球面座標を直交座標へ変換する微分同相写像
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(P\)の直交座標が\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)であり、球面座標（空間極座標）が\(\left( \rho ,\theta,\phi \right) \in \mathbb{R} ^{3}\)であるものとします。このとき、以下の関係\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\rho \cos \left( \phi \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
極\(O\)の球面座標は一意的に定まらないため直交座標と球面座標の間には1対1の関係が成立しません。そこで、両者の間に1対1の関係を成立させるために、球面座標がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) \in \left( 0,+\infty \right) \times \left(
0,2\pi \right) \times \left( 0,\pi \right)
\end{equation*}に制限します。その上で、球面座標を直交座標へ変換するベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{T}:\mathbb{R} ^{3}\subset \left( 0,+\infty \right) \times \left( 0,2\pi \right) \times
\left( 0,\pi \right) \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数\(\boldsymbol{T}\)はそれぞれの円筒座標\(\left( \rho ,\theta ,\phi \right) \in \left( 0,+\infty \right) \times \left(0,2\pi \right) \times \left( 0,\pi \right) \)に対して、それに対応する直交座標\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) =\left(
\begin{array}{c}
T_{1}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) \\
T_{2}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) \\
T_{3}\left( \rho ,\theta ,\phi \right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\rho \cos \left( \phi \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めます。球面座標がとり得る値の範囲を制限しているため、直交座標において点が原点および\(xz\)平面の正の領域に位置する可能性はなく、直交座標がとり得る値の範囲、すなわち関数\(\boldsymbol{T}\)の値域は、\begin{equation*}R\left( \boldsymbol{T}\right) =\mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( x,0,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x\geq 0\wedge z\geq 0\right\}
\end{equation*}となります。そこで、関数\(\boldsymbol{T}\)の終集合を値域に制限して、\begin{equation*}\boldsymbol{T}:\mathbb{R} ^{3}\supset \left( 0,+\infty \right) \times \left( 0,2\pi \right) \times
\left( 0,\pi \right) \rightarrow R\left( \boldsymbol{T}\right)
\end{equation*}とすることにより\(\boldsymbol{T}\)は全単射になるため、逆関数\begin{equation*}\boldsymbol{T}^{-1}:\mathbb{R} ^{3}\supset R\left( \boldsymbol{T}\right) \rightarrow \left( 0,+\infty
\right) \times \left( 0,2\pi \right) \times \left( 0,\pi \right)
\end{equation*}の存在を保証できます。この逆関数\(\boldsymbol{T}^{-1}\)はそれぞれの直交座標\(\left( x,y,z\right) \in R\left( \boldsymbol{T}\right) \)に対して、それに対応する球面座標\begin{equation*}\boldsymbol{T}^{-1}\left( x,y,z\right) =\left(
\begin{array}{c}
T_{1}^{-1}\left( x,y,z\right) \\
T_{2}^{-1}\left( x,y,z\right) \\
T_{3}^{-1}\left( x,y,z\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めます。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{T}:\mathbb{R} ^{2}\supset \left( 0,+\infty \right) \times \left( 0,2\pi \right) \times\left( 0,\pi \right) \rightarrow R\left( \boldsymbol{T}\right) \)は偏微分可能であり、ヤコビ行列関数\(J_{\boldsymbol{T}}:\mathbb{R} ^{3}\supset \left( 0,+\infty \right) \times \left( 0,2\pi \right) \times\left( 0,\pi \right) \rightarrow R\left( \boldsymbol{T}\right) \)はそれぞれの\(\left( \rho ,\theta ,\phi \right)\in \left( 0,+\infty \right) \times \left( 0,2\pi \right) \times \left(
0,\pi \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}J_{\boldsymbol{T}}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) &=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial T_{1}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) }{\partial \rho } &
\frac{\partial T_{1}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) }{\partial \theta } &
\frac{\partial T_{1}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) }{\partial \phi } \\
\frac{\partial T_{2}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) }{\partial \rho } &
