第二価格封印オークション
分割不可能な1つの商品が売りに出される単一財オークションが環境\begin{equation*}
\left( I,\left\{ \theta _{i}\right\} _{i\in I},A\times \mathbb{R} ^{n},\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)は入札者集合、\(\theta _{i}\)は入札者\(i\)にとっての商品の評価額、\(A\times \mathbb{R} ^{n}\)は結果集合、\(u_{i}\left( \cdot,\theta _{I}\right) \)は入札者\(i\)が結果どうしを比較する利得関数です。特に、入札者の利得関数に関して準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定する場合には、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得を、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{i}\right) -t_{i}
\end{equation*}と表現できます。ただし、\(v_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)は配分の金銭価値を特定する評価関数です。また、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定に加えて非外部性を仮定する場合には、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得を、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}と表現できます（準線型環境）。
入札者たちが表明するタイプからなる組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall i,j\in I:\left( i\not=j\Rightarrow \hat{\theta}_{i}\not=\hat{\theta}_{j}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。全員の入札額が異なる状況を想定するということです。その上で、メカニズム\(\left( a,t\right) :\Theta _{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)定める結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)において入札者\(i\in I\)が直面する配分\(a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)および所得移転\(t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)が、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right. \\
&&\left( b\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{ i\right\}
\right\} & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\
j\in I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}である場合、このようなメカニズム\(\left( a,t\right) \)を第二価格封印オークション（second-price sealed-bid auction）やセカンドプライス・オークション（second price auction）などと呼びます。
条件\(\left( a\right) \)より、第二価格封印オークションのもとでは、最高額を入札した入札者が商品を確率\(1\)で入手し、それ以外の入札者は商品を手に入れられません。条件\(\left(b\right) \)より、商品を落札した入札者は二番目に高い入札額に相当する金額を支払う必要がある一方で、それ以外の入札者に所得移転は課されません。
これまでは全員の入札額が異なる状況を想定しましたが、現実には複数の入札者の入札額が一致する状況は起こり得ます。複数の入札者が最高額を入札する状況を許容した場合の第二価格封印オークションについては場を改めて解説します。
真の状態が\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)である一方で入札額が\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)であるものとします。第二価格封印オークションのもとで入札者\(i\in I\)が落札者である場合には、すなわち、\begin{equation}\hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{
i\right\} \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には、入札者\(i\)が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\right) &=&a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \quad \because \text{準線型環境} \\
&=&1\cdot \theta _{i}-\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash
\left\{ i\right\} \right\} \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\theta _{i}-\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{
i\right\} \right\}
\end{eqnarray*}となります。また、入札者\(i\)が落札者ではない場合には、すなわち、\begin{equation}\hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{
i\right\} \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、入札者\(i\)が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\right) &=&a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \quad \because \text{準線型環境} \\
&=&0\cdot \theta _{i}-0\quad \because \left( 2\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}であるということです。入札者集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、状態が、\begin{equation*}
\theta _{I}=\left( \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\right)
\end{equation*}であり、入札額が、\begin{equation*}
\hat{\theta}_{I}=\left( \hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2},\hat{\theta}_{3}\right) =\left( 10,9,8\right)
\end{equation*}であるものとします。入札者\(1\)が最高額を入札しているため、第二価格封印オークションの配分ルール\(a\)が定める配分は、\begin{equation*}a\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left( a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,a_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,a_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\right) =\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}であり、移転ルール\(t\)が定める所得移転は、\begin{equation*}t\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left( t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,t_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\right) =\left( 9,0,0\right)
