同時確率変数の同時確率分布
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実をベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に変換して表現する状況を想定します。加えて、\(\left( X,Y\right) \)は絶対連続型の同時確率変数であるものとします。
同時確率変数の定義より、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left( X,Y\right) ^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)は平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のボレル集合族です。つまり、ボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)を任意に選んだとき、「\(\left( X,Y\right) \)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(\left( X,Y\right) \)を同時確率変数と呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、「同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \
|\ \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}\mu _{XY}\left( B\right) =P\left( \left( X,Y\right) \in B\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\mu _{XY}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布(joint distribution)と呼びます。
ベクトル値写像\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が同時確率変数であるために満たすべき先の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}は以下の条件\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left(
\omega \right) \leq y\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることは、写像\(\left( X,Y\right) \)が同時確率変数であるための必要十分条件です。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left( \omega \right) \leq y\right\}
\right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布関数(joint distribution function)と呼びます。
同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)が絶対連続型であることとは、その同時分布関数\(F_{XY}\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上の絶対連続関数あることを意味します。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :P\left( \left( X,Y\right) \in B\right) =\int
\int_{B}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を満たすルベーグ積分可能な関数\begin{equation*}
f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が存在するということです。その上で、この関数\(f_{XY}\)を同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数(joint probability density function)と呼びます。関数\(f_{XY}\)を同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数であることと、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty
}^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
P\left( a\leq X\leq b\wedge c\leq Y\leq d\right)
=\int_{x=a}^{b}\int_{y=c}^{d}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)について\(X\)の実現値が\(a\)以上\(b\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(c\)以上\(d\)以下である確率は、同時確率密度関数\(f_{XY}\)を区間\(\left[ a,b\right] \times \left[ c,d\right] \)上で積分することにより得られる値と一致します。
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
P\left( a\leq X\wedge b\leq Y\right) =\int_{x=a}^{+\infty
}\int_{y=b}^{+\infty }f_{XY}\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)について\(X\)の実現値が\(a\)以上かつ\(Y\)の実現値が\(b\)以上である確率は、同時確率密度関数\(f_{XY}\)を区間\([a,+\infty )\times \lbrack b,+\infty )\)上で積分することにより得られる値と一致します。
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
P\left( X\leq a\wedge Y\leq b\right) =\int_{x=-\infty }^{a}\int_{y=-\infty
}^{b}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)について\(X\)の実現値が\(a\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(b\)以下である確率は、同時確率密度関数\(f_{XY}\)を区間\((-\infty ,a]\times (-\infty ,b]\)上で積分することにより得られる値と一致します。
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
P\left( X=a\wedge Y=b\right) &=&\int_{x=a}^{a}\int_{y=b}^{b}f_{XY}\left(
x,y\right) dxdy \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)が特定の値\(\left( a,b\right) \)をとる確率はゼロです。この点において絶対連続型の同時確率変数は離散型の同時確率変数とは異なります。ただし、以上の事実は「絶対連続型の確率変数\(\left( X,Y\right) \)について\(X\)の実現値が\(a\)かつ\(Y\)の実現値が\(b\)である」という事象が空事象であることを意味するわけではありません。
\Omega =\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、確率測度\(P:\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right) \rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度\begin{equation*}\mu :\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right)
\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を採用すれば、これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。「\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)上の点を1つランダムに選ぶ」という試行に興味がある場合、それぞれの標本点\(\left( \omega_{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right)
&=&\left( X\left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right) ,Y\left(
\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right) \right) \\
&=&\left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を導入することになります。この写像の値域は、\begin{equation*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}です。\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \ |\ X\left(
\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right) \leq x\wedge Y\left( \left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) \right) \leq y\right\} \\
&=&\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \ |\ \omega _{1}\leq x\wedge \omega _{2}\leq
