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2つの事象の独立性

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2つの事象の独立性

問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)について、事象\(B\)が起きたという条件(\(P\left( B\right) >0\))のもとでの事象\(A\)の条件付き確率を、\begin{equation*}P\left( A|B\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
\end{equation*}と定義すれば確率論の公理と矛盾しないことが明らかになりました。一方、事象\(B\)が起きたことを前提としない場合の事象\(A\)の確率は、\begin{equation*}P\left( A\right)
\end{equation*}です。さて、2つの事象\(A,B\)の間に関連性が存在しないのであれば、事象\(B\)が起きているかどうかは事象\(A\)が起こる確率に影響を与えず、したがって、\begin{equation*}P\left( A|B\right) =P\left( A\right)
\end{equation*}という関係が成り立つはずです。\(P\left( A|B\right) \)の定義を用いてこれを書き換えると、\begin{equation*}\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }=P\left( A\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}を得ます。2つの事象\(A,B\)の立場を逆にしても同様の議論が成り立ちます。そこで、2つの事象\(A,B\)の間に以上の関係が成立する場合(もしくは以上の関係が成立することを仮定する場合)、\(A\)と\(B\)は独立である(independent)と言います。一方、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立ではない場合には、すなわち、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) \not=P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)と\(B\)は従属である(dependent)と言います。

以上の議論を踏まえた上で、条件付き確率と事象の独立性の関係をまとめておきます。

命題(事象の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)について、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &>&0 \\
P\left( B\right) &>&0
\end{eqnarray*}が成り立つものとする。このとき、以下の3つの命題\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\text{と}B\text{は独立である} \\
&&\left( b\right) \ P\left( A|B\right) =P\left( A\right) \\
&&\left( c\right) \ P\left( B|A\right) =P\left( B\right)
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。

証明

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例(独立な事象)
問題としている試行において2つの事象\(A,B\)が独立であるとともに、それぞれの確率が、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&\frac{1}{3} \\
P\left( B\right) &=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}であるものとします。\(A,B\)がともに起こる確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A\cap B\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \quad
\because A\text{と}B\text{は独立} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} \\
&=&\frac{1}{12}
\end{eqnarray*}となります。

先の議論において、条件付き確率の概念と関連付ける形で事象の独立性を定義した際には、事象\(B\)の確率が正であること、すなわち\(P\left( B\right) >0\)が成り立つことを仮定した上で、2つの事象\(A,B\)が独立であることを、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}と定義しました。ただ、実際には、事象\(B\)の確率が\(0\)である場合にも上の関係は成り立ちます。確率\(A\)の確率が\(0\)である場合も同様です。

命題(事象の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)について、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&0 \\
P\left( B\right) &=&0
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つものとする。このとき、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立であることの定義として、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}を採用する場合、以上の命題より、\(A\)や\(B\)の確率が\(0\)であるケースも内包していることが明らかになりました。

例(独立な事象)
問題としている試行において2つの事象\(A,B\)の確率が、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&\frac{1}{3} \\
P\left( B\right) &=&0
\end{eqnarray*}であるものとします。\(P\left( B\right) =0\)および上の命題より\(A\)と\(B\)は独立であるため、\(A,B\)がともに起こる確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A\cap B\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \quad
\because A\text{と}B\text{は独立} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

 

独立な事象の余事象の独立性

独立な事象の余事象に関して以下の命題が成り立ちます。

命題(独立な事象の余事象の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立であるならば、以下が成り立つ。