\end{equation*}となります。したがって、以上の結果からそれぞれの入札者が得る利得は、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,\theta _{I}\right) &=&a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{1}-t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\theta _{1}-9 \\
u_{2}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,\theta _{I}\right) &=&a_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{2}-t_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =0 \\
u_{3}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,\theta _{I}\right) &=&a_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{3}-t_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =0
\end{eqnarray*}となります。
第二価格封印オークションとVCGオークションの関係
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値、非外部性の仮定が成り立つ場合、第二価格封印オークションとVCGオークションはメカニズムとして一致します。
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ一方で非外部性の仮定が成り立たない場合、VCGオークションと単一財オークションは一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
_{i}\right) -t_{i}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(v_{i}\left( \cdot ,\theta_{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)は評価関数です。入札者集合が、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であり、状態が、\begin{equation*}
\theta _{I}=\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) =\left( 10,9\right)
\end{equation*}であり、入札額もまた、\begin{equation*}
\hat{\theta}_{I}=\left( \hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2}\right) =\left(
10,9\right)
\end{equation*}であるものとします。以下の2つの配分\begin{eqnarray*}
a_{I} &=&\left( a_{1},a_{2}\right) =\left( 1,0\right) \\
a_{I}^{\prime } &=&\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime }\right) =\left(
0,1\right)
\end{eqnarray*}に注目します。入札者\(1\)による入札額の方が高いため、第二価格封印オークションの配分ルール\(a^{II}\)が定める配分は、\begin{equation*}a^{II}\left( \theta _{I}\right) =a_{I}
\end{equation*}となります。入札者たちは商品に対してそれなりの価値を見出しているものの、商品が入札者\(2\)によって活用されるべきであるという認識を共有している場合には以下の関係\begin{equation*}v_{1}\left( a_{I},\theta _{1}\right) +v_{2}\left( a_{I},\theta _{2}\right)
<v_{1}\left( a_{I}^{\prime },\theta _{1}\right) +v_{2}\left( a_{I}^{\prime
},\theta _{2}\right)
\end{equation*}が成立し得るため、この場合、VCGオークションの配分ルール\(a^{VCG}\)が定める配分は、\begin{equation*}a^{VCG}\left( \theta _{I}\right) =a_{I}^{\prime }
\end{equation*}となります。以上より、\begin{equation*}
a^{II}\not=a^{VCG}
\end{equation*}であることが明らかになりました。
第二価格封印オークションの耐戦略性
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値、非外部性の仮定が成り立つ場合、第二価格封印オークションはVCGオークションと一致することが明らかになりました。VCGオークションは耐戦略性を満たすため、この場合、第二価格封印オークションもまた耐戦略性を満たします。つまり、第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでは、入札者\(i\in I\)と状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)および入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}a_{i}\left( \theta _{i},\hat{\theta}_{-i}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}\left( \theta _{i},\hat{\theta}_{-i}\right) \geq a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\hat{\theta}_{-i}\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\hat{\theta}_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。任意の入札者にとって、真の支払い意思額を正直に入札することが広義の支配戦略になるということです。
\end{equation*}であるということです。入札者集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であり、状態が、\begin{equation*}
\theta _{I}=\left( \theta _{1},\theta _{2}\right)
\end{equation*}であり、入札額が、\begin{equation*}
\hat{\theta}_{I}=\left( \hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2}\right)
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
\hat{\theta}_{1} &\not=&\hat{\theta}_{2} \\
\theta _{1} &=&10
\end{eqnarray*}がともに成り立つ状況を想定します。すると、第二価格封印オークションの配分ルール\(a\)は、\begin{equation*}a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}>\hat{\theta}_{2}\right) \\
0 & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}<\hat{\theta}_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、移転ルール\(t\)は、\begin{equation*}t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\hat{\theta}_{2} & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}>\hat{\theta}_{2}\right)
\\
