連続型の確率ベクトル（多変量確率変数）

連続型の確率ベクトル

「コインを1回投げる」という試行の標本空間が、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}であるように、試行において起こり得る標本点は数値であるとは限りません。確率に関して定量的な分析を行うためには、それぞれの標本点を数値として表現できれば何かと便利です。そこで、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}という概念を導入しました。

確率変数を利用すれば標本点が持つ特定の属性を数値化できます。ただ、確率変数はそれぞれの標本点に対して実数を1つずつ定めるルールであるため、標本点が持つ複数の属性を同時に扱うことはできません。標本点が持つ複数の属性の関係性を分析するためには複数の確率変数を同時に扱う必要があります。2つの確率変数を同時に扱うために同時確率変数という概念を導入しましたが、以降では3個以上の確率変数を同時に扱う方法について解説します。

問題としている試行に関する有限\(n\)個の連続型確率変数\begin{eqnarray*}X_{1} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
X_{n} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられている状況を想定します。つまり、これらの値域\begin{eqnarray*}
X_{1}\left( \Omega \right) &=&\left\{ X_{1}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&&\vdots \\
X_{n}\left( \Omega \right) &=&\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{eqnarray*}がいずれも数直線\(\mathbb{R} \)上の区間や互いに素な区間の和集合であるということです。これらの確率変数はそれぞれの標本点\(\omega \in\Omega \)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}X_{1}\left( \omega \right) &\in &\mathbb{R} \\
&&\vdots \\
X_{n}\left( \omega \right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を1つずつ定めます。以上の\(n\)個の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が与えられれば、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\(n\)次元ベクトル\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega \right) =\left( X_{1}\left(
\omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を1つずつ定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の連続型の確率ベクトル（continuous random vector）や多変量確率変数（multivariate random variable）などと呼びます。

表記の簡略化のため、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の確率ベクトルを、\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表記することもできます。つまり、任意の\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega
\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(X\)を定義するということです。

確率ベクトルの値域

確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega \right) &=&\left(
X_{1}\left( \omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right) \quad
\because \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \text{の定義} \\
&\in &X_{1}\left( \Omega \right) \times \cdots \times X_{n}\left( \Omega
\right) \quad \because X_{1},\cdots ,X_{n}\text{の定義}
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \Omega \right) \subset X_{1}\left(
\Omega \right) \times \cdots \times X_{n}\left( \Omega \right)
\end{equation*}を満たします。つまり、\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値域はそれぞれの確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の値域の直積の部分集合です。ちなみに、\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \Omega \right) =X_{1}\left( \Omega
\right) \times \cdots \times X_{n}\left( \Omega \right)
\end{equation*}という関係は成立するとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題