y\right\} \quad \because \Omega \text{および}\left(
X,Y\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
\left[ 0,x\right] \times \left[ 0,y\right] & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge
0\leq y\leq 1\right) \\
\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,y\right] & \left( if\ x>1\wedge 0\leq
y\leq 1\right) \\
\left[ 0,x\right] \times \left[ 0,1\right] & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge
y>1\right) \\
\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] & \left( if\ x>1\wedge
y>1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right)
\\
&=&\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left( X,Y\right) \)は同時確率変数です。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}F_{XY}\left( x,y\right) &=&P\left( \left\{ \left( \omega _{1},\omega
_{2}\right) \in \Omega \ |\ X\left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\right) \leq x\wedge Y\left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right)
\leq y\right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \ |\ \omega _{1}\leq x\wedge \omega
_{2}\leq y\right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \phi \right) & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
P\left( \left[ 0,x\right] \times \left[ 0,y\right] \right) & \left( if\
0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
P\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,y\right] \right) & \left( if\
x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
P\left( \left[ 0,x\right] \times \left[ 0,1\right] \right) & \left( if\
0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
P\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right) & \left( if\
x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
xy & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
y & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、\(x<0\)または\(y<0\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}0dudv \\
&=&0 \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となり、\(0\leq x\leq 1\)かつ\(0\leq y\leq 1\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=0}^{x}\int_{v=0}^{y}1dudv \\
&=&\int_{v=0}^{y}\left( \int_{u=0}^{x}1du\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{y}\left( \left[ u\right] _{u=0}^{x}\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{y}xdv \\
&=&x\int_{v=0}^{y}1dv \\
&=&x\left[ v\right] _{v=0}^{y} \\
&=&xy \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となり、\(x>1\)かつ\(0\leq y\leq 1\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{y}1dudv \\
&=&\int_{v=0}^{y}\left( \int_{u=0}^{1}1du\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{y}\left( \left[ u\right] _{u=0}^{1}\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{y}1dv \\
&=&\left[ v\right] _{v=0}^{y} \\
&=&y \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となり、\(0\leq x\leq 1\)かつ\(y>1\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=0}^{x}\int_{v=0}^{1}1dudv \\
&=&\int_{v=0}^{1}\left( \int_{u=0}^{x}1du\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{1}\left( \left[ u\right] _{u=0}^{x}\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{1}xdv \\
&=&x\int_{v=0}^{1}1dv \\
&=&x\left[ v\right] _{v=0}^{1} \\
&=&x \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となり、\(x>1\)かつ\(y>1\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{1}1dudv \\
&=&\int_{v=0}^{1}\left( \int_{u=0}^{1}1du\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{1}\left( \left[ u\right] _{u=0}^{1}\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{1}1dv \\
&=&\left[ v\right] _{v=0}^{1} \\
&=&1 \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty
}^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
\end{equation*}が成り立つことが明らかになったため、\(f_{XY}\)は\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数です。したがって、\(\left( X,Y\right) \)は絶対連続型の同時確率変数であることが明らかになりました。
同時分布関数から同時確率密度関数を導く方法
絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられたとき、その同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)と同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)の間には以下の関係\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty
}^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、同時分布関数\(F_{XY}\)が定義域上の点\(\left(x,y\right) \)に対して定める値は、同時確率密度関数\(f_{XY}\)を無限閉区間\((-\infty,x]\times (-\infty ,y]\)上で積分することにより得られます。同時確率密度関数\(f_{XY}\)が与えられれば、そこから同時分布関数\(F_{XY}\)を導くことができるということです。逆に、同時分布関数\(F_{XY}\)から同時確率密度関数\(f_{XY}\)を導くことはできるでしょうか。
絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時分布関数\(F_{XY}\)は絶対連続関数であるため、零集合\(A\subset \mathbb{R} ^{2}\)が存在して、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{\partial ^{2}F_{XY}\left( x,y\right) }{\partial x\partial y} & \left(
if\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash A\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が定義可能ですが、この関数\(f_{XY}\)は\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数になることが保証されます。
