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差事象の確率

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差事象は可測

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は確率論の公理\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、差事象の確率に関してはどのようなことが言えるのでしょうか。以上の疑問に答える前に、差事象が可測であることを確認します。

命題(差事象は可測)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\backslash B\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ。つまり、\(\mathcal{F}\)は差集合について閉じている。
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差事象の確率

事象空間\(\mathcal{F}\)が差集合について閉じていることが確認できました。つまり、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\backslash B\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はその確率\(P\left( A\backslash B\right) \in \mathbb{R} \)を定めますが、これに関しては、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right) -P\left( A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つことが確率論の公理より導かれます。特に、\(B\subset A\)である場合には、\begin{equation*}A\cap B=B
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right) -P\left( A\cap B\right)
\end{equation*}となります。

命題(差事象の確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right) -P\left( A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(B\subset A\)である場合には、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right) -P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(差事象の確率)
事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、事象空間は共通部分と和集合について閉じているため、\begin{eqnarray*}A\cap B &\in &\mathcal{F} \\
A\cup B &\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( \left( A\cup B\right) \backslash \left( A\cap B\right) \right)
&=&P\left( A\cup B\right) \backslash P\left( \left( A\cap B\right) \cap
\left( A\cup B\right) \right) \quad \because \text{差事象の確率} \\
&=&P\left( A\cup B\right) \backslash P\left( A\cap B\right) \quad \because
A\cap B\subset A\cup B
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(差事象の確率)
「1つのサイコロを投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}です。事象空間として、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}を採用するとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }=\frac{\left\vert A\right\vert }{6}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。以上を踏まえた上で、「奇数の目が出るが\(4\)以上の目は出ない」という事象の確率を求めてください。その際、差事象の確率を利用してください。
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問題(差事象の確率)
「1つのサイコロを2回投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。事象空間として、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}を採用するとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }=\frac{\left\vert A\right\vert }{36}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。以上を踏まえた上で、「1回目に偶数が出るが2回目には偶数は出ない」という事象の確率を求めてください。その際、差事象の確率を利用してください。
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