多変数関数の多重積分と逐次積分
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な超直方体領域\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right]
\end{equation*}をとります。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。以降ではこれを直方体と呼びます。直方体上に定義された有界な多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況において、直方体\(R\)の分割\(P=\left\{ R_{i}\right\} _{i=1}^{m}\)と代表点の集合\(P^{\ast }=\left\{ x_{i}^{\ast }\right\} _{i=1}^{m}\)をそれぞれ指定すれば、関数\(f\)の分割\(P\)と代表点の集合\(P^{\ast }\)に関する\(n\)重リーマン和\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left(
R_{i}\right) \cdot f\left( x_{i}^{\ast }\right) \right]
\end{equation*}が得られます。関数\(f\)が直方体\(R\)上で\(n\)重リーマン積分可能であることとは、直方体\(R\)の分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の集合\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)の\(n\)重リーマン和がある有限な実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right)
=\alpha
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このとき、極限\(\alpha \)を関数\(f\)の\(R\)上での\(n\)重リーマン積分と呼び、そのことを、\begin{equation*}\int \cdots \int_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots
dx_{n}=\alpha
\end{equation*}で表記します。
関数\(f\)の\(n\)重リーマン和\(S\left( f,P,P^{\ast }\right) \)は直方体\(R\)の分割\(P\)に依存するだけでなく、分割\(P\)に対して選ぶ代表点からなる集合\(P^{\ast }\)にも依存します。関数\(f\)が\(n\)重リーマン積分可能であることを示す際には分割\(P\)と代表点の集合\(P^{\ast }\)をともに動かす状況を想定する必要があるため、多くの場合、その手続きは煩雑になります。よりシンプルな条件を用いて関数が\(n\)重リーマン積分可能であることを判定できれば、それはより望ましいと言えます。ここで役に立つのが逐次積分です。
関数\(f\)は有限\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する多変数関数ですが、逐次積分とは、変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に並び替えた上で、まずは\(f\)を\(x_{\left( 1\right) }\)について偏積分し、得られた結果を\(x_{\left( 2\right) }\)について偏積分し、得られた結果を\(x_{\left( 3\right) }\)について偏積分し、という形で順番に偏積分した結果として得られる値\begin{equation*}\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\int_{a_{\left( n-1\right)
}}^{b_{\left( n-1\right) }}\cdots \int_{a_{\left( 3\right) }}^{b_{\left(
3\right) }}\int_{a_{\left( 2\right) }}^{b_{\left( 2\right) }}\int_{a_{\left(
1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{\left( 1\right) }dx_{\left( 2\right) }dx_{\left( 3\right) }\cdots
dx_{\left( n-1\right) }dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}として定義されます。つまり、1変数関数のリーマン積分に関する知識があれば逐次積分を特定できます。したがって、\(n\)重リーマン積分を特定する作業を逐次積分を特定する作業に帰着できるのであれば、それは望ましいと言えます。
有限\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)が与えられたとき、これを並べ替えるパターンは全部で\(n!\)通り存在します。つまり、並び替えられた変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)のパターンとしては全部で\(n!\)通り存在します。逐次積分とは、変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right)}\)に並び替えた上で、まずは\(f\)を\(x_{\left( 1\right) }\)について偏積分し、得られた結果を\(x_{\left( 2\right) }\)について偏積分し、得られた結果を\(x_{\left( 3\right) }\)について偏積分し、という形で順番に偏積分した結果として得られる値であるため、\(n\)変数関数\(f\)の逐次積分は\(n!\)通り存在しますが、この\(n!\)通りの逐次積分はすべて有限な実数として定まるとは限りません。また、\(n!\)通りの逐次積分がすべて有限な実数として定まる場合、それらの値はすべて一致するとは限りません。ただし、一定の条件のもとでは、この\(n!\)通りの逐次積分の値はすべて一致するとともに、その値は\(n\)重積分の値と一致することが保証されます。
多重積分と逐次積分が一致するための条件（フビニの定理）
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な直方体\(R\)上に定義された多変数関数\(f\)が\(R\)上において連続であるものとします。連続関数は多重積分可能であるため、この場合に\(f\)は\(R\)上において\(n\)重積分可能であり、したがって、\(R\)上における重積分\begin{equation*}\int \cdots \int_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{equation*}が有限な実数として定まります。加えて、この場合には、変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の任意の並び\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)について\(f\)は\(R\)上において逐次積分可能であることが保証されるともに、逐次積分の値は重積分の値と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\int \cdots \int_{R}f\left( x\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=\int_{a_{\left(
n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left( \int_{a_{\left(
1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}が成り立つということです。これをフビニの定理（Fubini’s Theorem）と呼びます。
n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots \left( \int_{a_{\left(
