教材一覧
教材一覧
教材検索

連続型の確率分布

連続型同時確率変数の同時分布関数(同時累積分布関数)

目次

Twitter
Mailで保存

連続型同時確率変数の同時確率分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとします。\(\left( X,Y\right) \)の確率分布を記述するためには、任意の集合\(A\times B\subset \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\(\left( X,Y\right) \)の値が\(A\times B\)に属する確率\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\wedge Y\left( \omega \right) \in
B\right\} \right)
\end{equation*}を特定する必要があります。ただ、\(X\left( \Omega\right) \)および\(Y\left( \Omega \right) \)は区間もしくは互いに素な区間の和集合であるため、\(\left( X,Y\right) \)の確率分布を記述するためには、区間の直積\(I\times J\subset \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\(\left( X,Y\right) \)の値が\(I\times J\)に属する確率\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in I\times J\right) =P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in I\times J\right\}
\right)
\end{equation*}を特定すれば十分です。以上を踏まえた上で、有界区間と無限区間のどちらであるかを問わず、任意の区間の直積\(I\times J\subset \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\left( a\right) \ P\left( \left( X,Y\right) \in I\times J\right) =\int
\int_{\left( x,y\right) \in I\times J}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を満たすとともに、\begin{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:f_{XY}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( c\right) \ \int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty
}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy=1
\end{eqnarray*}をともに満たす同時確率密度関数\begin{equation*}
f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義しました。つまり、同時確率密度関数は連続型の同時確率変数の同時確率分布を表現する手段の1つです。ただ、連続型の同時確率変数の同時確率分布は同時確率密度関数とは異なる概念を用いて表現することもできます。順番に解説します。

 

連続型同時確率変数の同時分布関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとします。同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)が特定の点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)以下の値をとる確率、すなわち\(X\)の値が\(x\)以下であるとともに\(Y\)の値が\(y\)以下である確率を、\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right)
\end{equation*}で表記するものとします。つまり、ここでの「以下」とはユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における標準的順序を踏まえた表現です。いずれにせよ、上の確率をどのように評価すればよいでしょうか。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)はそれぞれの標本点\(\omega \in\Omega \)に対してベクトル\(\left( X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を1つずつ定めるため、「同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が\(\left( x,y\right) \)以下である」という事象は、\(X\left( \omega \right) \leq x\)と\(Y\left(\omega \right) \leq y\)をともに満たす標本点\(\omega \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left(
\omega \right) \leq y\right\}
\end{equation*}として表現されます。したがって、「同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が\(\left( x,y\right) \)以下である」という事象が起こる確率は、\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left( \omega \right) \leq y\right\}
\right)
\end{equation*}となります。以上を踏まえた上で、それぞれの点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)が\(\left( x,y\right) \)以下の値をとる確率\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right)
\end{equation*}を定める2変数関数\begin{equation*}
F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを\(\left(X,Y\right) \)の同時分布関数(joint distribution function)や同時累積分布関数(joint cumulative distribution function)などと呼びます。

連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられている場合には、点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty }^{y}f_{XY}\left(
s,t\right) dsdt
\end{equation*}という関係が成り立つことが示されます。つまり、同時確率密度関数\(f_{XY}\)を集合\(\left(-\infty ,x\right] \times \left( -\infty ,y\right] \)上で二重積分すれば\(F_{XY}\left( x,y\right) \)が得られるということです。言い換えると、連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)に関しては、同時分布関数\(F_{XY}\)が同時確率密度関数\(f_{XY}\)から導出可能であるということです。

命題(連続型の同時分布関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)と同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty }^{y}f_{XY}\left(
s,t\right) dsdt
\end{equation*}を定める。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

上の命題は、同時分布関数\(F_{XY}\)が同時確率関数\(f_{XY}\)から導出可能であることを示唆します。つまり、同時分布関数\(F_{XY}\)が点\(\left( x,y\right) \)に対して定める値は、同時確率関数\(f_{XY}\)を集合\(\left( -\infty ,x\right] \times \left( -\infty ,y\right] \)上で二重積分することで得られる値と一致します。

