教材一覧
教材一覧
教材検索

連続型の確率分布

2つの連続型確率変数の独立性

目次

Twitterで共有
メールで共有

2つの確率変数の独立性

問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。これは、2つの事象\(A,B\)の一方が起きているかどうかが他方の事象が起こる確率に影響を与えないことを意味します。以上を踏まえた上で、2つの確率変数が独立であることの意味を定義します。

問題としている試行に関する2つの確率変数\begin{eqnarray*}
X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}に加えて、それらの同時確率変数\begin{equation*}
\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられているものとします。2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)を選んだとき、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する」という事象は、\begin{equation}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}であり、「確率変数\(Y\)の値が集合\(B\)に属する」という事象は、\begin{equation}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right) \in B\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)の積事象は「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属すとともに確率変数\(Y\)の値が集合\(B\)に属する」という事象ですが、これは、\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\wedge Y\left(
\omega \right) \in B\right\}
\end{equation*}です。したがって、事象の独立性の定義より、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)が独立であることとは、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\wedge
Y\left( \omega \right) \in B\right\} \right) =P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\} \right) \cdot P\left(
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =P\left( X\in A\right) \cdot
P\left( X\in B\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

以上を踏まえた上で、任意の集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)に対して「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する」という事象と「確率変数\(Y\)の値が集合\(B\)に属する」という事象が独立である場合(もしくは独立であることを仮定する場合)には、すなわち、\begin{equation*}\forall A,B\in 2^{\mathbb{R} }:P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =P\left( X\in A\right)
\cdot P\left( X\in B\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数である\(X\)と\(Y\)は独立である(independent)と言います。一方、確率変数\(X,Y\)が独立でない場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists A,B\in 2^{\mathbb{R} }:P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) \not=P\left( X\in A\right)
\cdot P\left( X\in B\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)と\(Y\)は従属である(dependent)と言います。

 

2つの連続型確率変数の独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)における2つの連続型の確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているとともに、これらの確率分布が確率密度関数\begin{eqnarray*}
f_{X} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{Y} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}としてそれぞれ記述されているものとします。確率密度関数の定義より、集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray}P\left( X\in A\right) &=&\int_{x\in A}f_{X}\left( x\right) dx \quad \cdots (1) \\
P\left( Y\in B\right) &=&\int_{x\in B}f_{Y}\left( y\right) dy \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}という関係が成り立ちます。以上の2つの確率変数\(X,Y\)の同時確率変数は、\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であり、その同時確率分布が同時確率密度関数\begin{equation*}
f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として記述されているものとします。同時確率関数の定義より、集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation}P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =\int \int_{\left( x,y\right)
\in A\times B}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy \quad \cdots (3)
\end{equation}という関係が成り立ちます。先に定義したように、確率関数\(X,Y\)が独立であることは、\begin{equation*}\forall A,B\in 2^{\mathbb{R} }:P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =P\left( X\in A\right)
\cdot P\left( X\in B\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\left( 1\right) ,\left(2\right) ,\left( 3\right) \)を用いると、これを、\begin{equation*}\forall A,B\in 2^{\mathbb{R} }:\int \int_{\left( x,y\right) \in A\times B}f_{XY}\left( x,y\right)
dxdy=\int_{x\in A}f_{X}\left( x\right) dx\cdot \int_{x\in B}f_{Y}\left(
y\right) dy
\end{equation*}と表現できます。そこで、以上の条件によって連続型の確率変数\(X,Y\)の独立性の定義とします。

連続型確率変数の独立性を以下のように表現することもできます。

命題(連続型確率変数の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられており、それらの確率分布が確率密度関数\(f_{X},f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)としてそれぞれ表現されているものとする。さらに、同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率分布が同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとする。このとき、以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :f_{XY}\left( x,y\right) =f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が独立であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

先に連続型確率変数\(X,Y\)が独立であることの意味を定義した際に、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数\(f_{XY}\)と確率変数\(X,Y\)の確率密度関数\(f_{X},f_{Y}\)がいずれも明らかである状況を想定しました。一方、同時確率密度関数\(f_{XY}\)が明らかである一方で個々の確率変数\(X,Y\)の確率密度関数\(f_{X},f_{Y}\)が明らかでない場合には、\(f_{XY}\)からそれぞれの確率変数\(X,Y\)に関する周辺確率密度関数を導き、それを\(f_{X},f_{Y}\)として採用します。その上で、\begin{equation*}\forall A,B\in 2^{\mathbb{R} }:\int \int_{\left( x,y\right) \in A\times B}f_{XY}\left( x,y\right)
dxdy=\int_{x\in A}f_{X}\left( x\right) dx\cdot \int_{x\in B}f_{Y}\left(
y\right) dy
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)と\(Y\)は独立です。