1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right) dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}が成り立つ。
多変数関数が重積分可能であることが判明している場合でも、定義にもとづいて重積分の値を特定する作業は煩雑になりがちです。フビニの定理より、多変数関数が連続である場合には、その関数は逐次積分可能であるとともに、得られた逐次積分の値は重積分の値と一致することが保証されます。加えて、逐次積分を導出プロセスにおいて変数の順序を任意に入れ替えても、得られる結果は同じになることが保証されます。1変数関数のリーマン積分に関する知識があれば逐次積分を特定できるため、連続な多変数関数に関しては、1変数関数のリーマン積分に関する知識を駆使して重積分を計算できます。
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left( x,y\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}f\left( x,y\right)
dy\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}上に定義された3変数関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が連続である場合には、フビニの定理より、\(f\)は\(R\)上において\(3\)重積分可能であり、変数\(x_{1},x_{2},x_{3}\)の任意の並び\(x_{\left( 1\right) },x_{\left( 2\right) },x_{\left( 3\right) }\)について\(f\)は\(R\)上において逐次積分可能であるとともに、以下の関係\begin{eqnarray*}\int \int \int_{R}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left( x,y,z\right)
dx\right) dy\right) dz \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left( x,y,z\right) dx\right) dz\right) dy \\
&=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f\left( x,y,z\right) dy\right) dx\right) dz \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f\left( x,y,z\right) dy\right) dz\right) dx \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f\left( x,y,z\right) dz\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f\left( x,y,z\right) dz\right) dy\right) dz
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(R\)上において連続であり、したがってフビニの定理が要求する条件を満たしています。\(f\)の\(R\)上における変数\(x,y\)に関する逐次積分は、\begin{eqnarray*}\int_{1}^{2}\left( \int_{0}^{1}f\left( x,y\right) dx\right) dy
&=&\int_{1}^{2}\left( \int_{0}^{1}\left( x^{2}+y^{2}\right) dx\right)
dy\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{1}^{2}\left( \left[ \frac{1}{3}x^{3}+y^{2}x\right] _{0}^{1}\right)
dy \\
&=&\int_{1}^{2}\left( \frac{1}{3}+y^{2}\right) dy \\
&=&\left[ \frac{1}{3}y+\frac{1}{3}y^{3}\right] _{1}^{2} \\
&=&\left( \frac{2}{3}+\frac{8}{3}\right) -\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right) \\
&=&\frac{8}{3}
\end{eqnarray*}であるため、フビニの定理より、\(f\)の\(R\)上における変数\(y,x\)に関する逐次積分もまた、\begin{equation*}\int_{0}^{1}\left( \int_{1}^{2}f\left( x,y\right) dy\right) dx=\frac{8}{3}
\end{equation*}となります。やはりフビニの定理より、\(f\)の\(R\)上における2重積分もまた、\begin{equation*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy=\frac{8}{3}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数どうしの合成および積であるため\(R\)上において連続であり、したがってフビニの定理が要求する条件を満たしています。\(f\)の\(R\)上における2重積分は、\begin{eqnarray*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{1}^{2}\left( \int_{0}^{\pi
}f\left( x,y\right) dy\right) dx\quad \because \text{フビニの定理} \\
&=&\int_{1}^{2}\left( \int_{0}^{\pi }y\sin \left( xy\right) dy\right)
dx\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、関数\(f\)を変数\(y\)に関して先に偏積分するのは面倒です。そこで、関数\(f\)を変数\(x\)に関して先に偏積分するよう方針を切り替えるのであれば、\begin{eqnarray*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{0}^{\pi }\left(
\int_{1}^{2}f\left( x,y\right) dx\right) dy\quad \because \text{フビニの定理} \\
&=&\int_{0}^{\pi }\left( \int_{1}^{2}y\sin \left( xy\right) dx\right)
dy\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{0}^{\pi }\left( y\int_{1}^{2}\sin \left( xy\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{0}^{\pi }\left( y\left[ -\frac{\cos \left( xy\right) }{y}\right] _{1}^{2}\right) dy \\
&=&\int_{0}^{\pi }y\left( -\frac{\cos \left( 2y\right) }{y}+\frac{\cos
\left( y\right) }{y}\right) dy \\
&=&\int_{0}^{\pi }\left( -\cos \left( 2y\right) +\cos \left( y\right)
\right) dy \\
&=&\left[ -\frac{1}{2}\sin \left( 2y\right) +\sin \left( y\right) \right] _{0}^{\pi } \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。
