多変数関数の和の上積分・下積分・定積分

多変数関数の和の上リーマン積分と下リーマン積分

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な超直方体領域\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。以降ではこれを直方体と呼びます。直方体上に定義された2つの多変数関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれのベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in R\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) +g\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}を値として定める新たな多変数関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。以降では必要に応じて\begin{equation*}
x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}と表記します。

関数\(f,g\)はともに\(R\)上で有界であるものとします。このとき、関数\(f+g\)もまた\(R\)上で有界です。有界かつ閉な直方体上に定義された有界関数は上リーマンかつ下リーマン積分可能であるため、\(f,g,f+g\)はいずれも\(R\)上で上リーマンかつ下リーマン積分可能ですが、これらの上リーマン積分と下リーマン積分の間には以下の関係が成り立ちます。

ちなみに、上の命題の主張において等号は成立するとは限りません。つまり、上リーマン積分については、\begin{eqnarray*}
&&\overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}\left( f+g\right) \left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n} \\
&=&\overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}+\overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}g\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{eqnarray*}は成り立つとは限らず、下リーマン積分については、\begin{eqnarray*}
&&\underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}\left( f+g\right) \left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n} \\
&=&\underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}+\underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}g\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{eqnarray*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

多変数関数の和の定積分

有界かつ閉な直方体上に定義された多変数関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれのベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in R\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) +g\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}を値として定める新たな多変数関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

関数\(f\)が\(R\)上で有界かつ多重リーマン積分可能であるならば、関数\(f+g\)もまた\(R\)上で有界かつ多重リーマン積分可能であるとともに、両者の定積分は一致することが保証されます。証明では上積分と下積分に関する先の命題を利用します。

つまり、多重リーマン積分可能な2つの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた多重リーマン積分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の定積分と\(g\)の定積分の和をとれば\(f+g\)の定積分が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)の多重積分可能性を検討する際には、多重積分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが多重積分可能であることを確認すればよいということになります。

演習問題