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組合せとその個数

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組合せ

集合\(A\)は有限\(n\)個の要素を持つものとします。ただし、\(n\)は自然数です。この集合\(A\)から\(k\)個の異なる要素を同時に選びます。ただし、\(k\)は\(0\leq k\leq n\)を満たす自然数です。集合\(A\)から\(k\)個の異なる要素を同時に選ぶこととは、\(k\)個の異なる要素を持つ\(A\)の部分集合\begin{equation*}\left\{ a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}\right\}
\end{equation*}を選ぶことと実質的に等しいため、このような部分集合を\(n\)個の要素から\(k\)個を同時に選ぶ場合の組合せ(combination)と呼びます。

一般に、集合を外延的表記で表現するとき、集合の要素を並べる順番を変えても、集合としては等しいものと定めます。したがって、例えば、\begin{equation*}
\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} =\left\{ a_{3},a_{2},a_{1}\right\}
\end{equation*}という関係が成り立つため、これらは組合せとして区別されません。

一般に、集合を外延的表記で表現するとき、同じ要素を重複して書くことは禁じられていませんが、同じ要素をいくつ書いても効果は1つだけ書いた場合と同じと定めます。したがって、例えば、\begin{equation*}
\left\{ a_{1},a_{1},a_{1},a_{2},a_{2},a_{3}\right\} =\left\{
a_{1},a_{2},a_{3}\right\}
\end{equation*}という関係が成り立つため、これらは組合せとして区別されません。

例(組合せ)
「3つの数字\(1,2,3\)の中から異なる\(2\)個を選ぶ」という試行について考えます。つまり、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}から\(2\)個の異なる要素を選ぶ場合の組合せが標本点であるため、この試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 1,3\right\} ,\left\{
2,3\right\} \right\}
\end{equation*}となります。したがって、標本点の個数は、\begin{equation*}
\left\vert \Omega \right\vert =3
\end{equation*}です。ちなみに、集合を表記する際には要素を並べる順番だけを変えても同じ集合とみなされるため、例えば、以下の2つ\begin{equation*}
\left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 2,1\right\}
\end{equation*}は集合として等しく、組合せとしても区別されません。

例(組合せ)
「4人\(a,b,c,d\)の中から異なる3人を選ぶ」という試行について考えます。つまり、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ a,b,c,d\right\}
\end{equation*}から\(3\)個の異なる要素を選ぶ場合の組合せが標本点であるため、この試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ a,b,d\right\} ,\left\{
a,c,d\right\} ,\left\{ b,c,d\right\} \right\}
\end{equation*}となります。したがって、標本点の個数は、\begin{equation*}
\left\vert \Omega \right\vert =4
\end{equation*}です。ちなみに、集合を表記する際には要素を並べる順番だけを変えても同じ集合とみなされるため、例えば、以下の2つ\begin{equation*}
\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ c,b,a\right\}
\end{equation*}は集合として等しく、組合せとしても区別されません。

 

組合せの個数

\(n\)個の要素を持つ集合\(A\)から\(k\)個の要素を同時に選ぶ場合、どの要素を選ぶかに応じて様々な組合せを得ることができます。そこで、そのようなすべての組合せの個数を、\begin{equation*}C\left( n,k\right) ,\quad C_{n,k},\quad _{n}C_{k},\quad \binom{n}{k}
\end{equation*}などで表記します。ただし、\(k=0\)の場合の組合せの個数については、\begin{equation*}C\left( n,0\right) =1
\end{equation*}と定めます。

組合せの個数に関して以下の命題が成り立ちます。証明では順列の個数に関する命題を利用します。

命題(組合せの個数)
\(n\)個の要素を持つ集合から\(k\)個の要素を同時に選ぶことで得られる組合せの個数は、\begin{equation*}C\left( n,k\right) =\frac{P\left( n,k\right) }{k!}=\frac{n!}{k!\left(
n-k\right) !}
\end{equation*}となる。ただし、\(n,k\in \mathbb{N} \)かつ\(0\leq k\leq n\)である。特に、\(k=n\)の場合には、\begin{equation*}C\left( n,n\right) =1
\end{equation*}となる。ただし、\begin{equation*}
0!=1
\end{equation*}と定める。

証明

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例(組合せの個数)
「3つの数字\(1,2,3\)の中から異なる\(2\)個を選ぶ」という試行の標本空間について、\begin{equation*}\left\vert \Omega \right\vert =3
\end{equation*}が成り立つことを先に確認しましたが、同じ結論を上の命題から導きます。これは\(3\)個の要素を持つ集合から\(2\)個の要素を同時に選ぶことで得られる組合せの個数に等しいため、先の命題より、\begin{eqnarray*}C\left( 3,2\right) &=&\frac{3!}{2!\left( 3-2\right) !} \\
&=&\frac{3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 1} \\
&=&3
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。

例(組合せの個数)
「4人\(a,b,c,d\)の中から異なる3人を選ぶ」という試行の標本空間について、\begin{equation*}\left\vert \Omega \right\vert =4
\end{equation*}が成り立つことを先に確認しましたが、同じ結論を上の命題から導きます。これは\(4\)個の要素を持つ集合から\(3\)個の要素を同時に選ぶことで得られる組合せの個数に等しいため、先の命題より、\begin{eqnarray*}C\left( 4,3\right) &=&\frac{4!}{3!\left( 4-3\right) !} \\
&=&\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 1} \\
&=&4
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。

例(組合せの個数)
「4人の男性と5人の女性の中から男女を2人ずつ、合計4人を選ぶ」という試行について考えます。男性の選び方は、\(4\)個の要素を持つ集合から\(2\)個の要素を選ぶ場合の組合せに相当するため、その総数は、\begin{equation*}C\left( 4,2\right) =\frac{4!}{2!\left( 4-2\right) !}=6
\end{equation*}です。女性の選び方は、\(5\)個の要素を持つ集合から\(2\)個の要素を選ぶ場合の組合せに相当するため、その総数は、\begin{equation*}C\left( 5,2\right) =\frac{5!}{2!\left( 5-2\right) !}=10
\end{equation*}です。したがって、数え上げに関する積の法則より、この試行の標本点、すなわち人の選び方の総数は、\begin{eqnarray*}
\left\vert \Omega \right\vert &=&C\left( 4,2\right) \cdot C\left(
5,2\right) \\
&=&6\cdot 10 \\
&=&60
\end{eqnarray*}となります。

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