タイ・ブレークを考慮した第二価格封印オークション（セカンドプライス・オークション）

タイ・ブレークを考慮した第二価格封印オークション

分割不可能な1つの商品が売りに出される単一財オークションが環境\begin{equation*}
\left( I,\left\{ \theta _{i}\right\} _{i\in I},A\times \mathbb{R} ^{n},\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)は入札者集合、\(\theta _{i}\)は入札者\(i\)にとっての商品の評価額、\(A\times \mathbb{R} ^{n}\)は結果集合、\(u_{i}\left( \cdot,\theta _{I}\right) \)は入札者\(i\)が結果どうしを比較する利得関数です。特に、入札者の利得関数に関して準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定する場合には、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得を、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{i}\right) -t_{i}
\end{equation*}と表現できます。ただし、\(v_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)は配分の金銭価値を特定する評価関数です。また、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定に加えて非外部性を仮定する場合には、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得を、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}と表現できます（準線型環境）。

入札者たちが表明するタイプからなる組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall i,j\in I:\left( i\not=j\Rightarrow \hat{\theta}_{i}\not=\hat{\theta}_{j}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。全員の入札額が異なる状況を想定するということです。この場合、第二価格封印オークション\(\left(a,t\right) :\Theta _{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)定める結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)において入札者\(i\in I\)が直面する配分\(a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)および所得移転\(t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right. \\
&&\left( b\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{ i\right\}
\right\} & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\
j\in I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}と定まります。条件\(\left( a\right) \)より、第二価格封印オークションのもとでは、最高額を入札した入札者が商品を確率\(1\)で入手し、それ以外の入札者は商品を手に入れられません。条件\(\left( b\right) \)より、商品を落札した入札者は二番目に高い入札額に相当する金額を支払う必要がある一方で、それ以外の入札者に所得移転は課されません。

現実には複数の入札者の入札額が一致する状況は起こり得るため、そのような状況に対処できるよう、メカニズムを修正する必要があります。そこで、複数の入札者が最高額を入札してきた場合には、オークションの主催者はクジなどを用いてその中から1人をランダムに選んだ上で落札者と定めます。その上で、落札者は2番目に高い入札額に相当する金額を支払う一方で、それ以外の入札者には所得移転は課さないものと定めます。正確には以下の通りです。

入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)のもとで最高額を入札した入札者からなる集合を、\begin{equation*}m\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{ i\in I\ |\ \hat{\theta}_{i}=\max
\left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\right\} \right\}
\end{equation*}で表記した上で、この集合に属する入札者の数を、\begin{equation*}
\left\vert m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right\vert
\end{equation*}で表記します。タイ・ブレークを考慮した第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) :\Theta _{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)定める結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)において入札者\(i\in I\)が直面する配分は、\begin{equation*}a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{\left\vert m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right\vert } & \left(
if\ i\in m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \\
0 & \left( if\ i\not\in m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。つまり、最高額を提示した入札者たちは各々が等しい確率で商品を入手できる一方で、それ以外の入札者たちが商品を落札できる確率はゼロです。集合\(m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)の中からランダムに選ばれた入札者が\(k\in m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)である場合、入札者\(i\)が直面する所得移転は、\begin{equation*}t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{ i\right\}
\right\} & \left( if\ i=k\right) \\
0 & \left( if\ i\not=k\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。つまり、落札者は自身を除いた入札者たちの入札額の中の最高額に相当する金額を支払う一方で、それ以外の入札者たちには所得移転は課されません。\(\left\vert m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right\vert =1\)である場合、すなわち最高額を提示した入札者が1人だけである場合、落札者は2番目に高い入札額に相当する金額を支払うことになります。\(\left\vert m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right\vert \geq 2\)である場合、すなわち最高額を提示した入札者が複数存在する場合、落札者は自身の入札額と一致する金額を支払うことになります。最高額を提示したものの落札者として選ばれなかった入札者には所得移転は課されないことに注意してください。

真の状態が\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)である一方で入札額が\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)であるものとします。第二価格封印オークションのもとで入札者\(i\in I\)が最高額を入札した場合、すなわち、\begin{equation*}i\in m\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\end{equation*}である場合、入札者\(i\)が直面する利得の期待値は、\begin{eqnarray*}&&\frac{1}{\left\vert m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right\vert }\cdot
\left( \theta _{i}-\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash
\left\{ i\right\} \right\} \right) +\left( 1-\frac{1}{\left\vert m\left(
\hat{\theta}_{I}\right) \right\vert }\right) \cdot \left( 0\cdot \theta
_{i}-0\right) \\
&=&\frac{1}{\left\vert m\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right\vert }\cdot
\left( \theta _{i}-\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash
\left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{eqnarray*}です。その上で、入札者\(i\)が落札者として選定された場合に得る利得は、\begin{equation*}\theta _{i}-\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{
i\right\} \right\}
\end{equation*}である一方で、落札者として選定されなかった場合に得る利得は、\begin{equation*}
0\cdot \theta _{i}-0=0
\end{equation*}です。また、入札者\(i\)が最高額を入札しなかった場合、すなわち、\begin{equation*}i\not\in m\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\end{equation*}である場合、入札者\(i\)が得る利得は、\begin{equation*}0\cdot \theta _{i}-0=0
\end{equation*}です。

タイ・ブレークを考慮した第二価格封印オークションの耐戦略性

単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値、非外部性の仮定が成り立つ場合、第二価格封印オークションは耐戦略性を満たします。同様の条件のもとでは、タイ・ブレークを考慮した第二価格封印オークションもまた耐戦略性を満たします。つまり、タイ・ブレークを考慮した第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでは、入札者\(i\in I\)と状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)および入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}a_{i}\left( \theta _{i},\hat{\theta}_{-i}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}\left( \theta _{i},\hat{\theta}_{-i}\right) \geq a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\hat{\theta}_{-i}\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\hat{\theta}_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。任意の入札者にとって、真の支払い意思額を正直に入札することが広義の支配戦略になるということです。

演習問題