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連続型の確率分布

連続型の確率変数

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連続型の確率変数

「コインを1回投げる」という試行標本空間が、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}であるように、試行において起こり得る標本点は数値であるとは限りません。確率に関して定量的な分析を行うためには、それぞれの標本点を数値として表現できれば何かと便利です。そこで、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める写像\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を導入し、これを確率変数(random variable)と呼びます。

確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値がとり得る範囲が非可算集合である場合には、すなわち、\(X\)の値域\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}が数直線\(\mathbb{R} \)上の区間であったり、互いに素な区間の和集合などの非可算集合である場合には、\(X\)を連続型の確率変数(continuous random variable)と呼びます。

例(連続型の確率変数)
「ある電球の寿命を測定する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =[0,+\infty )
\end{equation*}です。電球の寿命が切れた時点を表現する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定めます。例えば、\begin{eqnarray*}
X\left( 0\right) &=&0 \\
X\left( 10\right) &=&10 \\
X\left( 111\right) &=&111
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。この確率変数の値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =[0,+\infty )
\end{equation*}という無限閉区間であるため、\(X\)は連続型の確率変数です。
例(連続型の確率変数)
「2匹のマウスの寿命を測定する」という試行について考えます。ただし、2匹のマウスは区別可能です。マウス\(1\)の寿命を\(x_{1}\)で、マウス\(2\)の寿命を\(x_{2}\)でそれぞれ表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x_{1}\wedge 0\leq x_{2}\right\}
\end{equation*}となります。それぞれの標本点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in\Omega \)に対して、2匹のマウスの寿命の平均\begin{equation*}X\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{x_{1}+x_{2}}{2}
\end{equation*}を値として定める確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、その値域は、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left\{ \frac{x_{1}+x_{2}}{2}\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x_{1}\wedge 0\leq x_{2}\right\} \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}という無限閉区間であるため、\(X\)は連続型の確率変数です。また、それぞれの標本点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \Omega \)に対して、2匹のマウスの寿命の差\begin{equation*}Y\left( x_{1},x_{2}\right) =\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert
\end{equation*}を値として定める確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、その値域は、\begin{eqnarray*}Y\left( \Omega \right) &=&\left\{ \left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x_{1}\wedge 0\leq x_{2}\right\} \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}という無限閉区間であるため、\(Y\)もまた連続型の確率変数です。上の例に関して言えば、寿命の平均に興味があれば確率変数\(X\)を採用し、寿命の差に興味があれば確率変数\(Y\)を採用することになります。目的に応じて適切な確率変数を導入することが重要です。
例(連続型の確率変数)
「半径\(r>0\)の円上の弦をランダムに選ぶ」という試行について考えます。弦を特定するためにはその両端の点を特定すれば良いため、この試行の標本点は円上の2つの点からなる組として表現されます。したがって、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( x,y\right) \ |\ x\text{と}y\text{は円上の点}\right\}
\end{equation*}となります。それぞれの標本点\(\left( x,y\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( x,y\right) =x,y\text{を両端の点とする弦の長さ}
\end{equation*}を値として定める確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、最短の弦の長さは\(0\)であり、最長の弦の長さは円周\(2\pi r\)であるため、その値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,2\pi r\right] \end{equation*}という有界閉区間になります。したがって、\(X\)は連続型の確率変数です。

確率変数は連続型であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(連続型ではない確率変数)
「コインを1回投げて出た面を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}となります。「表が出れば1万円をもらえる一方で裏が出れば1万円を支払う」というギャンブルを想定する場合、ギャンブルの結果を表現する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
10000 & \left( if\ \omega =\text{表}\right) \\
-10000 & \left( if\ \omega =\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。この確率変数の値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\left\{ 10000,-10000\right\}
\end{equation*}という有限集合であるため、\(X\)は連続型の確率変数ではありません。

以上の例のように、確率変数の値域が有限集合ないし可算集合である場合、それを離散型の確率変数と呼びます。離散型の確率変数については別のセクションで解説しているため、以降では連続型の確率変数のみを考察対象とします。

 

演習問題

問題(連続型の確率変数)
「通話記録の中から1つをランダムに選んだ上で通話時間を観察する」という試行において、通話時間を与える確率変数を定式化してください。また、その値域を明らかにして下さい。

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問題(連続型の確率変数)
「ある町の1年間の降雨量を計測する」という試行において、降雨量を与える確率変数を定式化してください。また、その値域を明らかにして下さい。

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問題(連続型の確率変数)
「5人をランダムに選んで身長を計測する」という試行において、5人の身長の平均を与える確率変数を定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。

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