不連続な多変数関数の多重リーマン積分可能性

不連続な多変数関数の多重リーマン積分可能性

これまではユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な直方体\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が多重リーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、関数\(f\)が多重リーマン積分可能であること、ないし多重リーマン積分ではないことを具体的に判定する方法について解説してきました。加えて、関数\(f\)が定義域である直方体\(R\)上において連続である場合、\(f\)は\(R\)上において多重リーマン積分であることを明らかにしました。その一方で、連続ではない関数が多重リーマン積分可能であるような事態は起こり得ます。以下の例より明らかです。

続いて、不連続かつ多重リーマン積分可能ではない多変数関数の例です。

有界かつ閉な直方体上に定義された不連続関数の中には多重リーマン積分可能であるものとそうでないものの双方が存在することが明らかになりました。では、有界かつ閉な直方体上に定義された不連続関数が多重リーマン積分可能であるための条件を特定できるのでしょうか。順番に考えます。

曲面を覆う小直方体の体積の和

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な直方体\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。ただし、\(a_{i}<b_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)です。以降ではこれを直方体と呼びます。

直方体\(R\subset \mathbb{R} ^{n}\)上に存在する曲面\(S\)が、\(n-1\)個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n-1}\)の直積上に定義された\(n-1\)変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{n-1}\subset I_{1}\times \cdots \times I_{n-1}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}の値域\begin{eqnarray*}
S &=&\left\{ \boldsymbol{g}\left( t_{1},\cdots ,t_{n-1}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left( t_{1},\cdots ,t_{n-1}\right) \in I_{1}\times \cdots \times
I_{n-1}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( t_{1},\cdots ,t_{n-1}\right) \\
\vdots \\
g_{n}\left( t_{1},\cdots ,t_{n-1}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left( t_{1},\cdots ,t_{n-1}\right) \in I_{1}\times \cdots \times
I_{n-1}\right\}
\end{eqnarray*}として表現されているものとします。ただし、曲面\(S\)が直方体\(R\)上に存在するためには、すなわち\(S\subset R\)であるためには、以下の条件\begin{equation*}\forall \left( t_{1},\cdots ,t_{n-1}\right) \in I_{1}\times \cdots \times
I_{n-1}:\boldsymbol{g}\left( t_{1},\cdots ,t_{n-1}\right) \in R
\end{equation*}が満たされている必要があります。

以降では、曲面\(S\)を定義するベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の定義域\(I_{1}\times \cdots\times I_{n-1}\)は有界閉区間どうしの直積であり、なおかつ\(\boldsymbol{g}\)は\(I_{1}\times \cdots\times I_{n-1}\)上で連続であるものとします。\(\boldsymbol{g}\)が\(I_{1}\times \cdots \times I_{n-1}\)上で連続であることは、\(\boldsymbol{g}\)の成分関数\(g_{1},\cdots ,g_{n}\)がいずれも\(I_{1}\times \cdots \times I_{n-1}\)上で連続であることと必要十分です。

直方体\(R\subset \mathbb{R} ^{n}\)の各辺を\(m\)等分する分割\begin{eqnarray*}P &=&P_{1}\times \cdots \times P_{n} \\
&=&\left\{ x_{k_{1}}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{k_{n}}^{\left( n\right)
}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k_{1},\cdots ,k_{n}\in \left\{ 0,\cdots ,m\right\} \right\}
\end{eqnarray*}が与えられれば、直方体\(R\)の部分集合である有限\(m^{n}\)個の小直方体\begin{equation*}R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}=\left[ x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right)
},x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }\right] \times \cdots \times \left[
x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) },x_{k_{n}}^{\left( n\right) }\right] \quad
\left( k_{1},\cdots ,k_{n}\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} \right)
\end{equation*}が得られます。

すべての小直方体の和集合をとればもとの直方体\(R\)が得られるため、直方体\(R\)上に存在する連続な曲面\(S\)が与えられたとき、これを有限個の小直方体によって覆うことができます。直方体\(P\)の分割\(P\)を細かくすれば曲面\(S\)を覆う個々の小直方体は小さくなる一方で\(S\)を覆う小直方体の個数は増加しますが、分割\(P\)を十分細かくすることにより、曲面\(S\)を覆うすべての小直方体の体積の和をいくらでも小さくすることができます。

直方体上に存在する連続な曲面の個数が有限であれば、先の命題と同様の主張が成り立ちます。

不連続な多変数関数が多重リーマン積分可能であるための条件

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な直方体\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。ただし、\(a_{i}<b_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)です。以降ではこれを直方体と呼びます。直方体上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( R\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in R\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}\leq x_{i}\leq
b_{i}\right\}
\end{eqnarray*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

関数\(f\)が不連続であるような点からなる集合を、\begin{equation*}D=\left\{ x\in R\ |\ f\text{は点}x\text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記します。言い換えると、関数\(f\)が連続な点からなる集合は、\begin{equation*}R\backslash D
\end{equation*}であるということです。その上で、関数\(f\)が不連続であるようなすべての点が、直方体\(R\)上に存在する有限\(n\)個の連続な曲面\(S_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)上に分布している状況を想定します。つまり、\begin{equation*}D\subset \bigcup_{i=1}^{n}S_{i}
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、関数\(f\)は直方体\(R\)上において多重リーマン積分可能になることが保証されます。

演習問題