\frac{\partial T_{2}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) }{\partial \theta } &
\frac{\partial T_{2}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) }{\partial \phi } \\
\frac{\partial T_{3}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) }{\partial \rho } &
\frac{\partial T_{3}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) }{\partial \theta } &
\frac{\partial T_{3}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) }{\partial \phi }\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial \rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) }{\partial \rho } & \frac{\partial \rho \sin \left( \phi \right) \cos \left(
\theta \right) }{\partial \theta } & \frac{\partial \rho \sin \left( \phi
\right) \cos \left( \theta \right) }{\partial \phi } \\
\frac{\partial \rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) }{\partial \rho } & \frac{\partial \rho \sin \left( \phi \right) \sin \left(
\theta \right) }{\partial \theta } & \frac{\partial \rho \sin \left( \phi
\right) \sin \left( \theta \right) }{\partial \phi } \\
\frac{\partial \rho \cos \left( \phi \right) }{\partial \rho } & \frac{\partial \rho \cos \left( \phi \right) }{\partial \theta } & \frac{\partial
\rho \cos \left( \phi \right) }{\partial \phi }\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) & -\rho \sin \left(
\phi \right) \sin \left( \theta \right) & \rho \cos \left( \phi \right)
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) & \rho \sin \left( \phi
\right) \cos \left( \theta \right) & \rho \cos \left( \phi \right) \sin
\left( \theta \right) \\
\cos \left( \phi \right) & 0 & -\rho \sin \left( \phi \right)
\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を定めますが、これは連続関数です。以上より、\(\boldsymbol{T}\)は\(C^{1}\)級であることが明らかになりました。さらに、ヤコビアンは、\begin{eqnarray*}\det \left( J_{\boldsymbol{T}}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) \right)
&=&\left\vert
\begin{pmatrix}
\sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) & -\rho \sin \left(
\phi \right) \sin \left( \theta \right) & \rho \cos \left( \phi \right)
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) & \rho \sin \left( \phi
\right) \cos \left( \theta \right) & \rho \cos \left( \phi \right) \sin
\left( \theta \right) \\
\cos \left( \phi \right) & 0 & -\rho \sin \left( \phi \right)
\end{pmatrix}\right\vert \\
&=&-\rho ^{2}\sin \left( \phi \right) \\
&\not=&0\quad \because \left( \rho ,\phi \right) \in \left( 0,+\infty
\right) \times \left( 0,\pi \right)
\end{eqnarray*}を満たします。したがって、逆関数定理より、逆関数\(\boldsymbol{T}^{-1}\)もまた\(C^{1}\)級になることが保証されます。
これまでの議論の結論をまとめます。
0,\pi \right) \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) =\left(
\begin{array}{c}
\rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\rho \cos \left( \phi \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{T}:\mathbb{R} ^{3}\supset \left( 0,+\infty \right) \times \left( 0,2\pi \right) \times\left( 0,\pi \right) \rightarrow R\left( \boldsymbol{T}\right) \)を定義する。ただし、\begin{equation*}R\left( \boldsymbol{T}\right) =\mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\}
\end{equation*}である。この場合、逆関数\(\boldsymbol{T}^{-1}:\mathbb{R} ^{3}\supset R\left( \boldsymbol{T}\right) \rightarrow \left( 0,+\infty\right) \times \left( 0,2\pi \right) \times \left( 0,\pi \right) \)が存在して、\(\boldsymbol{T}\)と\(\boldsymbol{T}^{-1}\)はともに\(C^{1}\)級になる。すなわち、\(\boldsymbol{T}\)は\(C^{1}\)級の微分同相写像である。
球面座標（空間極座標）のもとでの3重積分
球面座標を直交座標へ変換するベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{T}:\mathbb{R} ^{3}\supset \left( 0,+\infty \right) \times \left( 0,2\pi \right) \times
\left( 0,\pi \right) \rightarrow R\left( \boldsymbol{T}\right)
