不連続な多変数関数の多重リーマン積分可能性
これまではユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な直方体\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right]
\end{equation*}上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が多重リーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、関数\(f\)が多重リーマン積分可能であること、ないし多重リーマン積分ではないことを具体的に判定する方法について解説してきました。加えて、関数\(f\)が定義域である直方体\(R\)上において連続である場合、\(f\)は\(R\)上において多重リーマン積分であることを明らかにしました。その一方で、連続ではない関数が多重リーマン積分可能であるような事態は起こり得ます。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=y\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(R\)上で有界ですが、\(x=y\)を満たす点\(\left( x,y\right) \in R\)において連続ではありません。その一方で、この関数\(f\)は\(R\)上において2重リーマン積分可能です（演習問題）。
続いて、不連続かつ多重リーマン積分可能ではない多変数関数の例です。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \vee y\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(R\)上で有界ですが、\(x\in \mathbb{Q} \)または\(y\in \mathbb{Q} \)を満たす点\(\left( x,y\right) \in R\)において連続ではありません。さらに、この関数\(f\)は\(R\)上において2重リーマン積分可能ではありません（演習問題）。
有界かつ閉な直方体上に定義された不連続関数の中には多重リーマン積分可能であるものとそうでないものの双方が存在することが明らかになりました。では、有界かつ閉な直方体上に定義された不連続関数が多重リーマン積分可能であるための条件を特定できるのでしょうか。まずは2変数関数を題材に考えます。
曲線を覆う小直方体の面積の和
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する有界かつ閉な長方形領域\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \end{equation*}をとります。ただし、\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)です。以降ではこれを長方形と呼びます。
長方形\(R\subset \mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)は、区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}の値域\begin{eqnarray*}
C &=&\left\{ g\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( t\right) \\
g_{2}\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I\right\}
\end{eqnarray*}として表現されます。ただし、曲線\(C\)が長方形\(R\)上に存在するためには、すなわち\(C\subset R\)であるためには、以下の条件\begin{equation*}\forall t\in I:g\left( t\right) \in R
\end{equation*}が満たされている必要があります。
以降では、曲線\(C\)を定義するベクトル値関数\(g\)の定義域\(I\)は\(\mathbb{R} \)上の有界閉区間であり、なおかつ\(g\)は\(I\)上で連続であるものとします。\(g\)が\(I\)上で連続であることは、\(g\)の成分関数\(g_{1},g_{2}\)がともに\(I\)上で連続であることと必要十分です。
長方形\(R\subset \mathbb{R} ^{2}\)の各辺を\(m\)等分する分割\begin{eqnarray*}P &=&P_{1}\times P_{2} \\
&=&\left\{ \left( x_{k},y_{l}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k,l\in \left\{ 0,\cdots ,m\right\} \right\}
\end{eqnarray*}が与えられれば、長方形\(R\)の部分集合である有限\(m^{2}\)個の小長方形\begin{equation*}R_{k,l}=\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \times \left[ y_{l-1},y_{l}\right] \quad
\left( k,l\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} \right)
\end{equation*}が得られます。
すべての小長方形の和集合をとればもとの長方形\(R\)が得られるため、長方形\(R\)上に存在する連続な曲線\(C\)が与えられたとき、これを有限個の小長方形によって覆うことができます。長方形\(R\)の分割\(P\)を細かくすれば、曲線\(C\)を覆う個々の小長方形は小さくなる一方で、\(C\)を覆う小長方形の総数は増加しますが、分割\(P\)を十分細かくすることにより、曲線\(C\)を覆うすべての小長方形の面積の和をいくらでも小さくすることができます。
\end{equation*}と表現されているものとする。ただし、\begin{equation*}
\forall t\in I:g\left( t\right) \in R
\end{equation*}である。長方形\(R\)の分割\(P\)のもとで、曲線\(C\)と交わる小長方形\(R_{k}\subset R\)からなる有限集合を、\begin{equation*}\left\{ R_{k}\right\} _{k\in K}
\end{equation*}で表記する。つまり、\(K\)は有限集合であるとともに、\begin{equation*}C\subset \bigcup_{k\in K}R_{k}
\end{equation*}である。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して十分細かい分割\(P\)を選べば、\begin{equation*}\sum_{k\in K}\mathrm{area}\left( R_{k}\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathrm{area}\left( R_{k}\right) \)は小長方形\(R_{k}\)の面積である。
長方形上に存在する連続な曲線の個数が有限であれば、先の命題と同様の主張が成り立ちます。
\end{equation*}とそれぞれ表現されているものとする。ただし、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} ,\ \forall t\in I_{i}:g^{\left(
i\right) }\left( t\right) \in R
\end{equation*}である。長方形\(R\)の分割\(P\)のもとで、少なくとも1つの曲線\(C_{i}\)と交わる小長方形\(R_{k}\subset R\)からなる有限集合を、\begin{equation*}\left\{ R_{k}\right\} _{k\in K}
\end{equation*}で表記する。つまり、\(K\)は有限集合であるとともに、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :C_{i}\subset \bigcup_{k\in K}R_{k}
