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連続型の確率分布

連続型同時確率変数の同時分布関数(同時累積分布関数)

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連続型同時確率変数の同時確率分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実をベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に変換して表現する状況を想定します。加えて、\(\left( X,Y\right) \)は連続型の同時確率変数であるものとします。

同時確率変数の定義より、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left( X,Y\right) ^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)は平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のボレル集合族である。つまり、ボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)を任意に選んだとき、「\(\left( X,Y\right) \)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(\left( X,Y\right) \)を同時確率変数と呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、「同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \
|\ \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}\mu _{XY}\left( B\right) =P\left( \left( X,Y\right) \in B\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\mu _{XY}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布(joint distribution)と呼びます。

ベクトル値写像\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が同時確率変数であるために満たすべき先の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}は以下の条件\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left(
\omega \right) \leq y\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることは、写像\(\left( X,Y\right) \)が同時確率変数であるための必要十分条件です。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left( \omega \right) \leq y\right\}
\right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布関数(joint distribution function)と呼びます。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)が絶対連続型であることとは、それに対して以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :P\left( \left( X,Y\right) \in B\right) =\int
\int_{B}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を満たすルベーグ積分可能な関数\begin{equation*}
f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が存在することを意味します。その上で、この関数\(f_{XY}\)を同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数(jointprobability density function)と呼びます。関数\(f_{XY}\)が同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数であることと、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty
}^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。

例(絶対連続型の同時確率変数)
標本空間が平面上の有界閉区間\begin{equation*}
\Omega =\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、確率測度\(P:\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right) \rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度\begin{equation*}\mu :\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right)
\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を採用すれば、これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。「\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)上の点を1つランダムに選ぶ」という試行に興味がある場合、それぞれの標本点\(\left( \omega_{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right)
&=&\left( X\left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right) ,Y\left(
\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right) \right) \\
&=&\left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を導入することになります。この写像の値域は、\begin{equation*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}です。\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \ |\ X\left(
\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right) \leq x\wedge Y\left( \left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) \right) \leq y\right\} \\
&=&\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \ |\ \omega _{1}\leq x\wedge \omega _{2}\leq
y\right\} \quad \because \Omega \text{および}\left(
X,Y\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
\left[ 0,x\right] \times \left[ 0,y\right] & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge
0\leq y\leq 1\right) \\
\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,y\right] & \left( if\ x>1\wedge 0\leq
y\leq 1\right) \\
\left[ 0,x\right] \times \left[ 0,1\right] & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge
y>1\right) \\
\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] & \left( if\ x>1\wedge
y>1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right)
\\
&=&\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left( X,Y\right) \)は同時確率変数です。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}F_{XY}\left( x,y\right) &=&P\left( \left\{ \left( \omega _{1},\omega
_{2}\right) \in \Omega \ |\ X\left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\right) \leq x\wedge Y\left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right)
\leq y\right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \ |\ \omega _{1}\leq x\wedge \omega
_{2}\leq y\right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \phi \right) & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
P\left( \left[ 0,x\right] \times \left[ 0,y\right] \right) & \left( if\
0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
P\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,y\right] \right) & \left( if\
x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
P\left( \left[ 0,x\right] \times \left[ 0,1\right] \right) & \left( if\
0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
P\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right) & \left( if\
x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
xy & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
y & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、\(x<0\)または\(y<0\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}0dudv \\
&=&0 \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となり、\(0\leq x\leq 1\)かつ\(0\leq y\leq 1\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=0}^{x}\int_{v=0}^{y}1dudv \\
&=&\int_{v=0}^{y}\left( \int_{u=0}^{x}1du\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{y}\left( \left[ u\right] _{u=0}^{x}\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{y}xdv \\
&=&x\int_{v=0}^{y}1dv \\
&=&x\left[ v\right] _{v=0}^{y} \\
&=&xy \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となり、\(x>1\)かつ\(0\leq y\leq 1\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{y}1dudv \\
&=&\int_{v=0}^{y}\left( \int_{u=0}^{1}1du\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{y}\left( \left[ u\right] _{u=0}^{1}\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{y}1dv \\
&=&\left[ v\right] _{v=0}^{y} \\
&=&y \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となり、\(0\leq x\leq 1\)かつ\(y>1\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=0}^{x}\int_{v=0}^{1}1dudv \\
&=&\int_{v=0}^{1}\left( \int_{u=0}^{x}1du\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{1}\left( \left[ u\right] _{u=0}^{x}\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{1}xdv \\
&=&x\int_{v=0}^{1}1dv \\
&=&x\left[ v\right] _{v=0}^{1} \\
&=&x \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となり、\(x>1\)かつ\(y>1\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{1}1dudv \\
&=&\int_{v=0}^{1}\left( \int_{u=0}^{1}1du\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{1}\left( \left[ u\right] _{u=0}^{1}\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{1}1dv \\
&=&\left[ v\right] _{v=0}^{1} \\
&=&1 \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty
}^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
\end{equation*}が成り立つことが明らかになったため、\(f_{XY}\)は\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数です。したがって、\(\left( X,Y\right) \)は絶対連続型の同時確率変数であることが明らかになりました。

