同一分布にしたがう2つの連続型確率変数

同一分布にしたがう2つの確率変数

問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられている場合、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する」という事象は、\(X\left( \omega \right) \in A\)を満たす標本点\(\omega \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\}
\end{equation*}として表現されるため、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する」という事象が起こる確率は、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in A\right\} \right)
\end{equation*}となります。任意の集合\(A\subset \mathbb{R} \)に対して、確率変数\(X\)の値が\(A\)に属する確率\(P\left( X\in A\right) \)が明らかになっている場合、そのような情報の集まりを確率変数\(X\)の確率分布と呼びました。

問題としている試行に関する同時確率変数\begin{equation*}
\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられている状況を想定します。集合\(A\subset \mathbb{R} \)を選んだとき、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する確率」は、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in A\right\} \right)
\end{equation*}であり、「確率変数\(Y\)の値が集合\(A\)に属する確率」は、\begin{equation*}P\left( Y\in A\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega
\right) \in A\right\} \right)
\end{equation*}です。2つの確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が同一の確率分布にしたがうこととは、どのような集合\(A\subset \mathbb{R} \)を選んだ場合でも、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する確率」と「確率変数\(Y\)の値が集合\(A\)に属する確率」が一致すること、すなわち、\begin{equation*}\forall A\subset \mathbb{R} :P\left( X\in A\right) =P\left( Y\in A\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。\(X\)と\(Y \)が同一の確率分布にしたがうことを同一分布にしたがう（identically distributed）と言うこともできます。

同一分布にしたがう2つの連続型確率変数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている状況において、連続型の同時確率変数\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}の同時確率分布が同時確率密度関数\begin{equation*}
f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が区間の直積\(I\times J\subset \mathbb{R} ^{2}\)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in I\times J\right) =\int \int_{\left( x,y\right)
\in I\times J}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}であるということです。

同時確率密度関数\(f_{XY}\)を周辺化することにより個々の確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の周辺確率分布を記述する周辺確率密度関数\begin{eqnarray*}
f_{X} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{Y} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が得られます。周辺確率密度関数の定義より、区間\(I,J\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray}P\left( X\in I\right) &=&\int_{x\in I}f_{X}\left( x\right) dx \quad \cdots (1) \\
P\left( Y\in J\right) &=&\int_{y\in J}f_{Y}\left( y\right) dy \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}という関係が成り立つことに注意してください。

先に定義したように、確率関数\(X,Y\)が同一分布にしたがうことは、\begin{equation*}\forall A\subset \mathbb{R} :P\left( X\in A\right) =P\left( Y\in A\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただ、確率変数\(X,Y\)が連続型である場合の\(X\left( \Omega \right) \)および\(Y\left( \Omega \right) \)は区間もしくは互いに素な区間の和集合であるため、\(X\)と\(Y\)が同一分布にしたがうためには、\begin{equation*}\forall I\subset \mathbb{R} :P\left( X\in I\right) =P\left( Y\in I\right)
\end{equation*}が満たされていれば十分です。ただし、\(I\)は区間です。\(\left( 1\right) ,\left(2\right) \)を用いると、これを、\begin{equation*}\forall I\subset \mathbb{R} :\int_{x\in I}f_{X}\left( x\right) dx=\int_{y\in I}f_{Y}\left( y\right) dy
\end{equation*}と表現できます。そこで、以上の条件によって連続型の確率変数\(X,Y\)が同一分布にしたがうことの定義とします。

連続型確率変数が同一分布にしたがうことを以下のように表現することもできます。

確率変数どうしは同一分布にしたがうとは限りません。以下の例より明らかです。

分布関数を用いた連続型確率変数が同一分布にしたがうことの表現

確率変数が同一分布にしたがうことを分布関数を用いて表現することもできます。具体的には以下の通りです。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている状況において、連続型の同時確率変数\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}の同時確率分布が同時分布関数\begin{equation*}
F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値がベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)以下である確率は、\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right) =F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{-\infty
}^{x}\int_{-\infty }^{y}f_{XY}\left( s,t\right) dsdt
\end{equation*}です。同時分布関数\(F_{XY}\)を周辺化することにより個々の確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の周辺確率分布を記述する周辺分布関数\begin{eqnarray*}
F_{X} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
F_{Y} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が得られます。周辺分布関数の定義より、点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( X\leq x\right) =\int_{-\infty
}^{x}f_{X}\left( s\right) ds \\
F_{Y}\left( x\right) &=&P\left( Y\leq y\right) =\int_{-\infty
}^{y}f_{Y}\left( t\right) dt
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことに注意してください。以上を踏まえたとき、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :F_{X}\left( x\right) =F_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が独立であるための必要十分条件になります。

演習問題