確率変数とその分布および分布関数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて写像\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、もとの可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)において標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実をもう一方の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)上に存在する実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)に変換して表現する状況を想定します。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族です。
このような写像\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が確率変数（random variable）であることとは、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in B\right\}
\in \mathcal{F}
\end{equation*}を満たすこととして定義されます。つまり、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)において可測な集合、すなわちボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(X\)を確率変数と呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、「確率変数\(X\)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}\mu _{X}\left( B\right) =P\left( X\in B\right)
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
\mu _{X}\left( B\right) :\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X\)の分布（distribution）と呼びます。
写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が確率変数であるために満たすべき先の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in B\right\}
\in \mathcal{F}
\end{equation*}は、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\right\} \in
\mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が\(x\)以下になる」という事象がもとの可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)において可測になることは、写像\(X\)が確率変数であるための必要十分条件です。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、「確率変数\(X\)の実現値が\(x\)以下になる」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\leq x\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) \leq x\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =P\left( X\leq x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X\)の分布関数（distribution function）と呼びます。
連続型の確率変数
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が連続関数である場合には、すなわち、任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}F_{X}\left( x\right) =F_{X}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)を連続型の確率変数（continuous random variable）と呼びます。同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert F_{X}\left(
x\right) -F_{X}\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。「\(0\)以上\(1\)以下の実数を1つランダムに選んだ上で選ばれた値を観察する」という試行に興味がある場合、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を導入することになります。この写像の値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}です。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \left[ 0,1\right] \ |\ X\left( \omega \right) \leq
x\right\} &=&\left\{ \omega \in \left[ 0,1\right] \ |\ \omega \leq
x\right\} \quad \because X\text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<0\right) \\
\left[ 0,x\right] & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
\left[ 0,1\right] & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}\quad \because \mathcal{F}\text{はボレル集合族}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(X\)は確率変数です。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \left[ 0,1\right] \ |\
X\left( \omega \right) \leq x\right\} \right) \quad \because \text{分布関数の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \phi \right) & \left( if\ x<0\right) \\
P\left( \left[ 0,x\right] \right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
P\left( \left[ 0,1\right] \right) & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right. \quad \because P\text{はボレル測度}
\end{eqnarray*}です。この分布関数\(F_{X}\)は連続です。実際、\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}0\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&F_{X}\left( a\right) \quad \because a<0
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{X}\)は点\(a\)において連続です。点\(0\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&F_{X}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}0\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&F_{X}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}F_{X}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
0-}F_{X}\left( x\right) =F_{X}\left( 0\right)
\end{equation*}であり、したがって\(F_{X}\)は点\(0\)において連続です。\(0<a<1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}x\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&a \\
&=&F_{X}\left( a\right) \quad \because 0<a<1
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{X}\)は点\(a\)において連続です。点\(1\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1+}1\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( 1\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}x\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( 1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1+}F_{X}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
1-}F_{X}\left( x\right) =F_{X}\left( 1\right)
\end{equation*}であり、したがって\(F_{X}\)は点\(1\)において連続です。\(a>1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}1\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( a\right) \quad \because a>1
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{X}\)は点\(a\)において連続です。以上より、\(F_{X}\)は連続関数であることが明らかになりました。したがって、\(X\)は連続型の確率変数です。
確率変数\(X\)が連続型であることと、\(X\)が特定の値をとる確率が必ず\(0\)であることは必要十分です。
\end{equation*}が成り立つことと、\(X\)が連続型の確率変数であることは必要十分である。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。先に示したように、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を値として定める写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は連続型の確率変数であり、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。したがって先の命題より、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :P\left( X=x\right) =0
\end{equation*}が成り立つはずです。\(a<0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P\left( X=a\right) &=&F_{X}\left( a\right) -\lim_{x\rightarrow
a-}F_{X}\left( x\right) \quad \because \text{確率変数が特定の値をとる確率} \\
&=&0-\lim_{x\rightarrow a-}0\quad \because a<0\text{および}F_{X}\text{の定義} \\
&=&0-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、点\(0\)において、\begin{eqnarray*}P\left( X=0\right) &=&F_{X}\left( 0\right) -\lim_{x\rightarrow
0-}F_{X}\left( x\right) \quad \because \text{確率変数が特定の値をとる確率} \\
&=&0-\lim_{x\rightarrow 0-}0 \\
&=&0-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(0<a<1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P\left( X=a\right) &=&F_{X}\left( a\right) -\lim_{x\rightarrow
a-}F_{X}\left( x\right) \quad \because \text{確率変数が特定の値をとる確率} \\
&=&a-\lim_{x\rightarrow a-}x\quad \because 0<a<1\text{および}F_{X}\text{の定義} \\
&=&a-a \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、点\(1\)において、\begin{eqnarray*}P\left( X=1\right) &=&F_{X}\left( 1\right) -\lim_{x\rightarrow
1-}F_{X}\left( x\right) \quad \because \text{確率変数が特定の値をとる確率} \\
&=&1-\lim_{x\rightarrow 1-}x \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(a>1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P\left( X=a\right) &=&F_{X}\left( a\right) -\lim_{x\rightarrow
a-}F_{X}\left( x\right) \quad \because \text{確率変数が特定の値をとる確率} \\
&=&1-\lim_{x\rightarrow a-}1\quad \because a>1\text{および}F_{X}\text{の定義} \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