 

同時分布関数から同時確率密度関数を導く方法

絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられたとき、その同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)と同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)の間には以下の関係\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty
}^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、同時分布関数\(F_{XY}\)が定義域上の点\(\left(x,y\right) \)に対して定める値は、同時確率密度関数\(f_{XY}\)を無限閉区間\((-\infty,x]\times (-\infty ,y]\)上で積分することにより得られます。同時確率密度関数\(f_{XY}\)が与えられれば、そこから同時分布関数\(F_{XY}\)を導くことができるということです。逆に、同時分布関数\(F_{XY}\)から同時確率密度関数\(f_{XY}\)を導くことはできるでしょうか。

絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時分布関数\(F_{XY}\)は絶対連続関数であるため、零集合\(A\subset \mathbb{R} ^{2}\)が存在して、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{\partial ^{2}F_{XY}\left( x,y\right) }{\partial x\partial y} & \left(
if\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash A\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が定義可能ですが、この関数\(f_{XY}\)は\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数になることが保証されます。

命題(同時分布関数から同時確率密度関数を導く方法)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)とその同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。この場合、零集合\(A\subset \mathbb{R} ^{2}\)が存在して、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{\partial ^{2}F_{XY}\left( x,y\right) }{\partial x\partial y} & \left(
if\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash A\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義可能である。\(f_{XY}\)は\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数になる。
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例(同時分布関数から同時確率密度関数を導く)
絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
xy & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
y & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(F_{XY}\)は絶対連続関数であるため、ほとんどいたるところで偏微分可能です。実際、\(F_{XY}\)が偏微分可能ではない点からなる集合\(A\subset \mathbb{R} ^{2}\)は有限集合であるため零集合です。\(F_{XY}\)の2階偏導関数\(\frac{\partial ^{2}F_{XY}}{\partial x\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\backslash A\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash A\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial ^{2}F_{XY}\left( x,y\right) }{\partial x\partial y}=\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
1 & \left( if\ 0<x<1\wedge 0<y<1\right) \\
0 & \left( if\ x>1\wedge 0<y<1\right) \\
0 & \left( if\ 0<x<1\wedge y>1\right) \\
0 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。したがって先の命題より、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{XY}\left( x,y\right) &=&\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{\partial ^{2}F_{XY}\left( x,y\right) }{\partial x\partial y} & \left(
if\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash A\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in A\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0<x<1\wedge 0<y<1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定める関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を定義すれば、これは\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数になります。つまり、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty
}^{y}f\left( u,v\right) dudv
\end{equation*}が成り立ちます。

 

同時分布関数がとり得る値の範囲

同時分布関数は\(0\)以上\(1 \)以下の実数を値としてとります。

命題(同時分布関数がとり得る値の範囲)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の条件\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:0\leq F_{XY}\left( x,y\right) \leq 1
\end{equation*}を満たす。

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例(同時分布関数がとり得る値の範囲)
絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
xy & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
y & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{XY}\left( x,y\right) \leq 1
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

