連続型確率変数を変換した場合の確率分布の変化

連続型確率変数の変換

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(X\)の確率分布が確率密度関数\begin{equation*}f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として記述されているものとします。つまり、確率変数\(X\)の値が区間\(I\subset \mathbb{R} \)に属する確率が、\begin{equation*}P\left( X\in I\right) =\int_{x\in I}f_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}であるということです。

確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)がとり得る値の範囲、すなわち\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}であるため、関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域が以下の条件\begin{equation*}X\left( \Omega \right) \subset Y
\end{equation*}を満たす場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ X\right) \left( \omega \right) =g\left( X\left( \omega \right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義}
\end{equation*}を値として定めます。合成関数\(g\circ X\)の定義域は標本空間\(\Omega \)であるため\(g\circ X\)もまた確率変数であることに注意してください。

以上の要領で確率変数を\(X\)から\(g\circ X\)へと変換した場合、新たに得られた確率変数\(g\circ X\)の確率分布をどのように記述できるでしょうか。つまり、もとの確率変数\(X\)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}\)によって記述されている状況において、新たな確率変数\(g\circ X\)の確率密度関数\(f_{g\circ Y}\)をどのように導出できるでしょうか。

確率変数を狭義単調増加変換した場合の確率分布の変化

連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されているものとします。関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}X\left( \Omega \right) \subset Y
\end{equation*}を満たす場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に相当する新たな確率変数が定義可能です。加えて、関数\(g\)は定義域\(Y\)の部分集合である\(X\left( \Omega \right) \)上で狭義単調増加関数であるものとします。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in X\left( \Omega \right) :\left[ x<x^{\prime
}\Rightarrow g\left( x\right) <g\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。関数\(g\)の定義域を\(X\left( \Omega \right) \)に制限して\(g:\mathbb{R} \supset X\left( \Omega \right) \rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、仮定より\(g\)は狭義単調増加関数になります。また、\(g\)の値域は、\begin{equation*}g\left( X\left( \Omega \right) \right) =\left\{ g\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\left( \Omega \right) \right\}
\end{equation*}となります。狭義単調増加関数は逆関数を持つため、以上の条件のもとでは、逆関数\begin{equation*}
g^{-1}:g\left( X\left( \Omega \right) \right) \rightarrow X\left( \Omega
\right)
\end{equation*}が存在することが保証されます。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in X\left( \Omega \right) \times g\left( X\left( \Omega\right) \right) \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}y=g\left( x\right) \Leftrightarrow x=g^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。狭義単調増加関数の逆関数もまた狭義単調増加関数であるため、\(g^{-1}\)は狭義単調増加関数です。加えて、逆関数\(g^{-1}\)は連続微分可能（\(C_{1}\)級）であるものとします。つまり、導関数\begin{equation*}\frac{dg^{-1}}{dy}:g\left( X\left( \Omega \right) \right) \rightarrow
X\left( \Omega \right)
\end{equation*}が存在するとともに、これが連続関数であるということです。

以上の条件のもとでは、新たな確率変数\(g\circ X\)の確率密度関数を以下のように特定することができます。

分布関数に関しても同様の主張が成り立ちます。

確率変数を狭義単調減少変換した場合の確率分布の変化

確率変数を狭義単調減少変換する場合にも同様の議論が成立します。具体的には以下の通りです。

連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されているものとします。関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}X\left( \Omega \right) \subset Y
\end{equation*}を満たす場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に相当する新たな確率変数が定義可能です。加えて、関数\(g\)は定義域\(Y\)の部分集合である\(X\left( \Omega \right) \)上で狭義単調減少関数であるものとします。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in X\left( \Omega \right) :\left[ x<x^{\prime
}\Rightarrow f\left( x\right) >f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。関数\(g\)の定義域を\(X\left( \Omega \right) \)に制限して\(g:\mathbb{R} \supset X\left( \Omega \right) \rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、仮定より\(g\)は狭義単調減少関数になります。また、\(g\)の値域は、\begin{equation*}g\left( X\left( \Omega \right) \right) =\left\{ g\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\left( \Omega \right) \right\}
\end{equation*}となります。狭義単調減少関数は逆関数を持つため、以上の条件のもとでは、逆関数\begin{equation*}
g^{-1}:g\left( X\left( \Omega \right) \right) \rightarrow X\left( \Omega
\right)
\end{equation*}が存在することが保証されます。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in X\left( \Omega \right) \times g\left( X\left( \Omega\right) \right) \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}y=g\left( x\right) \Leftrightarrow x=g^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。狭義単調減少関数の逆関数もまた狭義単調減少関数であるため、\(g^{-1}\)は狭義単調減少関数です。加えて、逆関数\(g^{-1}\)は連続微分可能（\(C_{1}\)級）であるものとします。つまり、導関数\begin{equation*}\frac{dg^{-1}}{dy}:g\left( X\left( \Omega \right) \right) \rightarrow
X\left( \Omega \right)
\end{equation*}が存在するとともに、これが連続関数であるということです。

以上の条件のもとでは、新たな確率変数\(g\circ X\)の確率密度関数を以下のように特定することができます。

分布関数に関しても同様の主張が成り立ちます。

確率変数を標準化した場合の確率分布の変換

連続型確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。加えて、\(X\)の期待値と分散がともに有限な実数として定まるとともに、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) >0
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\frac{x-E\left( X\right) }{\sqrt{\mathrm{Var}\left(
X\right) }} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{\mathrm{Var}\left( X\right) }}x-\frac{E\left( X\right) }{\sqrt{\mathrm{Var}\left( X\right) }}
\end{eqnarray*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathrm{Var}\left( X\right) >0\)ゆえに\(g\)は狭義単調増加関数であるため逆関数\(g^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g^{-1}\left( y\right) =\sqrt{\mathrm{Var}\left( X\right) }y+E\left( X\right)
\end{equation*}を定めます。\(g^{-1}\)は多項式関数であるため\(C_{1}\)級であり、導関数は、\begin{equation*}\frac{dg^{-1}\left( y\right) }{dy}=\sqrt{\mathrm{Var}\left( X\right) }
\end{equation*}です。確率変数\(g\circ X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ X\right) \left( \omega \right) &=&g\left( X\left( \omega
\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&\frac{X\left( \omega \right) -E\left( X\right) }{\sqrt{\mathrm{Var}\left(
X\right) }}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めますが、これは確率変数\(X\)の標準化です。\(g\)は狭義単調増加関数であるため、先の命題より、確率質量関数\(f_{g\circ X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{g\circ X}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\sqrt{\mathrm{Var}\left( X\right) }\cdot f_{X}\left( \sqrt{\mathrm{Var}\left(
X\right) }y+E\left( X\right) \right) & \left( if\ y\in g\left( X\left(
\Omega \right) \right) \right) \\
0 & \left( if\ y\not\in g\left( X\left( \Omega \right) \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。

演習問題