0 & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}<\hat{\theta}_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるため、入札者\(1\)が得る利得は、\begin{equation*}a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta _{1}-t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
10-\hat{\theta}_{2} & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}>\hat{\theta}_{2}\right) \\
0 & \left( if\quad \hat{\theta}_{1}<\hat{\theta}_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。したがって、\(10-\hat{\theta}_{2}\geq 0\)すなわち\(10\geq \hat{\theta}_{2}\)である場合には\(\hat{\theta}_{1}>\hat{\theta}_{2}\)を満たす任意の\(\hat{\theta}_{1}\)が最適ですが、\(\hat{\theta}_{1}=10\)は条件を満たします。逆に、\(10-\hat{\theta}_{2}<0\)すなわち\(10<\hat{\theta}_{2}\)である場合には\(\hat{\theta}_{1}<\hat{\theta}_{2}\)を満たす任意の\(\hat{\theta}_{1}\)が最適ですが、\(\hat{\theta}_{1}=10\)は条件を満たします。以上より、\(\hat{\theta}_{2}\)がいかなる値であっても\(\hat{\theta}_{1}=10\)すなわち\(\hat{\theta}_{1}=\theta _{1}\)が最適戦略であるため、入札者\(1\)にとって正直戦略は支配戦略です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
第二価格封印オークションの効率性
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値、非外部性の仮定が成り立つ場合、第二価格封印オークションはVCGオークションと一致することが明らかになりました。VCGオークションは配分効率性を満たすため、この場合、第二価格封印オークションもまた配分効率性を満たします。つまり、第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでは、入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選んだとき、\begin{equation}\sum_{i\in I}a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \hat{\theta}_{i}=\max_{a_{I}\in A}\sum_{i\in I}a_{i}\cdot \hat{\theta}_{i} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。さらに、先に示したように第二価格封印オークションは耐戦略性を満たすため正直戦略の組\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)が支配戦略均衡になりますが、以上の事実と\(\left( 1\right) \)より、均衡においても、\begin{equation*}\sum_{i\in I}a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{i}=\max_{a_{I}\in
A}\sum_{i\in I}a_{i}\cdot \theta _{i}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、第二価格封印オークションは均衡において真の状態\(\theta _{I}\)のもとで配分効率的な結果を遂行します。
メカニズム\(\left( a,t\right) \)が狭義事後効率的であることとは、全員の入札額からなる組\(\hat{\theta}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( a,t\right) \)が定める結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)が\(\hat{\theta}_{I}\)のもとで狭義パレート効率的であること意味します。準線型性とリスク中立性を認める場合、メカニズムが配分効率的であることと狭義事後効率的であることは必要十分であるため、第二価格封印オークションは狭義事後効率的です。さらに、先に示したように第二価格封印オークションは耐戦略性を満たすため正直戦略の組\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)が支配戦略均衡になるため、第二価格封印オークションは均衡において真の状態\(\theta _{I}\)のもとで狭義パレート効率的な結果を遂行します。
\end{equation*}であるということです。入札者集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、状態が、\begin{equation*}
\theta _{I}=\left( \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\right) =\left(
10,9,8\right)
\end{equation*}であるものとします。第二価格封印オークションは耐戦略的であるため、入札者たちが真のタイプを表明するものと仮定すると、入札額もまた\(\theta _{I}\)となります。すると、第二価格封印オークションの配分ルール\(a\)は、\begin{equation*}a\left( \theta _{I}\right) =\left( a_{1}\left( \theta _{I}\right)
,a_{2}\left( \theta _{I}\right) ,a_{3}\left( \theta _{I}\right) \right)
=\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}を定め、移転ルール\(t\)が定める所得移転\(t\left(\theta _{I}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は、\begin{eqnarray*}t_{1}\left( \theta _{I}\right) &=&9-0=9 \\
t_{2}\left( \theta _{I}\right) &=&10-10=0 \\
t_{3}\left( \theta _{I}\right) &=&10-10=0
\end{eqnarray*}を定めます。入札者たちが均衡において得る利得は、\begin{eqnarray*}
a_{1}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{1}-t_{1}\left( \theta
_{I}\right) &=&10-9=1 \\
a_{2}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{2}-t_{2}\left( \theta
_{I}\right) &=&0-0=0 \\
a_{3}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{3}-t_{3}\left( \theta
_{I}\right) &=&0-0=0
\end{eqnarray*}であり、オークションの主催者が得る利得は、\begin{eqnarray*}
t_{1}\left( \theta _{I}\right) +t_{2}\left( \theta _{I}\right) +t_{3}\left(
\theta _{I}\right) &=&9+0+0 \\
&=&9
\end{eqnarray*}であるため、社会的余剰はこれらの総和である\(10\)となります。先の命題より、これは実現可能な社会的余剰の最大値です。
第二価格封印オークションの個人合理性
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値、非外部性の仮定が成り立つ場合、第二価格封印オークションはVCGオークションと一致することが明らかになりました。VCGオークションは事後個人合理性を満たすため、この場合、第二価格封印オークションもまた事後個人合理性を満たします。つまり、第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでは、入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta_{I}\)と入札者\(i\in I\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation}a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \hat{\theta}_{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \geq 0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。さらに、先に示したように第二価格封印オークションは耐戦略性を満たすため正直戦略の組\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)が支配戦略均衡になりますが、以上の事実と\(\left( 1\right) \)より、均衡においても、\begin{equation*}a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}\left( \theta
