同一分布にしたがう2つの確率変数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。ボレル集合\(A\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して「\(X\)の実現値が\(A\)に属する」という事象の確率は、\begin{equation*}P\left( A\in X\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in A\right\} \right)
\end{equation*}と定まります。任意の集合\(A\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して確率\(P\left( X\in A\right) \)が明らかになっている場合、そのような情報の集まりを\(X\)の確率分布と呼びます。
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて2つの確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ボレル集合\(A\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\(X\)の実現値が\(A\)に属する確率と\(Y\)の実現値が\(A\)に属する確率が常に一致する場合には、つまり、\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :P\left( X\in A\right) =P\left( Y\in A\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)と\(Y\)は同一の確率分布を持っていると言えます。そこでこの場合、\(X\)と\(Y\)は同一分布にしたがう(identically distributed)と言います。
同一分布にしたがう2つの連続型確率変数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている状況において、絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率分布が同時確率密度関数\begin{equation*}f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の実現値が集合\(E\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に属する確率が、\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in E\right) =\int \int_{\left( x,y\right) \in
E}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}であるということです。
同時確率密度関数\(f_{XY}\)を周辺化することにより個々の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺確率分布を記述する周辺確率密度関数\begin{eqnarray*}f_{X} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{Y} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が得られます。周辺確率密度関数の定義より、集合\(A,B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray}P\left( X\in A\right) &=&\int_{A}f_{X}\left( x\right) dx \quad \cdots (1) \\
P\left( Y\in B\right) &=&\int_{B}f_{Y}\left( y\right) dy \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立ちます。
確率関数\(X,Y\)が同一分布にしたがうことは、\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :P\left( X\in A\right) =P\left( Y\in A\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\left( 1\right) ,\left(2\right) \)を用いると、これを、\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\int_{A}f_{X}\left( x\right) dx=\int_{A}f_{Y}\left( y\right) dy
\end{equation*}と表現できます。そこで、以上の条件によって絶対連続型の確率変数\(X,Y\)が同一分布にしたがうことの定義とします。
絶対連続型確率変数が同一分布にしたがうことを以下のように表現することもできます。
\end{equation*}が成り立つことは、すなわち、\begin{equation*}
f_{X}=f_{Y}
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が同一分布にしたがうための必要十分条件である。
\begin{array}{cl}
4xy & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、周辺確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( x\right) &=&\int_{y=-\infty }^{+\infty }f_{XY}\left( x,y\right)
dy \\
&=&\int_{y=0}^{1}\left( 4xy\right) dy \\
&=&\left[ 2xy^{2}\right] _{y=0}^{1} \\
&=&2x
\end{eqnarray*}である一方、\(x\not\in X\left( \Omega\right) \)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =0
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation}
f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
2x & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}です。確率変数\(Y\)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、周辺確率密度関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(y\in Y\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{Y}\left( y\right) &=&\int_{x=-\infty }^{+\infty }f_{XY}\left( x,y\right)
dx \\
&=&\int_{x=0}^{1}\left( 4xy\right) dx \\
&=&\left[ 2x^{2}y\right] _{x=0}^{1} \\
&=&2y
\end{eqnarray*}である一方、\(y\not\in Y\left( \Omega\right) \)を満たす任意の\(y\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{Y}\left( y\right) =0
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation}
f_{Y}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
2y & \left( if\ y\in Y\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =f_{Y}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(X\)と\(Y\)は同一分布にしたがうことが明らかになりました。
確率変数どうしは同一分布にしたがうとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
24xy & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、周辺確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( x\right) &=&\int_{y=-\infty }^{+\infty }f_{XY}\left( x,y\right)
dy \\
&=&\int_{y=0}^{1-x}24xydy \\
&=&\left[ 12xy^{2}\right] _{y=0}^{1-x} \\
&=&12x\left( 1-x\right) ^{2}
\end{eqnarray*}であり、\(x\not\in X\left( \Omega \right) \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =0
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation}
f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
12x\left( 1-x\right) ^{2} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right)
\\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}です。確率変数\(Y\)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、周辺確率密度関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(y\in Y\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{Y}\left( y\right) &=&\int_{x=-\infty }^{+\infty }f_{XY}\left( x,y\right)
dx \\
&=&\int_{x=0}^{1-y}24xydx \\
&=&\left[ 12x^{2}y\right] _{x=0}^{1-y} \\
&=&12y\left( 1-y\right) ^{2}
\end{eqnarray*}であり、\(y\not\in Y\left( \Omega \right) \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{Y}\left( y\right) =0
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation}
f_{Y}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
112y\left( 1-y\right) ^{2} & \left( if\ y\in Y\left( \Omega \right) \right)
\\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}です。点\(\frac{1}{2}\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( \frac{1}{2}\right) &=&\frac{12}{2}\left( 1-\frac{1}{2}\right)
^{2}=\frac{3}{2} \\
f_{Y}\left( \frac{1}{2}\right) &=&\frac{112}{2}\left( 1-\frac{1}{2}\right)
^{2}=14
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{equation*}
f_{X}\left( \frac{1}{2}\right) \not=f_{Y}\left( \frac{1}{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(X\)と\(Y\)は同一分布にしたがわないことが明らかになりました。
分布関数を用いた連続型確率変数が同一分布にしたがうことの表現
確率変数が同一分布にしたがうことを分布関数を用いて表現することもできます。具体的には以下の通りです。
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が同一分布にしたがうための必要十分条件である。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{2}xy^{3} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right)
\\
\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^{3} & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right)
\\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、周辺分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、周辺分布関数\(F_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F_{Y}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ y<0\right) \\
\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^{3} & \left( if\ 0\leq y\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ y>1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。点\(\frac{1}{2}\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( \frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\right) =\frac{3}{8} \\
F_{Y}\left( \frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\right) +\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}=\frac{5}{16}
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{equation*}
F_{X}\left( \frac{1}{2}\right) \not=F_{Y}\left( \frac{1}{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(X\)と\(Y\)は同一分布にしたがわないことが明らかになりました。
演習問題
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega \right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)と\(Y\)は同一分布にしたがうでしょうか。議論してください。
\begin{array}{cl}
x+y & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)と\(Y\)は同一分布にしたがうでしょうか。議論してください。
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