SIPVモデルのもとでの順序統計量と期待収入

SIPVモデルのもとでの第1順序統計量

分割不可能な1つの商品が売りに出される単一財オークションが環境\begin{equation*}
\left( I,\left\{ \theta _{i}\right\} _{i\in I},A\times \mathbb{R} ^{n},\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)は入札者集合、\(\theta _{i}\)は入札者\(i\)にとっての商品の評価額、\(A\times \mathbb{R} ^{n}\)は結果集合、\(u_{i}\left( \cdot,\theta _{I}\right) \)は入札者\(i\)が結果どうしを比較する利得関数です。以降では、入札者集合について、\begin{equation*}\left\vert I\right\vert =n\geq 2
\end{equation*}を仮定するとともに、SIPVモデルを議論の対象とします。具体的には、入札者の利得関数に関して準線型性、リスク中立性、私的価値、非外部性を仮定することになるため、入札者\(i\in I\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}であり、オークションの主催者が得る利得は、\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}t_{i}
\end{equation*}です。さらに、入札者たちのタイプに関して共通事前分布、分布独立性、分布対称性を仮定することになります。つまり、すべての入札者が同一のタイプ集合\begin{equation*}
\Theta =\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}を共有するとともに、それぞれの入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\in \Theta \)がしたがう確率分布が同一の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)および確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されます。加えて、入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta_{n}\)は互いに独立です。つまり、同時分布関数\(F_{I}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の状態\(\theta _{I} = \left( \theta _{1},\cdots ,\theta_{n}\right) \in \Theta ^{n}\)に対して以下の関係\begin{equation*}F_{I}(\theta _{I})=F(\theta _{1})\times \cdots \times F(\theta _{n})
\end{equation*}が成り立つということです。

オークションの主催者は入札者たちのタイプ、すなわち入札者たちにとっての商品の評価額\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)を観察できないため、これらの値は何らかの確率分布にもとづいてランダムに定まるものとみなすことになります。そこで、単一オークションのSIPVモデルを念頭に置いた上で、「入札者たちの評価額を抽出する」という試行を確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)として表現します。その上で、入札者たちのタイプを確率変数\begin{gather*}\theta _{1}:\Omega \rightarrow \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \\
\vdots \\
\theta _{n}:\Omega \rightarrow \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \end{gather*}とみなします。SIPVモデルのもとでは、これらの確率変数は独立かつ同一分布にしたがうとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を共有します。

確率変数\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)の実現値の中でも最も大きい値を特定する確率変数、すなわち第1順序統計量（first-order statistic）を、\begin{equation*}\theta _{\left( 1\right) }:\Omega \rightarrow \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \end{equation*}で表記します。

第1順序統計量の分布関数と確率密度関数は以下の通りです。

第1順序統計量の期待値は以下の通りです。

単一財オークションのSIPVモデルのもとで、すべての入札者が自身にとっての真の評価額\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)をそのまま正直に表明する状況を想定します。この場合、入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{2}\)の第1順序統計量\(\theta _{\left(1\right) }\)の実現値は、最も高額の入札額と一致します。したがって、あるオークションルールのもとではすべての入札者にとって真の評価額を正直に表明することが最適であり、なおかつ、商品の落札者が最高入札額と一致する金額を支払うよう定められているのであれば、第1順序統計量\(\theta _{\left( 1\right) }\)の期待値は、オークションの主催者が直面する収入の期待値と一致します。

SIPVモデルのもとでの第2順序統計量

引き続き、単一財オークションのSIPVモデルを念頭においた上で、入札者たちのタイプを確率変数\begin{gather*}
\theta _{1}:\Omega \rightarrow \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \\
\vdots \\
\theta _{n}:\Omega \rightarrow \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \end{gather*}とみなします。SIPVモデルのもとでは、これらの確率変数は独立かつ同一分布にしたがうとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を共有します。

確率変数\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)の実現値の中でも2番目に大きい値を特定する確率変数、すなわち第2順序統計量（second-order statistic）を、\begin{equation*}\theta _{\left( 2\right) }:\Omega \rightarrow \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \end{equation*}で表記します。

第2順序統計量の分布関数と確率密度関数は以下の通りです。

第2順序統計量の期待値は以下の通りです。

単一財オークションのSIPVモデルのもとで、すべての入札者が自身にとっての真の評価額\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)をそのまま正直に表明する状況を想定します。この場合、入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{2}\)の第2順序統計量\(\theta _{\left(2\right) }\)の実現値は、2番目に高い入札額と一致します。したがって、あるオークションルールのもとではすべての入札者にとって真の評価額を正直に表明することが最適であり、なおかつ、商品の落札者が2番目に高い入札額と一致する金額を支払うよう定められているのであれば、第2順序統計量\(\theta _{\left( 2\right) }\)の期待値は、オークションの主催者が直面する収入の期待値と一致します。