絶対連続型の確率変数
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。その上で、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}<b_{i} \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right]
=\phi \right)
\end{eqnarray*}を満たす集合族\begin{equation*}
\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}
\end{equation*}に注目します。つまり、この集合族は有限個の要素として持ち、個々の要素は正の長さを持つ有界閉区間であり、なおかつ、それらの閉区間どうしは互いに素です。簡潔に表現すると、\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)は互いに素な有界閉区間からなる\(\mathbb{R} \)の有限部分集合族です。
以上を踏まえた上で、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a\right) ,\left(
b\right) ,\left( c\right) \text{を満たす}\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}:\left[ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\left\vert
F_{X}\left( b_{i}\right) -F_{X}\left( a_{i}\right) \right\vert <\varepsilon \right]
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、どれほど小さい\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合でも、それに対して何らかの\(\delta >0\)を選ぶことにより、以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}<b_{i} \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right]
=\phi \right) \\
&&\left( d\right) \ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta
\end{eqnarray*}を満たす任意の閉区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)について、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}\left\vert F_{X}\left( b_{i}\right) -F_{X}\left( a_{i}\right)
\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことを保証できる場合には、\(F_{X}\)は\(\mathbb{R} \)上で絶対連続（absolutely continuous on \(\mathbb{R} \)）であると言います。その上で、分布関数\(F_{X}\)が\(\mathbb{R} \)上で絶対連続関数である場合には、\(X\)を絶対連続型の確率変数（absolutely continuous random variable）と呼びます。
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それに対して以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :P\left( X\in B\right) =\int_{B}f_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}を満たすルベーグ積分可能な関数\begin{equation*}
f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が存在することは、\(X\)が絶対連続型であるための必要十分条件です。その上で、この関数\(f_{X}\)を確率変数\(X\)の確率密度関数（probability density function）と呼びます。
確率変数\(X\)の確率密度関数\(f_{X}\)とほとんどいたるところで一致する関数もまた\(X\)の確率密度関数です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(g_{X}\)が\(X\)の確率密度関数であるための必要十分条件である。
以上の命題を踏まえると、確率密度関数を以下のように表現することもできます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(f_{X}\)が\(X\)の確率密度関数であるための必要十分条件である。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。先に示したように、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を値として定める写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は連続型の確率変数であり、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \lbrack 0,+\infty )\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、\(x<0\)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt &=&\int_{-\infty }^{x}0dt\quad
\because x<0\text{および}f_{X}\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&F_{X}\left( x\right) \quad \because x<0\text{および}F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、\(0\leq x\leq 1\)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt &=&\int_{-\infty
}^{0}0dt+\int_{0}^{x}1dt\quad \because 0\leq x\leq 1\text{および}f_{X}\text{の定義} \\
&=&\left[ t\right] _{0}^{x} \\
&=&x-0 \\
&=&x \\
&=&F_{X}\left( x\right) \quad \because 0\leq x\leq 1\text{および}F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、\(x>1\)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt &=&\int_{-\infty
}^{0}0dt+\int_{0}^{1}1dt+\int_{1}^{x}0dt\quad \because x>1\text{および}f_{X}\text{の定義} \\
&=&\left[ t\right] _{0}^{1} \\
&=&1-0 \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( x\right) \quad \because x>1\text{および}F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :F_{X}\left( x\right) =\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立つことが明らかになったため、先の命題より、\(f_{X}\)は\(X\)の確率密度関数です。したがって、\(X\)は絶対連続型の確率変数でもあります。
絶対連続型の確率変数は連続型
絶対連続型の確率変数は連続型の確率変数でもあります。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、連続型の確率変数は絶対連続型であるとは限りません。以下の例より明らかです。
確率変数は連続型であるとは限らない
確率変数は連続型であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{eqnarray*}
\mathcal{F} &=&2^{\Omega } \\
&=&\left\{ \phi ,\left\{ \text{表}\right\} ,\left\{ \text{裏}\right\} ,\Omega \right\}
\end{eqnarray*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( \left\{ \text{表}\right\} \right) &=&p \\
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) &=&1-p \\
P\left( \Omega \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとして定めます。ただし、\(p\in \left( 0,1\right) \)です。以上の\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。「コインの表が出る回数」に興味がある場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega =\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を導入することになります。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\right\}
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<0\right) \\
\left\{ \text{裏}\right\} & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
\Omega & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(X\)は確率変数です。加えて、\(X\)の値域は、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ 0,1\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは有限集合であるため、\(X\)は離散型の確率変数です。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) \leq x\right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \phi \right) & \left( if\ x<0\right) \\
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) & \left( if\ 0\leq
x<1\right) \\
P\left( \Omega \right) & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}0\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0 \\
&\not=&p\quad \because p\in \left( 0,1\right) \\
&=&F_{X}\left( 0\right) \quad \because F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(F_{X}\)は点\(0\)において左側連続ではなく、したがって連続でもありません。以上より、\(F_{X}\)は連続関数ではないことが明らかになりました。したがって\(X\)は連続型の確率変数ではありません。
演習問題
\Omega =[0,2\pi )
\end{equation*}であり、事象空間が\([0,2\pi )\)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( [0,2\pi )\right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\mu \left( A\right) }{2\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\mu :\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はボレル測度です。これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(X\)が確率変数であることを示してください。
- \(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
- \(X\)が連続型の確率変数であることを示してください。
- \(X\)が絶対連続型の確率変数であることを示してください。
\Omega =[0,2\pi )
\end{equation*}であり、事象空間が\([0,2\pi )\)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( [0,2\pi )\right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\mu \left( A\right) }{2\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\mu :\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はボレル測度です。これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。以下の問いに答えてください。写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(X\)が確率変数であることを示してください。
- \(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
- \(X\)が連続型の確率変数であることを示してください。
- \(X\)が絶対連続型の確率変数であることを示してください。
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