\end{equation*}である。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して十分細かい分割\(P\)を選べば、\begin{equation*}\sum_{k\in K}\mathrm{area}\left( R_{k}\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathrm{area}\left( R_{k}\right) \)は小長方形\(R_{k}\)の面積である。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=y\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が不連続な点からなる集合は、\begin{equation}\left\{ \left( x,y\right) \in R\ |\ x=y\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。ベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}g\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このベクトル値関数\(g\)によって定義される\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線は、\begin{eqnarray*}C &=&\left\{ g\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(f\)が不連続な点からなる集合\(\left( 1\right) \)と一致します。以上より、\(f\)が不連続な点はいずれも\(R\)上に存在する1つの曲線上に存在することが明らかになりました。したがって先の命題より、十分細かい\(R\)の分割\(P\)を選べば、\(f\)が不連続な点を覆う長方形の面積の和をいくらでも小さくすることができます。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \vee y\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が不連続な点からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in R\ |\ x\in \mathbb{Q} \vee y\in \mathbb{Q} \right\}
\end{equation*}ですが、先の例とは異なり、この集合に属するすべての点を\(R\)上に存在する有限個の曲線上に落とし込むことはできません。
不連続な多変数関数が多重リーマン積分可能であるための条件
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する有界かつ閉な長方形\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right]
\end{equation*}をとります。ただし、\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)です。長方形上に定義された2変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( R\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in R\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ a_{1}\leq x\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq y\leq b_{2}\right\}
\end{eqnarray*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。
関数\(f\)が不連続であるような点からなる集合を、\begin{equation*}D=\left\{ \left( x,y\right) \in R\ |\ f\text{は点}\left(
x,y\right) \text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記します。言い換えると、関数\(f\)が連続な点からなる集合は、\begin{equation*}R\backslash D
\end{equation*}であるということです。その上で、関数\(f\)が不連続であるようなすべての点が、長方形\(R\)上に存在する有限\(n\)個の連続な曲線\(C_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)上に分布している状況を想定します。つまり、\begin{equation*}D\subset \bigcup_{i=1}^{n}C_{i}
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、関数\(f\)は長方形\(R\)上において2重リーマン積分可能になることが保証されます。
\end{equation*}とそれぞれ表現されているものとする。ただし、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} ,\ \forall t\in I_{i}:g^{\left(
i\right) }\left( t\right) \in R
\end{equation*}である。以下の条件\begin{equation*}
D\subset \bigcup_{i=1}^{n}C_{i}
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数\(f\)は長方形\(R\)上において2重リーマン積分可能である。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=y\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は明らかに\(R\)上において有界です。加えて、先に確認したように、この関数が不連続な点からなる集合\begin{equation*}D=\left\{ \left( x,y\right) \in R\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}は、\(R\)上に存在する連続な1本の曲線\begin{equation*}C=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{equation*}の部分集合であるため、先の命題より、\(f\)は\(R\)上において2重リーマン積分可能です。
不連続な3変数関数の3重リーマン積分可能性
これまでは2変数関数を対象に議論を行ってきましたが、3変数関数についても同様の議論が成り立ちます。3変数関数の場合、その定義域は空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合であるため、先の議論における曲線を曲面に置き換えることになります。具体的には以下の通りです。
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する有界かつ閉な直方体領域\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right]
\end{equation*}をとります。ただし、\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)かつ\(a_{3}<b_{3}\)です。以降ではこれを直方体と呼びます。
直方体\(R\subset \mathbb{R} ^{3}\)上に存在する曲面\(S\)は、2つの区間の直積上に定義された2変数のベクトル値関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}の値域\begin{eqnarray*}
S &=&\left\{ g\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in S\times T\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( s,t\right) \\
g_{2}\left( s,t\right) \\
g_{3}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in S\times T\right\}
\end{eqnarray*}として表現されます。ただし、曲面\(S\)が直方体\(R\)上に存在するためには、すなわち\(S\subset R\)であるためには、以下の条件\begin{equation*}\forall \left( s,t\right) \in I\times J:g\left( s,t\right) \in R
\end{equation*}が満たされている必要があります。
