージェント効果(nosingle-agent effect)を満たすと言います。左辺は入札者\(i\)を含めた全員がオークションに参加する場合の効率的配分において、入札者\(i\)以外の入札者たちが得る余剰に相当します。一方の右辺は、入札者\(i\)がオークションに参加しない場合に入札者\(i\)以外の入札者たちが得る余剰です。したがって上の条件は、入札者\(i\)がオークションから抜けても、残った入札者たちが得る余剰が減少しないような配分が存在することを保証しています。単一財オークションでは、ある入札者がオークションから離脱すると、入札者間の競争の度合いが緩和されるため、残された入札者たちが直面する配分が悪化することはなく、したがって非単一エージェント効果の仮定は成り立つものと考えられます。

非単一エージェント効果の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは弱予算均衡性を満たします。つまり、オークションの主催者の収支が赤字になることはありません。

命題(VCGオークションが弱予算均衡であるための条件)
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値、非単一エージェント効果の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは弱予算均衡性を満たす。

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次回は第二価格封印オークション(セカンドプライス・オークション)について解説します。

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