以上の定義を以下のように表現することもできます。

命題(連続型確率変数の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と同時確率変数\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられており、さらに\(\left( X,Y\right) \)の同時確率分布が同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとする。\(f_{XY}\)から導かれた\(X,Y\)の周辺確率密度関数が\(f_{X},f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとする。このとき、以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :f_{XY}\left( x,y\right) =f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が独立であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(連続型確率変数の独立性)
連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
4xy & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率変数\(X,Y\)の値域は、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\} \\
Y\left( \Omega \right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq y\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、\(X\)の周辺確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( x\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }f_{XY}\left( x,y\right) dy
\\
&=&\int_{0}^{1}\left( 4xy\right) dy \\
&=&\left[ 2xy^{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&2x
\end{eqnarray*}である一方、\(x\not\in X\left( \Omega\right) \)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =0
\end{equation*}です。一方、\(Y\)の周辺確率密度関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(y\in Y\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{Y}\left( y\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }f_{XY}\left( x,y\right) dx
\\
&=&\int_{0}^{1}\left( 4xy\right) dx \\
&=&\left[ 2x^{2}y\right] _{0}^{1} \\
&=&2y
\end{eqnarray*}である一方、\(y\not\in Y\left( \Omega\right) \)を満たす任意の\(y\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{Y}\left( x\right) =0
\end{equation*}です。したがって、\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \in \left( X\times Y\right) \left( \Omega \right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{XY}\left( x,y\right) &=&4xy \\
&=&2x\cdot 2y \\
&=&f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(\left( x,y\right) \in\left( X\times Y\right) \left( \Omega \right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{XY}\left( x,y\right) &=&0 \\
&=&0\cdot 0 \\
&=&f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(X\)と\(Y\)は独立です。
例(連続型確率変数の独立性)
連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x+y & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率変数\(X,Y\)の値域は、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\} \\
Y\left( \Omega \right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq y\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、\(X\)の周辺確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( x\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }f_{XY}\left( x,y\right) dy
\\
&=&\int_{0}^{1}\left( x+y\right) dy \\
&=&\left[ xy+\frac{1}{2}y^{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&x+\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}である一方、\(x\not\in X\left( \Omega\right) \)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =0
\end{equation*}です。一方、\(Y\)の周辺確率密度関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(y\in Y\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{Y}\left( y\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }f_{XY}\left( x,y\right) dx
\\
&=&\int_{0}^{1}\left( x+y\right) dx \\
&=&\left[ xy+\frac{1}{2}y^{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&y+\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}である一方、\(y\not\in Y\left( \Omega\right) \)を満たす任意の\(y\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{Y}\left( x\right) =0
\end{equation*}です。例えば、\(\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4}\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}f_{XY}\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4}\right) &=&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \\
f_{X}\left( \frac{1}{4}\right) &=&\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4} \\
f_{Y}\left( \frac{1}{4}\right) &=&\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
f_{XY}\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4}\right) \not=f_{X}\left( \frac{1}{4}\right) \cdot f_{Y}\left( \frac{1}{4}\right)
\end{equation*}となり、したがって\(X\)と\(Y\)は従属です。

 

分布関数を用いた連続型確率変数の独立性の表現

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)における2つの連続型の確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているとともに、これらの確率分布が分布関数\begin{eqnarray*}
F_{X} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
F_{Y} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}としてそれぞれ記述されているものとします。分布関数の定義より、点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( X\leq x\right) =\int_{-\infty
}^{x}f_{X}\left( s\right) ds \\
F_{Y}\left( x\right) &=&P\left( Y\leq y\right) =\int_{-\infty
}^{y}f_{Y}\left( t\right) dt
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。以上の2つの確率変数\(X,Y\)の同時確率変数は、\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であり、その同時確率分布が同時分布関数\begin{equation*}
F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として記述されているものとします。同時分布関数の定義より、点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right) =\int_{-\infty
}^{x}\int_{-\infty }^{y}f_{XY}\left( s,t\right) dsdt
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえたとき、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =F_{X}\left( x\right) \cdot F_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が独立であるための必要十分条件になります。

命題(連続型確率変数の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられており、それらの確率分布が分布関数\(F_{X},F_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)としてそれぞれ表現されているものとする。さらに、同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率分布が同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとする。このとき、以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =F_{X}\left( x\right) \cdot F_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が独立であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

上の命題では同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時分布関数\(F_{XY}\)と確率変数\(X,Y\)の分布関数\(F_{X},F_{Y}\)がいずれも明らかである状況を想定しています。一方、同時分布関数\(F_{XY}\)が明らかである一方で個々の確率変数\(X,Y\)の分布関数\(F_{X},F_{Y}\)が明らかでない場合には、\(F_{XY}\)からそれぞれの確率変数\(X,Y\)に関する周辺分布関数を導き、それを\(F_{X},F_{Y}\)として採用します。

命題(連続型確率変数の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と同時確率変数\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられており、さらに\(\left( X,Y\right) \)の同時確率分布が同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとする。\(F_{XY}\)から導かれた\(X,Y\)の周辺分布関数が\(F_{X},F_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとする。このとき、以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =F_{X}\left( x\right) \cdot F_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が独立であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

演習問題

問題(連続型確率変数の独立性)
連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega \right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)と\(Y\)は独立でしょうか。議論してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Twitterで共有