以降では、曲面\(S\)を定義するベクトル値関数\(g\)の定義域\(I\times J\)は有界閉区間どうしの直積であり、なおかつ\(g\)は\(I\times J\)上で連続であるものとします。\(g\)が\(I\times J\)上で連続であることは、\(g\)の成分関数\(g_{1},g_{2},g_{3}\)がいずれも\(I\times J\)上で連続であることと必要十分です。
直方体\(R\subset \mathbb{R} ^{3}\)の各辺を\(m\)等分する分割\begin{eqnarray*}P &=&P_{1}\times P_{2}\times P_{3} \\
&=&\left\{ \left( x_{p},y_{q},z_{r}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ p,q,r\in \left\{ 0,\cdots ,m\right\} \right\}
\end{eqnarray*}が与えられれば、直方体\(R\)の部分集合である有限\(m^{3}\)個の小直方体\begin{equation*}R_{p,q,r}=\left[ x_{p-1},x_{p}\right] \times \left[ y_{q-1},y_{q}\right]
\times \left[ z_{r-1},z_{r}\right] \quad \left( p,q,r\in \left\{ 1,\cdots
,m\right\} \right)
\end{equation*}が得られます。
すべての小直方体の和集合をとればもとの直方体\(R\)が得られるため、直方体\(R\)上に存在する連続な曲面\(S\)が与えられたとき、これを有限個の小直方体によって覆うことができます。直方体\(R\)の分割\(P\)を細かくすれば、曲面\(S\)を覆う個々の小直方体は小さくなる一方で、\(S\)を覆う小直方体の総数は増加しますが、分割\(P\)を十分細かくすることにより、曲面\(S\)を覆うすべての小直方体の体積の和をいくらでも小さくすることができます。証明は、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)を舞台にした先の命題と同様です。
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}が与えられているものとする。ただし、\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)かつ\(a_{3}<b_{3}\)である。\(R\)上に存在する連続な曲面\(S\)が、有界閉区間どうしの直積上に定義された連続なベクトル値関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を用いて、\begin{equation*}S=\left\{ g\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in I\times J\right\}
\end{equation*}と表現されているものとする。ただし、\begin{equation*}
\forall \left( s,t\right) \in I\times J:g\left( s,t\right) \in R
\end{equation*}である。直方体\(R\)の分割\(P\)のもとで、曲面\(S\)と交わる小直方体\(R_{k}\subset R\)からなる有限集合を、\begin{equation*}\left\{ R_{k}\right\} _{k\in K}
\end{equation*}で表記する。つまり、\(K\)は有限集合であるとともに、\begin{equation*}C\subset \bigcup_{k\in K}R_{k}
\end{equation*}である。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して十分細かい分割\(P\)を選べば、\begin{equation*}\sum_{k\in K}\mathrm{vol}\left( R_{k}\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathrm{vol}\left( R_{k}\right) \)は小直方体\(R_{k}\)の体積である。
直方体上に存在する連続な曲面の個数が有限であれば、同様の主張が成り立ちます。証明は、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)を舞台にした先の命題と同様です。
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}が与えられているものとする。ただし、\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)かつ\(a_{3}<b_{3}\)である。\(R\)上に存在する有限\(n\)個の連続な曲面\(S_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)が、有界閉区間どうしの直積上に定義された連続なベクトル値関数\(g^{\left(i\right) }:\mathbb{R} ^{2}\supset I_{i}\times J_{i}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を用いて、\begin{equation*}S_{i}=\left\{ g^{\left( i\right) }\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in I_{i}\times J_{i}\right\}
\end{equation*}とそれぞれ表現されているものとする。ただし、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} ,\ \forall \left( s,t\right) \in
I_{i}\times J_{i}:g^{\left( i\right) }\left( s,t\right) \in R
\end{equation*}である。直方体\(R\)の分割\(P\)のもとで、少なくとも1つの曲面\(S_{i}\)と交わる小直方体\(R_{k}\subset R\)からなる有限集合を、\begin{equation*}\left\{ R_{k}\right\} _{k\in K}
\end{equation*}で表記する。つまり、\(K\)は有限集合であるとともに、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :S_{i}\subset \bigcup_{k\in K}R_{k}
\end{equation*}である。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して十分細かい分割\(P\)を選べば、\begin{equation*}\sum_{k\in K}\mathrm{vol}\left( R_{k}\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathrm{vol}\left( R_{k}\right) \)は小直方体\(R_{k}\)の体積である。
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する有界かつ閉な直方体\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right]
\end{equation*}をとります。ただし、\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)かつ\(a_{3}<b_{3}\)です。直方体上に定義された3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( R\right) &=&\left\{ f\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y,z\right) \in R\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} \ |\ a_{1}\leq x\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq y\leq b_{2}\wedge a_{3}\leq z\leq
b_{3}\right\}
\end{eqnarray*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。
関数\(f\)が不連続であるような点からなる集合を、\begin{equation*}D=\left\{ \left( x,y,z\right) \in R\ |\ f\text{は点}\left(
