2つの事象の独立性
ある試行に関する確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)が与えられているものとします。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は確率論の公理\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が与えられたとき、事象\(B\)が起きたことを前提とする場合、すなわち、\begin{equation*}P\left( B\right) >0
\end{equation*}が成り立つ場合、事象\(B\)が起きたという条件のもとでの事象\(A\)が起こる条件付き確率を、\begin{equation}P\left( A|B\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
\quad \cdots (1)
\end{equation}と定義しました。一方、事象\(B\)が起きたことを前提としない場合の事象\(A\)の確率は、\begin{equation*}P\left( A\right)
\end{equation*}です。さて、2つの事象\(A,B\)の間に関連性が存在しない場合には、事象\(B\)が起きているという追加的な情報は事象\(A\)が起こる確率に影響を与えないため、以下の関係\begin{equation*}P\left( A|B\right) =P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つはずです。\(\left( 1\right) \)を用いてこれを書き換えると、\begin{equation*}\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }=P\left( A\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}となります。そこで、以上の条件が成り立つ場合、\(A\)と\(B\)は独立である（independent）と言います。2つの事象\(A,B\)の立場を入れ替えた場合にも同様の議論が成り立ちます。
改めて整理すると、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立であることとは、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。逆に、上の命題が成り立たない場合には、すなわち、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) \not=P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、2つの事象\(A,B\)は従属である（dependent）と言います。
以上の議論を踏まえた上で、条件付き確率と事象の独立性の関係をまとめておきます。
P\left( B\right) &>&0
\end{eqnarray*}が成り立つものとする。このとき、以下の4つの命題\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\text{と}B\text{は独立} \\
&&\left( b\right) \ P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left(
B\right) \\
&&\left( c\right) \ P\left( A|B\right) =P\left( A\right) \\
&&\left( d\right) \ P\left( B|A\right) =P\left( B\right)
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。
P\left( B\right) &=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}であるものとします。\(A\)と\(B\)がともに起こる確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A\cap B\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \quad
\because A\text{と}B\text{は独立} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} \\
&=&\frac{1}{12}
\end{eqnarray*}となります。
先の議論において、条件付き確率と関連付ける形で事象の独立性を定義した際には、事象\(B\)の確率が正であること、すなわち\(P\left( B\right) >0\)が成り立つことを仮定した上で、2つの事象\(A,B\)が独立であることを、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}と定義しました。実際には、事象\(B\)の確率が\(0\)である場合にも上の関係は成り立ちます。確率\(A\)の確率が\(0\)である場合も同様です。
P\left( B\right) &=&0
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つものとする。このとき、\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。
事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立であることの定義として、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}を採用する場合、以上の命題より、\(A\)や\(B\)の確率が\(0\)であるケースも内包していることが明らかになりました。
P\left( B\right) &=&0
\end{eqnarray*}であるものとします。\(P\left( B\right) =0\)および先の命題より\(A\)と\(B\)は独立であるため、\(A,B\)がともに起こる確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A\cap B\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \quad
\because A\text{と}B\text{は独立} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
独立な事象の余事象の独立性
独立な事象の余事象に関して以下の命題が成り立ちます。
- \(A^{c}\)と\(B\)は独立である。
- \(A\)と\(B^{c}\)は独立である。
- \(A^{c}\)と\(B^{c}\)は独立である。
P\left( B\right) &=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}であるものとします。先の命題より、\(A^{c}\)と\(B\)は独立であり、\(A\)と\(B^{c}\)は独立であり、\(A^{c}\)と\(B^{c}\)は独立です。さて、\(A,B\)がともに起こる確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A\cap B\right) &=&P\left( A\right) \cdot P\left( B\right) \quad
\because A\text{と}B\text{は独立} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} \\
&=&\frac{1}{12}
\end{eqnarray*}です。\(A,B\)がともに起こらない確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A^{c}\cap B^{c}\right) &=&P\left( A^{c}\right) \cdot P\left(
B^{c}\right) \quad \because A^{c}\text{と}B^{c}\text{は独立} \\
&=&\left[ 1-P\left( A\right) \right] \cdot \left[ 1-P\left( B\right) \right] \quad \because \text{余事象の確率} \\