 

同時分布関数は単調増加

連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時分布関数\(F_{XY}\left( x,y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上に定義された2変数関数ですが、一方の変数\(y\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(x\)に関する1変数関数とみなした場合、これは\(\mathbb{R} \)上で単調増加(単調非減少)になります。また、変数\(x\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(y\)に関する1変数関数とみなした場合、これは\(\mathbb{R} \)上で単調増加になります。

命題(同時分布関数は単調増加)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの変数について\(\mathbb{R} \)上で単調増加である。すなわち、変数\(x\)に関しては、任意の\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow F_{XY}\left( x_{1},y\right) \leq F_{XY}\left(
x_{2},y\right)
\end{equation*}が成り立ち、変数\(y\)に関しては、任意の\(y_{1},y_{2}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}y_{1}\leq y_{2}\Rightarrow F_{XY}\left( x,y_{1}\right) \leq F_{XY}\left(
x,y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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先の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(同時分布関数は単調増加)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、任意の\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left(x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}x_{1}\leq x_{2}\wedge y_{1}\leq y_{2}\Rightarrow F_{XY}\left(
x_{1},y_{1}\right) \leq F_{XY}\left( x_{2},y_{2}\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(同時分布関数は単調増加)
絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
xy & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
y & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x_{1}\leq x_{2}\)と\(y_{1}\leq y_{2}\)を満たす\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{XY}\left( x_{1},y_{1}\right) \leq F_{XY}\left( x_{2},y_{2}\right)
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

 

同時分布関数は連続関数

連続型の同時確率変数の同時分布関数は連続関数です。

命題(同時分布関数の右側連続性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は連続関数である。すなわち、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }=F_{XY}\left(
a,b\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(同時分布関数は連続関数)
絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
xy & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
y & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この同時分布関数\(F_{XY}\)は連続です。実際、\(a<0\)または\(b<0\)を満たす点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }F_{XY}\left(
x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }0 \\
&=&0 \\
&=&F_{XY}\left( a,b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{XY}\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続です。点\(\left( 0,0\right) \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }F_{XY}\left(
x,y\right) &=&0 \\
&=&F_{XY}\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{XY}\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続です。他の点においても同様であるため、\(F_{XY}\)は連続関数であることが明らかになりました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

 

同時分布関数の無限大における極限

同時分布関数の無限大における極限に関して以下が成り立ちます。

命題(同時分布関数の無限大における極限)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( +\infty ,+\infty \right)
}F_{XY}\left( x,y\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。また、変数\(x\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{XY}\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立ち、変数\(y\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{y\rightarrow -\infty }F_{XY}\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。ゆえに、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( -\infty ,-\infty \right)
}F_{XY}\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

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例(同時分布関数の無限大における極限)
絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
xy & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
y & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( +\infty ,+\infty \right)
}F_{XY}\left( x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
+\infty ,+\infty \right) }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ち、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{XY}\left( x,y\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、\begin{eqnarray*}
\lim_{y\rightarrow -\infty }F_{XY}\left( x,y\right) &=&\lim_{y\rightarrow
-\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( -\infty ,-\infty \right)
}F_{XY}\left( x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
-\infty ,-\infty \right) }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

 

演習問題

問題(同時分布関数)
絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}であるとともに、同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{4}{5}\left( xy+x+y\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left(
X,Y\right) \left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を特定するとともに、以下の確率\begin{equation*}P\left( X\leq \frac{1}{2}\wedge Y\leq \frac{1}{2}\right)
\end{equation*}を求めてください。

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問題(同時分布関数)
連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 3\wedge 0\leq y\leq 4\right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \)を満たすそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\frac{1}{156}xy\left( x^{2}+y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
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問題(同時分布関数)
連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 3\wedge 0\leq y\leq 4\right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \)を満たすそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\frac{1}{156}xy\left( x^{2}+y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の確率\begin{equation*}
P\left( 2\leq X\leq 4\wedge 2\leq Y\leq 4\right)
\end{equation*}を求めてください。

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