例(連続型の同時分布関数)
「平面上の4つの点\(\left(0,0\right) ,\left( 0,1\right) ,\left( 1,0\right) ,\left( 1,1\right) \)を頂点とする正方形またはその内部の1点を選ぶ」という試行において、標本空間\(\Omega \)は問題としている正方形の辺と内部の点からなる集合\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}です。「選ばれた点の\(x\)座標」と「選ばれた点の\(y\)座標」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する2つの確率変数の同時確率変数を利用することになります。「選ばれた点の\(x\)座標」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( x,y\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定め、「選ばれた点の\(y\)座標」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( x,y\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( x,y\right) =y
\end{equation*}を定めます。同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの標本点\(\left( x,y\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( x,y\right) &=&\left( X\left( x,y\right) ,Y\left(
x,y\right) \right) \\
&=&\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}を定めますが、その値域は、\begin{equation*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}です。同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x+\frac{3}{2}y^{2} & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right)
\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。上の命題より、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty }^{y}f_{XY}\left(
s,t\right) dsdt
\end{equation*}となります。したがって、\(x<0\)と\(y<0\)の少なくとも一方が成り立つ場合には、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =0
\end{equation*}であり、\(0\leq x\leq 1\)と\(0\leq y\leq 1\)がともに成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XY}\left( x,y\right) &=&\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}f_{XY}\left( s,t\right) dsdt \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}\left( s+\frac{3}{2}t^{2}\right) dtds \\
&=&\int_{0}^{x}\left[ st+\frac{1}{2}t^{3}\right] _{0}^{y}ds \\
&=&\int_{0}^{x}\left( sy+\frac{1}{2}y^{3}\right) ds \\
&=&\left[ \frac{y}{2}s^{2}+\frac{y^{3}}{2}s\right] _{0}^{x} \\
&=&\frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{2}xy^{3}
\end{eqnarray*}であり、\(0\leq x\leq 1\)と\(y>1\)がともに成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XY}\left( x,y\right) &=&\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}f_{XY}\left( s,t\right) dsdt \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{1}\left( s+\frac{3}{2}t^{2}\right) dtds \\
&=&\int_{0}^{x}\left[ st+\frac{1}{2}t^{3}\right] _{0}^{1}ds \\
&=&\int_{0}^{x}\left( s+\frac{1}{2}\right) ds \\
&=&\left[ \frac{1}{2}s^{2}+\frac{1}{2}s\right] _{0}^{x} \\
&=&\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x
\end{eqnarray*}であり、\(x>1\)と\(0\leq y\leq 1\)がともに成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XY}\left( x,y\right) &=&\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}f_{XY}\left( s,t\right) dsdt \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\left( s+\frac{3}{2}t^{2}\right) dtds \\
&=&\int_{0}^{1}\left[ st+\frac{1}{2}t^{3}\right] _{0}^{y}ds \\
&=&\int_{0}^{1}\left( sy+\frac{1}{2}y^{3}\right) ds \\
&=&\left[ \frac{y}{2}s^{2}+\frac{y^{3}}{2}s\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^{3}
\end{eqnarray*}であり、\(x>1\)と\(y>1\)がともに成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XY}\left( x,y\right) &=&\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}f_{XY}\left( s,t\right) dsdt \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left( s+\frac{3}{2}t^{2}\right) dtds \\
&=&\int_{0}^{1}\left[ st+\frac{1}{2}t^{3}\right] _{0}^{1}ds \\
&=&\int_{0}^{1}\left( s+\frac{1}{2}\right) ds \\
&=&\left[ \frac{1}{2}s^{2}+\frac{1}{2}s\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。結論をまとめると、\begin{equation*}
F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{2}xy^{3} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right)
\\
\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^{3} & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right)
\\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
P\left( X\leq \frac{1}{2}\wedge Y\leq \frac{1}{2}\right) &=&F_{XY}\left(
\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}\left( \frac{1}{2}\right) +\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\right) \left( \frac{1}{2}\right) ^{3} \\
&=&\frac{3}{32}
\end{eqnarray*}となります。