  1. \(A^{c}\)と\(B\)は独立である。
  2. \(A\)と\(B^{c}\)は独立である。
  3. \(A^{c}\)と\(B^{c}\)は独立である。
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例(独立な事象の余事象の独立性)
問題としている試行において2つの事象\(A,B\)が独立であるとともに、それぞれの確率が、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&\frac{1}{3} \\
P\left( B\right) &=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}であるものとします。この場合、\(A^{c}\)と\(B\)は独立であり、\(A\)と\(B^{c}\)は独立であり、\(A^{c}\)と\(B^{c}\)は独立です。さて、\(A,B\)がともに起こる確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A\cap B\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \quad
\because A\text{と}B\text{は独立} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} \\
&=&\frac{1}{12}
\end{eqnarray*}です。\(A,B\)がともに起こらない確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A^{c}\cap B^{c}\right) &=&P\left( A^{c}\right) \cdot P\left(
B^{c}\right) \quad \because A^{c}\text{と}B^{c}\text{は独立} \\
&=&\left[ 1-P\left( A\right) \right] \cdot \left[ 1-P\left( B\right) \right] \quad \because \text{余事象の確率} \\
&=&\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}です。\(A,B\)の少なくとも一方が起こる確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A\cup B\right) &=&P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right) \quad \because \text{加法定理} \\
&=&\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\(A,B\)の少なくとも一方が起こらない確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A^{c}\cup B^{c}\right) &=&P\left( A^{c}\right) +P\left(
B^{c}\right) -P\left( A^{c}\cap B^{c}\right) \quad \because \text{加法定理} \\
&=&\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{1}{2} \\
&=&\frac{11}{12}
\end{eqnarray*}です。さらに、\(A,B\)のどちらか一方だけ起こる確率は、\begin{eqnarray*}&&P\left( \left( A\cap B^{c}\right) \cup \left( A^{c}\cap B\right) \right)
\\
&=&P\left( A\cap B^{c}\right) +P\left( A^{c}\cap B\right) -P\left( \left(
A\cap B^{c}\right) \cap \left( A^{c}\cap B\right) \right) \quad \because
\text{加法定理} \\
&=&P\left( A\right) \cdot P\left( B^{c}\right) +P\left( A^{c}\right) \cdot
P\left( B\right) -P\left( A\cap A^{c}\cap B\cap B^{c}\right) \quad \because
A^{c}\text{と}B\text{は独立かつ}A\text{と}B^{c}\text{は独立} \\
&=&P\left( A\right) \cdot P\left( B^{c}\right) +P\left( A^{c}\right) \cdot
P\left( B\right) -P\left( \phi \right) \\
&=&\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}-0 \\
&=&\frac{5}{12}
\end{eqnarray*}となります。

 

独立な事象に関する積の法則

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。事象\(A,B\in \mathcal{F}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( B\right) >0
\end{equation*}が成り立つならば、以下の関係\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =P\left( A|B\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成立することを示し、これを積の法則と呼びました。つまり、事象\(B\)が起きたことが観察されており(もしくは、事象\(B\)が起きているものと仮定し)、なおかつその確率\(P\left( B\right) \)と条件付き確率\(P\left( A|B\right) \)をそれぞれ特定できる場合には、それらの積をとれば積事象の確率\(P\left(A\cap B\right) \)を求めることができるということです。一方、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立である場合には、\begin{equation*}P\left( A|B\right) =P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つため、この場合の積の法則は、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}となります。

例(積の法則)
箱の中に赤いボールと青いボールが\(5\)個ずつ、合計\(10\)個のボールが入っています。「箱からボールを\(1\)個ずつ順番に、合計\(2\)回ランダムに取り出す」という試行について考えます。すべての標本点は同じ程度の確かさで起こるものと仮定します。「\(1\)回目に赤が出て\(2\)回目に青が出る」という事象の確率について考えます。「\(1\)回目に赤が出る」という事象を\(A\)で、「\(2\)回目に青が出る」という事象を\(B\)でそれぞれ表記するのであれば、問題としている事象は積事象\(A\cap B\)として表記されます。\(1\)回目に取り出したボールを箱に戻さずに\(2\)回目のボールを取り出す場合、\(A\)と\(B\)は明らかに独立ではないため、通常の積の法則\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B|A\right)
\end{equation*}を利用することになります。具体的には、\(P\left( A\right) \)は「\(1\)回目に赤が出る確率」であるため、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{5}{10}
\end{equation*}であり、\(P\left( B|A\right) \)は「\(1\)回目に赤が出たことが観察された場合に\(2\)回目に青が出る条件付き確率」であるため、\begin{equation*}P\left( B|A\right) =\frac{5}{9}
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9}=\frac{5}{18}
\end{equation*}となります。一方、\(1\)回目に取り出したボールを箱に戻してから\(2\)回目のボールを取り出す場合、\(A\)と\(B\)は独立であるため、独立な事象のもとでの積の法則\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}を利用できます。具体的には、\(P\left( A\right) \)は「\(1\)回目に赤が出る確率」であるため、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{5}{10}
\end{equation*}であり、\(P\left( B\right) \)は「\(2\)回目に青が出る確率」であるため、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{5}{10}
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{10}=\frac{1}{4}
\end{equation*}となります。

 

演習問題

問題(事象の独立性)
「黒いサイコロと白いサイコロを同時に投げる」という試行について考えます。ただし、それぞれのサイコロには\(1\)から\(6\)までの数字が各面に記されており、それぞれの数字が等しい確率で出るものとします。このとき、以下の2つの事象\begin{eqnarray*}A &:&\text{黒いサイコロの目が}1 \\
B &:&\text{白いサイコロの目が}6
\end{eqnarray*}は独立でしょうか。議論してください。

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