x,y,z\right) \text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記します。言い換えると、関数\(f\)が連続な点からなる集合は、\begin{equation*}R\backslash D
\end{equation*}であるということです。その上で、関数\(f\)が不連続であるようなすべての点が、直方体\(R\)上に存在する有限\(n\)個の連続な曲面\(S_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)上に分布している状況を想定します。つまり、\begin{equation*}D\subset \bigcup_{i=1}^{n}S_{i}
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、関数\(f\)は直方体\(R\)上において3重リーマン積分可能になることが保証されます。証明は、2変数関数に関する先の命題と同様です。
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}が与えられているものとする。ただし、\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)かつ\(a_{3}<b_{3}\)である。\(R\)上に定義された有界な3変数関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)が不連続な点からなる集合を\(D\subset R\)で表記する。\(R\)上に存在する有限\(n\)個の連続な曲面\(S_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)が、有界閉区間どうしの直積上に定義された連続なベクトル値関数\(g^{\left( i\right) }:\mathbb{R} ^{2}\supset I_{i}\times J_{i}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を用いて、\begin{equation*}S_{i}=\left\{ g^{\left( i\right) }\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in I_{i}\times J_{i}\right\}
\end{equation*}とそれぞれ表現されているものとする。ただし、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} ,\ \forall \left( s,t\right) \in
I_{i}\times J_{i}:g^{\left( i\right) }\left( s,t\right) \in R
\end{equation*}である。以下の条件\begin{equation*}
D\subset \bigcup_{i=1}^{n}S_{i}
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数\(f\)は直方体\(R\)上において3重リーマン積分可能である。
演習問題
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \vee y\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(R\)上において2重リーマン積分可能ではないことを示してください。
x,y\right) \text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記します。変数\(x\)に関する1変数関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}のグラフを、\begin{equation*}
G\left( g\right) =\left\{ \left( x,g\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{equation*}で表記します。\(g\)が連続関数であるとともに以下の条件\begin{equation*}D\subset G\left( g\right) \subset R
\end{equation*}が成り立つ場合には、すなわち、\(g\)のグラフが\(R\)の部分集合であるとともに、\(f\)が不連続な点がいずれも\(g\)のグラフ上に分布する場合には、\(f\)は\(R\)上において2重リーマン積分可能であることを示してください。
x,y\right) \text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記します。変数\(y\)に関する1変数関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}のグラフを、\begin{equation*}
G\left( g\right) =\left\{ \left( g\left( y\right) ,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{equation*}で表記します。\(g\)が連続関数であるとともに以下の条件\begin{equation*}D\subset G\left( g\right) \subset R
\end{equation*}が成り立つ場合には、すなわち、\(g\)のグラフが\(R\)の部分集合であるとともに、\(f\)が不連続な点がいずれも\(g\)のグラフ上に分布する場合には、\(f\)は\(R\)上において2重リーマン積分可能であることを示してください。
x,y\right) \text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(D\)が単位円の部分集合である場合には、\(f\)は\(R\)上において2重リーマン積分可能であることを示してください。
x,y,z\right) \text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記します。変数\(x,y\)に関する2変数関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}のグラフを、\begin{equation*}
G\left( g\right) =\left\{ \left( x,y,g\left( x,y\right) \right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right\}
\end{equation*}で表記します。\(g\)が連続関数であるとともに以下の条件\begin{equation*}D\subset G\left( g\right) \subset R
\end{equation*}が成り立つ場合には、すなわち、\(g\)のグラフが\(R\)の部分集合であるとともに、\(f\)が不連続な点がいずれも\(g\)のグラフ上に分布する場合には、\(f\)は\(R\)上において3重リーマン積分可能であることを示してください。
x,y,z\right) \text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記します。変数\(y,z\)に関する2変数関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}のグラフを、\begin{equation*}
G\left( g\right) =\left\{ \left( g\left( y,z\right) ,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( y,z\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right\}
\end{equation*}で表記します。\(g\)が連続関数であるとともに以下の条件\begin{equation*}D\subset G\left( g\right) \subset R
\end{equation*}が成り立つ場合には、すなわち、\(g\)のグラフが\(R\)の部分集合であるとともに、\(f\)が不連続な点がいずれも\(g\)のグラフ上に分布する場合には、\(f\)は\(R\)上において3重リーマン積分可能であることを示してください。
x,y,z\right) \text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(D\)が単位球の部分集合である場合には、\(f\)は\(R\)上において3重リーマン積分可能であることを示してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】