 

同時分布関数がとり得る値の範囲

同時分布関数は\(0\)以上\(1 \)以下の実数を値としてとります。

命題(同時分布関数がとり得る値の範囲)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、これはそれぞれの\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{XY}\left( x,y\right) \leq 1
\end{equation*}を満たす。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(同時分布関数がとり得る値の範囲)
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{2}xy^{3} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right)
\\
\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^{3} & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right)
\\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{XY}\left( x,y\right) \leq 1
\end{equation*}が成立しています。

 

同時分布関数は単調増加

連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時分布関数\(F_{XY}\left( x,y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上に定義された2変数関数ですが、一方の変数\(y\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(x\)に関する1変数関数とみなしたとき、これは\(\mathbb{R} \)上で単調増加(単調非減少)になります。また、変数\(x\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(y\)に関する1変数関数とみなしたとき、これは\(\mathbb{R} \)上で単調増加になります。

命題(同時分布関数は単調増加)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、これはそれぞれの変数について\(\mathbb{R} \)上で単調増加である。すなわち、変数\(x\)に関しては、任意の\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow F_{XY}\left( x_{1},y\right) \leq F_{XY}\left(
x_{2},y\right)
\end{equation*}が成り立ち、変数\(y\)に関しては、任意の\(y_{1},y_{2}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}y_{1}\leq y_{2}\Rightarrow F_{XY}\left( x,y_{1}\right) \leq F_{XY}\left(
x,y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

上の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(同時分布関数は単調増加)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、任意の\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left(x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}x_{1}\leq x_{2}\wedge y_{1}\leq y_{2}\Rightarrow F_{XY}\left(
x_{1},y_{1}\right) \leq F_{XY}\left( x_{2},y_{2}\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(同時分布関数は単調増加)
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{2}xy^{3} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right)
\\
\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^{3} & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right)
\\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x_{1}\leq x_{2}\)と\(y_{1}\leq y_{2}\)を満たす\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{XY}\left( x_{1},y_{1}\right) \leq F_{XY}\left( x_{2},y_{2}\right)
\end{equation*}が成立しています。

 

同時分布関数の右側連続性

連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時分布関数\(F_{XY}\left( x,y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上に定義された2変数関数ですが、一方の変数\(y\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(x\)に関する1変数関数とみなしたとき、これは\(\mathbb{R} \)上で右側連続になります。また、変数\(x\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(y\)に関する1変数関数とみなしたとき、これは\(\mathbb{R} \)上で右側連続になります。

命題(同時分布関数の右側連続性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、これはそれぞれの変数に関して\(\mathbb{R} \)上で右側連続である。すなわち、変数\(x\)に関しては、任意の点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}F_{XY}\left( x,y\right) =F_{XY}\left( a,y\right)
\end{equation*}が成り立ち、変数\(y\)に関しては、任意の点\(b\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b+}F_{XY}\left( x,y\right) =F_{XY}\left( x,b\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

上の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(同時分布関数の右側連続性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、任意の点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a+,b+\right) }F_{XY}\left(
x,y\right) =F_{XY}\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(同時分布関数の右側連続性)
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{2}xy^{3} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right)
\\
\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^{3} & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right)
\\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x<0\)と\(y<0\)の少なくとも一方を満たす\(\left( x,y\right) \)上で\(F_{XY}\)は定数関数\(0\)であるため、\(F_{XY}\)はそのような点\(\left( x,y\right) \)において連続です。点\(\left( 0,0\right) \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0+,0+\right) }F_{XY}\left(
x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0+,0+\right)
}\left( \frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{2}xy^{3}\right) \quad \because F_{XY}\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 0\cdot 0^{3}\quad \because
\text{多項式関数の右側極限} \\
&=&0 \\
&=&F_{XY}\left( 0,0\right) \quad \because F_{XY}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(F_{XY}\)は点\(\left( 0,0\right) \)において右側連続です。\(0<x<1\)と\(0<y<1\)をともに満たす\(\left( x,y\right) \)上で\(F_{XY}\)は多項式関数\(\frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{2}xy^{3}\)であるため、\(F_{XY}\)はそのような点\(\left( x,y\right) \)において連続です。他の点においても同様に考えます。