\begin{array}{cl}
\frac{\partial ^{2}F_{XY}\left( x,y\right) }{\partial x\partial y} & \left(
if\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash A\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義可能である。\(f_{XY}\)は\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数になる。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
xy & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
y & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(F_{XY}\)は絶対連続関数であるため、ほとんどいたるところで偏微分可能です。実際、\(F_{XY}\)が偏微分可能ではない点からなる集合\(A\subset \mathbb{R} ^{2}\)は有限集合であるため零集合です。\(F_{XY}\)の2階偏導関数\(\frac{\partial ^{2}F_{XY}}{\partial x\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\backslash A\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash A\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial ^{2}F_{XY}\left( x,y\right) }{\partial x\partial y}=\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
1 & \left( if\ 0<x<1\wedge 0<y<1\right) \\
0 & \left( if\ x>1\wedge 0<y<1\right) \\
0 & \left( if\ 0<x<1\wedge y>1\right) \\
0 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。したがって先の命題より、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{XY}\left( x,y\right) &=&\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{\partial ^{2}F_{XY}\left( x,y\right) }{\partial x\partial y} & \left(
if\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash A\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in A\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0<x<1\wedge 0<y<1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定める関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を定義すれば、これは\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数になります。つまり、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty
}^{y}f\left( u,v\right) dudv
\end{equation*}が成り立ちます。
同時確率密度関数の非負性
同時確率密度関数は非負の実数を値としてとります。
\end{equation*}が成り立つ。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
xy & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
y & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、それぞれの\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0<x<1\wedge 0<y<1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数ですが、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:f_{XY}\left( x,y\right) \geq 0
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。
同時確率密度関数の全区間上での積分
絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)に関しては、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :P\left( \left( X,Y\right) \in B\right) =\int
\int_{B}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}が成り立ちますが、平面上の全区間\(\mathbb{R} ^{2}\)はボレル集合であるため、すなわち、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{2}\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
P\left( \left( X,Y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right) =\int \int_{\mathbb{R} ^{2}}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( -\infty <X<+\infty \wedge -\infty <Y<+\infty \right)
=\int_{x=-\infty }^{+\infty }\int_{y=-\infty }^{+\infty }f\left( x,y\right)
dxdy
\end{equation*}が成り立ちますが、その値は、\begin{equation*}
\int_{x=-\infty }^{+\infty }\int_{y=-\infty }^{+\infty }f\left( x,y\right)
dxdy=1
\end{equation*}になることが保証されます。つまり、同時確率密度関数を全区間上で積分した結果は必ず\(1\)になります。
dxdy=1
\end{equation*}が成り立つ。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
xy & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
y & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、それぞれの\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0<x<1\wedge 0<y<1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数ですが、\begin{eqnarray*}\int_{x=-\infty }^{+\infty }\int_{y=-\infty }^{+\infty }f\left( x,y\right)
dxdy &=&\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}1dxdy \\
&=&\int_{x=0}^{1}\left( \int_{y=0}^{1}1dy\right) dx \\
&=&\int_{x=0}^{1}\left[ y\right] _{y=0}^{1}dx \\
&=&\int_{x=0}^{1}1dx \\
&=&\left[ x\right] _{x=0}^{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
\end{equation*}であるとともに、同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{6} & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left(
\Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f_{XY}\)が同時確率密度関数としての性質を満たすことを確認するとともに、以下の確率\begin{equation*}P\left( 1\leq X\leq 3\wedge -1\leq Y\leq 1\right)
\end{equation*}を求めてください。
\begin{array}{cl}
x+cy^{2} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(c\in \mathbb{R} \)は定数です。\(f_{XY}\)が同時確率密度関数であるための\(c\)が満たすべき条件を特定してください。
\begin{array}{cl}
c\left( xy+x+y\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right)
\\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(c\in \mathbb{R} \)は定数です。\(f_{XY}\)が同時確率密度関数であるための\(c\)が満たすべき条件を特定するとともに、以下の確率\begin{equation*}P\left( X\geq Y\right)
\end{equation*}を求めてください。
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