\end{equation*}は\(C^{1}\)級の微分同相写像であることが明らかになりました。\(\boldsymbol{T}\)の定義域の部分集合\begin{equation*}D\subset \left( 0,+\infty \right) \times \left( 0,2\pi \right) \times \left(
0,\pi \right)
\end{equation*}を選んだ上で\(\boldsymbol{T}\)の定義域を\(D\)に制限すると、それにあわせて\(\boldsymbol{T}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{T}\left( D\right) &=&\left\{ \boldsymbol{T}\left( \rho ,\theta
,\phi \right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( \rho ,\theta ,\phi \right) \in D\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\rho \cos \left( \phi \right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( \rho ,\theta ,\phi \right) \in D\right\}
\end{eqnarray*}になります。関数\(\boldsymbol{T}\)の定義域と終集合をともに制限して、\begin{equation*}\boldsymbol{T}:\mathbb{R} ^{3}\supset D\rightarrow \boldsymbol{T}\left( D\right)
\end{equation*}とします。その上で、その値域\(\boldsymbol{T}\left( D\right) \)上に定義された3変数関数の実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset \boldsymbol{T}\left( D\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が連続である場合には、多重積分の変数置換公式より、\begin{eqnarray*}
&&\int \int \int_{\boldsymbol{T}\left( D\right) }f\left( x,y,z\right) dxdydz
\\
&=&\int \int \int_{D}f\left( \boldsymbol{T}\left( \rho ,\theta ,\phi \right)
\right) \left\vert \det \left( J_{\boldsymbol{T}}\left( \rho ,\theta ,\phi
\right) \right) \right\vert d\rho d\theta d\phi \\
&=&\int \int \int_{D}f\left( \rho \sin \left( \phi \right) \cos \left(
\theta \right) ,\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right)
,\rho \cos \left( \phi \right) \right) \rho ^{2}\sin \left( \phi \right)
d\rho d\theta d\phi
\end{eqnarray*}を得ます。
これまでは球面座標の各成分が非ゼロである状況を想定しましたが、各成分が\(0\)をとり得る状況を想定しても、すなわち積分範囲\(D\)に\(xz\)平面上の\(x\geq 0\)かつ\(z\geq 0\)となる領域が加わる状況を想定しても3重積分の結果は変わらないため、これまでの議論より以下を得ます。
\begin{array}{c}
\rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\rho \cos \left( \phi \right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( \rho ,\theta ,\phi \right) \in D\right\}
\end{equation*}と定める。関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset \boldsymbol{T}\left( D\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が連続である場合には、以下の関係\begin{eqnarray*}&&\int \int \int_{\boldsymbol{T}\left( D\right) }f\left( x,y,z\right) dxdydz
\\
&=&\int \int \int_{D}f\left( \rho \sin \left( \phi \right) \cos \left(
\theta \right) ,\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right)
,\rho \cos \left( \phi \right) \right) \rho ^{2}\sin \left( \phi \right)
d\rho d\theta d\phi
\end{eqnarray*}が成り立つ。
この命題はどのような意味において有用なのでしょうか。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の領域\(\boldsymbol{T}\left( D\right) \)に定義された3変数の連続関数\(f\left( x,y,z\right) \)を直交座標のもとで3重積分しようとしている状況、すなわち、\begin{equation}\int \int \int_{\boldsymbol{T}\left( D\right) }f\left( x,y,z\right) dxdydz
\quad \cdots (1)
\end{equation}を特定しようとしている状況を想定します。これを計算するのが困難である場合、まずは、積分範囲と被積分関数を直交座標から球面座標へそれぞれ変換します。つまり、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{T}\left( D\right) &\rightarrow &D \\
f\left( x,y,z\right) &\rightarrow &f\left( \rho \sin \left( \phi \right)
\cos \left( \theta \right) ,\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta
\right) ,\rho \cos \left( \phi \right) \right) \rho ^{2}\sin \left( \phi
\right)
\end{eqnarray*}とするということです。変換後の関数\(f\left(\rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) ,\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) ,\rho \cos \left( \phi \right) \right) \rho ^{2}\sin \left( \phi \right) \)を変換後の領域\(D\)上において3重積分すれば、\begin{equation}\int \int \int_{D}f\left( \rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta
\right) ,\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) ,\rho \cos
