ベータ関数の定義と性質

ベータ関数の定義

ガンマ関数\(\Gamma :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(\Gamma \)はそれぞれの正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\Gamma \left( x\right) =\int_{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}dt
\end{equation*}を値として定めるということです。ガンマ関数は定義域\(\mathbb{R} _{++}\)上で正の実数のみを値としてとり得るため、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{++}:\Gamma \left( x\right) >0
\end{equation*}が成り立つため、2つの正の実数\(x,y\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、以下の値\begin{equation*}\frac{\Gamma \left( x\right) \Gamma \left( y\right) }{\Gamma \left(
x+y\right) }
\end{equation*}が有限な正の実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、正の実数を成分とする順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、以下の実数\begin{equation*}B\left( x,y\right) =\frac{\Gamma \left( x\right) \Gamma \left( y\right) }{\Gamma \left( x+y\right) }
\end{equation*}を値として定める2変数関数\begin{equation*}
B:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。そこで、この関数\(B\)をベータ関数（Beta function）と呼びます。

ベータ関数の代替的な定義（0から正の無限大までの積分）

ガンマ関数とベータ関数の定義を踏まえると、ベータ関数が定める値を以下のように特定できます。

ベータ関数の代替的な定義（0から1までの積分）

先の命題を用いると、ベータ関数が定める値を以下のように表現することもできます。

演習問題