組合せとその個数

組合せ

標本空間\(\Omega \)に属するすべての標本点が同じ程度の確かさで起こるものと仮定する場合、先験的確率の考えのもとでは、それぞれの事象\(A\subset \Omega \)が起こる確率は、\begin{equation*}\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega \right\vert }
\end{equation*}と定義されます。つまり、標本空間\(\Omega \)に属する標本点の個数\(\left\vert \Omega \right\vert \)と事象\(A\)に属する標本点の個数\(\left\vert A\right\vert \)をそれぞれ数え上げた上で、それらの比をとることにより事象\(A\)が起こる確率が得られるということです。だた、標本点の個数を特定する際に、標本点を1つずつ具体的に列挙していては数え落としをしたり同じものを二重に数えてしまう恐れがあるため、標本点を系統的に数える技術が必要です。以下では組合せ（combination）と呼ばれる概念について解説します。標本空間や事象はいずれも集合として定義されるため、そこに含まれる標本点の個数を組合せを用いて系統的に数え上げることにより、事象の先験的確率を正確に求めることができます。

集合\(A\)は有限\(n\in \mathbb{N} \)個の要素を持つものとします。この集合\(A\)から合計\(k\in \mathbb{N} \)個の異なる要素を同時に選びます。ただし、\(1\leq k\leq n\)です。集合\(A\)から\(k\)個の異なる要素を同時に選ぶこととは、\(k\)個の異なる要素からなる\(A\)の部分集合\begin{equation*}\left\{ a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}\right\}
\end{equation*}を選ぶことと実質的に等しいため、このような部分集合を\(n\)個の要素から\(k\)個を同時に選ぶ場合の組合せ（combination）と呼びます。

集合を外延的表記で表現する場合、要素を並べる順番を変えても、集合としては区別されません。したがって、例えば、\begin{equation*}
\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} =\left\{ a_{3},a_{2},a_{1}\right\}
\end{equation*}という関係が成り立つため、これらは等しい組合せとみなされます。

集合を外延的表記で表現する場合、同じ要素を重複して書くことは禁じられていませんが、同じ要素をいくつ書いても効果は1つだけ書いた場合と同じです。したがって、例えば、\begin{equation*}
\left\{ a_{1},a_{1},a_{1},a_{2},a_{2},a_{3}\right\} =\left\{
a_{1},a_{2},a_{3}\right\}
\end{equation*}という関係が成り立つため、これらは等しい組合せとみなされます。

組合せの個数

\(n\)個の要素を持つ集合\(A\)から\(k\)個の要素を同時に選ぶ場合、どの要素を選ぶかに応じて様々な組合せが得られます。そこで、そのようなすべての組合せの個数を、\begin{equation*}C\left( n,k\right) ,\quad C_{n,k},\quad _{n}C_{k},\quad \binom{n}{k}
\end{equation*}などで表記します。ただし、\(k=0\)の場合の組合せの個数については、\begin{equation*}C\left( n,0\right) =1
\end{equation*}と定めます。

組合せの個数に関して以下の命題が成り立ちます。証明では順列の個数に関する命題を利用します。

演習問題