_{I}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、第二価格封印オークションは均衡において真の状態\(\theta _{I}\)のもとで事後個人合理的な結果を遂行します。
\end{equation*}であるということです。入札者集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、状態が、\begin{equation*}
\theta _{I}=\left( \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\right) =\left(
10,9,8\right)
\end{equation*}であるものとします。第二価格封印オークションは耐戦略的であるため、入札者たちが真のタイプを表明するものと仮定すると、入札額もまた\(\theta _{I}\)となります。すると、第二価格封印オークションの配分ルール\(a\)は、\begin{equation*}a\left( \theta _{I}\right) =\left( a_{1}\left( \theta _{I}\right)
,a_{2}\left( \theta _{I}\right) ,a_{3}\left( \theta _{I}\right) \right)
=\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}を定め、移転ルール\(t\)が定める所得移転\(t\left(\theta _{I}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は、\begin{eqnarray*}t_{1}\left( \theta _{I}\right) &=&9-0=9 \\
t_{2}\left( \theta _{I}\right) &=&10-10=0 \\
t_{3}\left( \theta _{I}\right) &=&10-10=0
\end{eqnarray*}を定めます。それぞれの入札者が均衡において得る利得は、\begin{eqnarray*}
a_{1}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{1}-t_{1}\left( \theta
_{I}\right) &=&10-9=1 \\
a_{2}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{2}-t_{2}\left( \theta
_{I}\right) &=&0-0=0 \\
a_{3}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{3}-t_{3}\left( \theta
_{I}\right) &=&0-0=0
\end{eqnarray*}となります。これらはいずれも非負の実数であるため、この結果は先の命題の主張と整合的です。
第二価格封印オークションの予算均衡性
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値、非外部性の仮定が成り立つ場合、第二価格封印オークションはVCGオークションと一致することが明らかになりました。以上の仮定に加えて非単一エージェント効果の仮定が成り立つ場合、VCGオークションは弱予算均衡を満たすため、第二価格封印オークションもまた弱予算均衡を満たします。つまり、第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでは、入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選んだとき、\begin{equation}\sum_{i\in I}t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \geq 0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。さらに、先に示したように第二価格封印オークションは耐戦略性を満たすため正直戦略の組\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)が支配戦略均衡になりますが、以上の事実と\(\left( 1\right) \)より、均衡においても、\begin{equation*}\sum_{i\in I}t_{i}\left( \theta _{I}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、第二価格封印オークションを採用する場合、均衡において主催者の収支が赤字になる事態は起こり得ません。
\end{equation*}であるということです。入札者集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、状態が、\begin{equation*}
\theta _{I}=\left( \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\right) =\left(
10,9,8\right)
\end{equation*}であるものとします。第二価格封印オークションは耐戦略的であるため、入札者たちが真のタイプを表明するものと仮定すると、入札額もまた\(\theta _{I}\)となります。すると、第二価格封印オークションの配分ルール\(a\)は、\begin{equation*}a\left( \theta _{I}\right) =\left( a_{1}\left( \theta _{I}\right)
,a_{2}\left( \theta _{I}\right) ,a_{3}\left( \theta _{I}\right) \right)
=\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}を定め、移転ルール\(t\)が定める所得移転\(t\left(\theta _{I}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は、\begin{eqnarray*}t_{1}\left( \theta _{I}\right) &=&9-0=9 \\
t_{2}\left( \theta _{I}\right) &=&10-10=0 \\
t_{3}\left( \theta _{I}\right) &=&10-10=0
\end{eqnarray*}を定めます。均衡において主催者が直面する所得移転は、\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{3}t_{i}\left( \theta _{I}\right) &=&9+0+0 \\
&=&9
\end{eqnarray*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
- \(\hat{\theta}_{i}=\theta _{i}\)の場合にプレイヤー\(i\)が得る利得を特定してください。
- \(\hat{\theta}_{i}<\theta _{i}\)の場合にプレイヤー\(i\)が得る利得を特定してください。
- \(\hat{\theta}_{i}>\theta _{i}\)の場合にプレイヤー\(i\)が得る利得を特定してください。
- 以上の議論の結果を踏まえた上で、第二価格封印オークションが耐戦略性を満たすことを示してください。
I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であるとともに、入札者たちのタイプ集合が、\begin{equation*}
\Theta _{1}=\Theta _{2}=\left\{ \theta _{H},\theta _{L}\right\}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
0<\theta _{L}<\theta _{H}<1
\end{equation*}です。また、2人の入札額が異なる状況を想定します。以上を踏まえた上で、第二価格封印オークションが耐戦略性を満たすことを示してください。
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