\left( \phi \right) \right) \rho ^{2}\sin \left( \phi \right) d\rho d\theta
d\phi \quad \cdots (2)
\end{equation}が得られますが、先の命題より、これは\(\left( 1\right) \)と一致することが保証されます。\(\left(1\right) \)を計算するよりも\(\left( 2\right) \)の計算のほうが容易である場合、この手法は有用です。
\int \int \int_{\boldsymbol{T}\left( D\right) }\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}dxdydz
\end{equation*}について考えます。ただし、積分範囲は、\begin{equation*}
\boldsymbol{T}\left( D\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 25\right\}
\end{equation*}です。これをそのまま計算するのは容易ではないため球面座標に変換します。積分範囲\(\boldsymbol{T}\left( D\right) \)は中心が原点\(\left( 0,0,0\right) \)であり半径が\(5\)であるような球体であるため、積分範囲を球面座標に変換すると、\begin{equation*}D=\left\{ \left( \rho ,\theta ,\phi \right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ 0\leq \rho \leq 5\wedge 0\leq \theta \leq 2\pi \wedge 0\leq \phi
\leq \pi \right\}
\end{equation*}となります。被積分関数も球面座標に変換すると、\begin{eqnarray*}
&&\left. \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right\vert _{\left( x,y,z\right) =\left(
\rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) ,\rho \sin \left(
\phi \right) \sin \left( \theta \right) ,\rho \cos \left( \phi \right)
\right) }\cdot \rho ^{2}\sin \left( \phi \right) \\
&=&\sqrt{\rho ^{2}\sin ^{2}\left( \phi \right) \cos ^{2}\left( \theta
\right) +\rho ^{2}\sin ^{2}\left( \phi \right) \sin ^{2}\left( \theta
\right) +\rho ^{2}\cos ^{2}\left( \phi \right) }\cdot \rho ^{2}\sin \left(
\phi \right) \\
&=&\rho ^{3}\sin \left( \phi \right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、先の命題より、\begin{eqnarray*}
&&\int \int \int_{\boldsymbol{T}\left( D\right) }\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}dxdydz \\
&=&\int \int \int_{D}\left. \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right\vert _{\left(
x,y,z\right) =\left( \rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta
\right) ,\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) ,\rho \cos
\left( \phi \right) \right) }\cdot \rho ^{2}\sin \left( \phi \right) d\rho
d\theta d\phi \\
&=&\int_{0}^{5}\left( \int_{0}^{\pi }\left( \int_{0}^{2\pi }\rho ^{3}\sin
\left( \phi \right) d\theta \right) d\phi \right) d\rho \quad \because \text{フビニの定理} \\
&=&\int_{0}^{5}\left( \int_{0}^{\pi }\left( \rho ^{3}\sin \left( \phi
\right) \int_{0}^{2\pi }1d\theta \right) d\phi \right) d\rho \\
&=&\int_{0}^{5}\left( \int_{0}^{\pi }\left( \rho ^{3}\sin \left( \phi
\right) \left[ \theta \right] _{\theta =0}^{2\pi }\right) d\phi \right)
d\rho \\
&=&\int_{0}^{5}\left( \int_{0}^{\pi }\left( \rho ^{3}\sin \left( \phi
\right) 2\pi \right) d\phi \right) d\rho \\
&=&\int_{0}^{5}\left( \rho ^{3}2\pi \int_{0}^{\pi }\left( \sin \left( \phi
\right) \right) d\phi \right) d\rho \\
&=&\int_{0}^{5}\left( \rho ^{3}2\pi \left[ -\cos \left( \phi \right) \right] _{\phi =0}^{\pi }\right) d\rho \\
&=&\int_{0}^{5}\left( \rho ^{3}2\pi \left( 1+1\right) \right) d\rho \\
&=&4\pi \int_{0}^{5}\rho ^{3}d\rho \\
&=&4\pi \left[ \frac{\rho ^{4}}{4}\right] _{0}^{5} \\
&=&4\pi \cdot \frac{5^{4}}{4} \\
&=&625\pi
\end{eqnarray*}となります。
\int \int \int_{\boldsymbol{T}\left( D\right) }\exp \left( \left(
x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}\right) dxdydz
\end{equation*}について考えます。ただし、積分範囲は、\begin{equation*}
\boldsymbol{T}\left( D\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。これをそのまま計算するのは容易ではないため球面座標に変換します。積分範囲\(\boldsymbol{T}\left( D\right) \)は単位球であるため、積分範囲を球面座標に変換すると、\begin{equation*}D=\left\{ \left( \rho ,\theta ,\phi \right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ 0\leq \rho \leq 1\wedge 0\leq \theta \leq 2\pi \wedge 0\leq \phi
\leq \pi \right\}
\end{equation*}となります。被積分関数も球面座標に変換すると、\begin{eqnarray*}