f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a_{1},b_{1}\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a_{2},b_{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。その上で、それぞれの\(\left( x,y\right)\in R\)に対して、\begin{equation*}h\left( x,y\right) =f\left( x\right) g\left( y\right)
\end{equation*}を値として定める2変数関数\begin{equation*}
h:\mathbb{R} ^{2}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f,g\)がともに連続関数である場合には\(h\)もまた連続であるため、このとき、\begin{eqnarray*}\int \int_{R}h\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}h\left( x,y\right) dx\right) dy\quad \because \text{フビニの定理} \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left( x\right) g\left(
y\right) dx\right) dy\quad \because h\text{の定義} \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( g\left( y\right) \int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left(
x\right) dx\right) dy\quad \because \text{関数の定数倍の積分} \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left( x\right) dx\int_{a_{2}}^{b_{2}}g\left(
y\right) dy\quad \because \text{関数の定数倍の積分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int \int_{R}h\left( x,y\right) dxdy=\int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left( x\right)
dx\int_{a_{2}}^{b_{2}}g\left( y\right) dy
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、この場合には2変数関数の二重積分を2つの1変数関数のリーマン積分どうしの積として表現できます。
フビニの定理が要求する条件の吟味
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な直方体\(R\)上に定義された多変数関数\(f\)が\(R\)上において連続である場合には、\(f\)は\(R\)上において\(n\)重積分可能であるとともに、変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の任意の並び\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)について\(f\)は\(R\)上において逐次積分可能であり、なおかつ、重積分の値は逐次積分の値と一致することが明らかになりました。関数\(f\)が直方体\(R\)上において連続ではない場合、主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
\dfrac{xy\left( x^{2}-y^{2}\right) }{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} &
\left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\)軸上を通過する（\(y=0\)）形で変数\(\left( x,y\right) \)を原点\(\left( 0,0\right) \)へ限りなく近づけた場合、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x,0\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\dfrac{x^{3}}{x^{6}} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x^{3}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、この関数\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。したがって、この関数\(f\)はフビニの定理が要求する条件を満たしません。実際、\(f\)の\(R\)における\(x,y\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{2}f\left( x,y\right) dx\right) dy=-\frac{1}{20}
\end{equation*}であるのに対し、\(y,x\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{0}^{2}\left( \int_{0}^{1}f\left( x,y\right) dy\right) dx=\frac{1}{5}
\end{equation*}となります。したがって、\begin{equation*}
\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{2}f\left( x,y\right) dx\right)
dy\not=\int_{0}^{2}\left( \int_{0}^{1}f\left( x,y\right) dy\right) dx
\end{equation*}が成立します。また、\(f\)は\(R\)上において二重積分可能ではありません（演習問題）。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(R\)上における二重積分\begin{equation*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(R\)上における二重積分\begin{equation*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(R\)上における二重積分\begin{equation*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(R\)上における二重積分\begin{equation*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(R\)上における二重積分\begin{equation*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(R\)上における二重積分\begin{equation*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(R\)上における二重積分\begin{equation*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を特定してください。
\begin{array}{cc}
\dfrac{xy\left( x^{2}-y^{2}\right) }{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} &
\left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{2}f\left( x,y\right) dx\right)
dy\not=\int_{0}^{2}\left( \int_{0}^{1}f\left( x,y\right) dy\right) dx
\end{equation*}が成り立つことを確認してください。
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