&=&\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}です。\(A,B\)の少なくとも一方が起こる確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A\cup B\right) &=&P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap
B\right) \quad \because \text{加法定理} \\
&=&\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\(A,B\)の少なくとも一方が起こらない確率は、\begin{eqnarray*}P\left( A^{c}\cup B^{c}\right) &=&P\left( A^{c}\right) +P\left(
B^{c}\right) -P\left( A^{c}\cap B^{c}\right) \quad \because \text{加法定理} \\
&=&\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{1}{2} \\
&=&\frac{11}{12}
\end{eqnarray*}です。さらに、\(A,B\)のどちらか一方だけ起こる確率は、\begin{eqnarray*}&&P\left( \left( A\cap B^{c}\right) \cup \left( A^{c}\cap B\right) \right)
\\
&=&P\left( A\cap B^{c}\right) +P\left( A^{c}\cap B\right) -P\left( \left(
A\cap B^{c}\right) \cap \left( A^{c}\cap B\right) \right) \quad \because
\text{加法定理} \\
&=&P\left( A\right) \cdot P\left( B^{c}\right) +P\left( A^{c}\right) \cdot
P\left( B\right) -P\left( A\cap A^{c}\cap B\cap B^{c}\right) \quad \because
A^{c}\text{と}B\text{は独立かつ}A\text{と}B^{c}\text{は独立} \\
&=&P\left( A\right) \cdot P\left( B^{c}\right) +P\left( A^{c}\right) \cdot
P\left( B\right) -P\left( \phi \right) \\
&=&\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}-0 \\
&=&\frac{5}{12}
\end{eqnarray*}となります。
独立な事象に関する積の法則
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。事象\(A,B\in \mathcal{F}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( B\right) >0
\end{equation*}が成り立つならば、以下の関係\begin{equation}
P\left( A\cap B\right) =P\left( A|B\right) \cdot P\left( B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成立することを示し、これを積の法則や乗法定理などと呼びました。つまり、事象\(B\)が起きたことが観察されており（もしくは、事象\(B\)が起きているものと仮定し）、なおかつその確率\(P\left( B\right) \)と条件付き確率\(P\left( A|B\right) \)をそれぞれ特定できる場合には、それらの積をとれば積事象の確率\(P\left(A\cap B\right) \)を求めることができるということです。一方、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立である場合には、\begin{equation*}P\left( A|B\right) =P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つため、この場合には積の法則\(\left( 1\right) \)が、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}となります。
\end{equation}の確率について考えます。事象\(A,B\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &:&1\text{回目に赤が出る} \\
B &:&2\text{回目に青が出る}
\end{eqnarray*}と定義すると、事象\(A\)は積事象\begin{equation*}A\cap B
\end{equation*}として表現されます。\(1\)回目に取り出したボールを箱に戻さずに\(2\)回目のボールを取り出す場合、\(A\)と\(B\)は明らかに独立ではないため、通常の積の法則\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B|A\right)
\end{equation*}を利用することになります。具体的には、\(P\left( A\right) \)は「\(1\)回目に赤が出る確率」であるため、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{5}{10}
\end{equation*}であり、\(P\left( B|A\right) \)は「\(1\)回目に赤が出たことが観察された場合に\(2\)回目に青が出る条件付き確率」であるため、\begin{equation*}P\left( B|A\right) =\frac{5}{9}
\end{equation*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
P\left( A\cap B\right) &=&\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9} \\
&=&\frac{5}{18}
\end{eqnarray*}となります。一方、\(1\)回目に取り出したボールを箱に戻してから\(2\)回目のボールを取り出す場合、\(A\)と\(B\)は独立であるため、独立な事象のもとでの積の法則\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}を利用できます。具体的には、\(P\left( A\right) \)は「\(1\)回目に赤が出る確率」であるため、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{5}{10}
\end{equation*}であり、\(P\left( B\right) \)は「\(2\)回目に青が出る確率」であるため、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{5}{10}
\end{equation*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
P\left( A\cap B\right) &=&\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{10} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
B &:&\text{白いサイコロの目が}6
\end{eqnarray*}は独立でしょうか。議論してください。
B &:&\text{抜き出したカードはキングである}
\end{eqnarray*}は独立でしょうか。議論してください。
\end{equation*}が成り立つ場合には\(A\)と\(B\)は独立であることを示してください。
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。
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