&&\left. \exp \left( \left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}\right)
\right\vert _{\left( x,y,z\right) =\left( \rho \sin \left( \phi \right) \cos
\left( \theta \right) ,\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta
\right) ,\rho \cos \left( \phi \right) \right) }\cdot \rho ^{2}\sin \left(
\phi \right) \\
&=&\exp \left( \left( \rho ^{2}\sin ^{2}\left( \phi \right) \cos ^{2}\left(
\theta \right) +\rho ^{2}\sin ^{2}\left( \phi \right) \sin ^{2}\left( \theta
\right) +\rho ^{2}\cos ^{2}\left( \phi \right) \right) ^{\frac{3}{2}}\right)
\cdot \rho ^{2}\sin \left( \phi \right) \\
&=&\exp \left( \left( \rho ^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}\right) \cdot \rho
^{2}\sin \left( \phi \right) \\
&=&\rho ^{2}\exp \left( \rho ^{3}\right) \sin \left( \phi \right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、先の命題より、\begin{eqnarray*}
&&\int \int \int_{\boldsymbol{T}\left( D\right) }\exp \left( \left(
x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}\right) dxdydz \\
&=&\int \int \int_{D}\left. \exp \left( \left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}\right) \right\vert _{\left( x,y,z\right) =\left( \rho \sin
\left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) ,\rho \sin \left( \phi
\right) \sin \left( \theta \right) ,\rho \cos \left( \phi \right) \right)
}\cdot \rho ^{2}\sin \left( \phi \right) d\rho d\theta d\phi \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{\pi }\left( \int_{0}^{2\pi }\rho ^{2}\exp
\left( \rho ^{3}\right) \sin \left( \phi \right) d\theta \right) d\phi
\right) d\rho \quad \because \text{フビニの定理} \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{\pi }\left( \rho ^{2}\exp \left( \rho
^{3}\right) \sin \left( \phi \right) \int_{0}^{2\pi }1d\theta \right) d\phi
\right) d\rho \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{\pi }\left( \rho ^{2}\exp \left( \rho
^{3}\right) \sin \left( \phi \right) \left[ \theta \right] _{\theta
=0}^{2\pi }\right) d\phi \right) d\rho \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{\pi }\left( \rho ^{2}\exp \left( \rho
^{3}\right) \sin \left( \phi \right) 2\pi \right) d\phi \right) d\rho \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \rho ^{2}\exp \left( \rho ^{3}\right) 2\pi
\int_{0}^{\pi }\sin \left( \phi \right) d\phi \right) d\rho \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \rho ^{2}\exp \left( \rho ^{3}\right) 2\pi \left[
-\cos \left( \phi \right) \right] _{\phi =0}^{\pi }\right) d\rho \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \rho ^{2}\exp \left( \rho ^{3}\right) 2\pi \left(
1+1\right) \right) d\rho \\
&=&4\pi \int_{0}^{1}\rho ^{2}\exp \left( \rho ^{3}\right) d\rho \\
&=&4\pi \left[ \frac{1}{3}\exp \left( \rho ^{3}\right) \right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{4\pi }{3}\left( \exp \left( 1\right) -\exp \left( 0\right) \right)
\\
&=&\frac{4\pi }{3}\left( e-1\right)
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\int \int \int_{\boldsymbol{T}\left( D\right) }\left(
x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{2}dxdydz
\end{equation*}を計算してください。ただし、積分範囲は、\begin{equation*}
\boldsymbol{T}\left( D\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq \sqrt{1-x^{2}}\wedge 0\leq z\leq
\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\right\}
\end{equation*}です。
\int \int \int_{\boldsymbol{T}\left( D\right) }xyzdxdydz
\end{equation*}を計算してください。ただし、積分範囲は、\begin{equation*}
\boldsymbol{T}\left( D\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\wedge x\geq 0\wedge y\geq 0\wedge z\geq
0\right\}
\end{equation*}です。
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