 

同時分布関数の無限大における極限

同時分布関数の無限大における極限に関して以下が成り立ちます。

命題(同時分布関数の無限大における極限)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( +\infty ,+\infty \right)
}F_{XY}\left( x,y\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。また、変数\(x\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{XY}\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立ち、変数\(y\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{y\rightarrow -\infty }F_{XY}\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。ゆえに、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( -\infty ,-\infty \right)
}F_{XY}\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(同時分布関数の無限大における極限)
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{2}xy^{3} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right)
\\
\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^{3} & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right)
\\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( +\infty ,+\infty \right)
}F_{XY}\left( x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
+\infty ,+\infty \right) }1\quad \because F_{XY}\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{XY}\left( x,y\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }0\quad \because F_{XY}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{y\rightarrow -\infty }F_{XY}\left( x,y\right) &=&\lim_{y\rightarrow
-\infty }0\quad \because F_{XY}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( -\infty ,-\infty \right)
}F_{XY}\left( x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
-\infty ,-\infty \right) }0\quad \because F_{XY}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。

 

同時分布関数から同時確率密度関数を導く方法

連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation}F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty }^{y}f_{XY}\left(
s,t\right) dsdt \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。つまり、同時分布関数\(F_{XY}\)が定義域上の点\(\left( x,y\right) \)に対して定める値は、同時確率密度関数\(f_{XY}\)を集合\(\left( -\infty ,x\right] \times \left( -\infty ,y\right] \)上で二重積分することにより得られます。同時確率密度関数\(f_{XY}\)が与えられれば、そこから同時分布関数\(F_{XY}\)を導くことができるということです。

連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値域は\(\left(X,Y\right) \left( \Omega \right) \subset \mathbb{R} ^{2}\)ですが、同時確率密度関数\(f_{XY}\)が\(\left( X,Y\right) \left( \Omega\right) \)上で連続である場合には、\(\left( 1\right) \)および微分積分学の基本定理などより、\begin{equation*}\frac{\partial ^{2}}{\partial x\partial y}F_{XY}\left( x,y\right)
=f_{XY}\left( x,y\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。つまり、同時確率密度関数\(f_{XY}\)は同時分布関数\(F_{XY}\)の変数\(x,y\)に関する2階導関数と一致します。先とは逆に、同時分布関数\(F_{XY}\)が与えられれば、そこから同時確率密度関数\(f_{XY}\)を導くことができるということです。

命題(同時確率密度関数と同時分布関数の関係)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられており、さらに\(\left( X,Y\right) \)の同時確率分布が同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとする。\(f_{XY}\)が\(\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \)上で連続であるならば、これと同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)の間には、\begin{equation*}\frac{\partial ^{2}}{\partial x\partial y}F_{XY}\left( x,y\right) =f\left(
x,y\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

例(同時分布関数から同時確率密度関数を導く方法)
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}であるとともに、同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x+\frac{3}{2}y^{2} & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right)
\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{2}xy^{3} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right)
\\
\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^{3} & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right)
\\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}定めます。このとき、\begin{equation*}
\frac{\partial ^{2}F_{XY}\left( x,y\right) }{\partial x\partial y}=\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
x+\frac{3}{2}y^{2} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
0 & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\frac{\partial ^{2}F_{XY}\left( x,y\right) }{\partial x\partial y}=f_{XY}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成立しています。

 

演習問題

問題(同時分布関数)
連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}であるとともに、同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{4}{5}\left( xy+x+y\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left(
X,Y\right) \left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を特定するとともに、以下の確率\begin{equation*}P\left( X\leq \frac{1}{2}\wedge Y\leq \frac{1}{2}\right)
\end{equation*}を求めてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(同時分布関数)
連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 3\wedge 0\leq y\leq 4\right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \)を満たすそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\frac{1}{156}xy\left( x^{2}+y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
解答を見る