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確率

公理主義的確率

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公理主義的確率

試行によって起こり得る結果を標本空間事象などを用いて表現しました。確率とは現象の起こりやすさの定量的な表現であり、それは個々の事象に数字を割り当てることを通じて表現可能であるという前提のもと、確率を具体的に定める方法として先験的確率経験的確率などの考え方を紹介しました。これらは確率をどのように解釈すべきか示唆を与えてくれる一方で、ともに短所を持っています。確率の概念を解釈する方法は他にも存在しますが、それらもやはり一長一短であり、結局のところ、確率とは何かという議論の最終的な結論は見えそうにありません。そこで、確率とは何かという問題は保留にしておいて、仮に確率というものが定まるならばそこからどのような議論が展開可能であるかという方向へと発想を切り替えたのがアンドレイ・ニコラエヴィッチ・コルモゴロフ(Andrey Nikolaevich Kolmogorov)です。コルモゴロフは確率の概念を具体的に解釈するのではなく、最初にいくつかの公理(axiom)を設定して、それらを満たす対象を確率とみなす公理主義的立場を採用しました。

公理主義的確率論において、確率に関するあらゆる言明は、最初に設定した公理系のみから演繹的に導かれてはじめて正しいものとみなされます。言い換えると、確率という概念を表現すると思われる命題群を事前に設定した上で、そこを出発点として数学的にどのようなことが導かれるかを明らかにするのが公理主義的確率論の立場です。

 

確率空間

公理主義的確率論の舞台は確率空間(probability space)と呼ばれる数学的概念として定式化されます。確率について考えることは、ある試行のもとで起こり得る様々な事象の起こりやすさを特定することを意味します。したがって、確率を記述するためには、まず、試行に関する標本空間\(\Omega \)が必要です。

私たちが知りたいのはそれぞれの事象\(A\subset\Omega \)の起こりやすさですが、その前に、確率を測定する対象となる事象を特定する必要があります。そこで、確率の測定対象となるすべての事象からなる集合族を、\begin{equation*}\mathcal{F}
\end{equation*}で表記し、これを事象空間(event space)と呼びます。事象空間\(\mathcal{F}\)は標本空間\(\Omega \)の部分集合族です。事象空間\(\mathcal{F}\)に属するそれぞれの事象に対して確率を付与することになるのですが、できることなら任意の事象の確率を測定したいため、事象空間\(\mathcal{F}\)としては標本空間のベキ集合\(2^{\Omega }\)を採用できれば理想的です。実際、標本空間\(\Omega \)が有限集合や可算集合である場合には\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)としても問題ありません。一方、後ほど解説するように、標本空間\(\Omega \)が非可算集合である場合に\(\mathcal{F}=2^{\Omega }\)と定めると不都合が生じるため、その場合、一定の公理を満たす\(\Omega \)の部分集合族を\(\mathcal{F}\)として採用することになります。この点については場を改めて詳しく解説します。

確率を記述するために残された課題は、事象空間\(\mathcal{F}\)に属するそれぞれの事象に対して、その起こりやすさを特定することです。そこで、それぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、それが起こる確率に相当する実数\(P\left( A\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ割り当てる集合関数\begin{equation*}P:\mathcal{F\rightarrow \mathbb{R} }
\end{equation*}を導入し、これを確率関数(probability function)や確率測度(probability measure)などと呼びます。確率関数\(P\)にどのような公理を付与するかが問題になりますが、詳細は場を改めて解説します。

以上の3つの要素からなる組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}が公理主義的確率論の舞台であり、これを確率空間(probability space)と呼びます。あとは、確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)に対してどのよう公理を付与するかが問題になりますが、それについては次回から具体的に解説します。いずれにせよ、一定の公理を満たす\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)を確率空間と呼び、これを確率の定義とするのが公理主義的確率論の考え方です。

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