多変数の単調関数の多重リーマン積分可能性

多変数の単調関数の多重リーマン積分可能性

これまではユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な直方体上に定義された有界な関数が多重リーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、関数が多重リーマン積分可能であること、ないし多重リーマン積分可能ではないことを判定する方法について解説してきました。では、多重リーマン積分可能であることが保証されるような関数は存在するのでしょうか。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な超直方体領域\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。以降ではこれを直方体と呼びます。直方体上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が直方体\(R\)上において単調増加関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\left( x_{1}^{\prime },\cdots
,x_{n}^{\prime }\right) \in R:\left[ \left( x_{1}\leq x_{1}^{\prime }\wedge
\cdots \wedge x_{n}\leq x_{n}^{\prime }\right) \Rightarrow f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \leq f\left( x_{1}^{\prime },\cdots
,x_{n}^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。このとき、\begin{equation*}
\forall \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in R:f\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \leq f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \leq f\left(
b_{1},\cdots ,b_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は\(R\)上で有界であり、したがって、\(f\)が\(R\)上で\(n\)重リーマン積分可能であるか検討できます。以上の条件を満たす関数\(f\)は\(R\)上で\(n\)重リーマン積分可能であることが保証されます。直方体上に定義された単調増加関数はリーマン積分可能であるということです。

単調減少関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な超直方体領域\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。以降ではこれを直方体と呼びます。直方体上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が直方体\(R\)上において単調減少関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\left( x_{1}^{\prime },\cdots
,x_{n}^{\prime }\right) \in R:\left[ \left( x_{1}\leq x_{1}^{\prime }\wedge
\cdots \vee x_{n}\leq x_{n}^{\prime }\right) \Rightarrow f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \geq f\left( x_{1}^{\prime },\cdots
,x_{n}^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。このとき、\begin{equation*}
\forall \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in R:f\left( a_{1},\cdots
,a_{n}\right) \geq f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \geq f\left(
b_{1},\cdots ,b_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は\(R\)上で有界であり、したがって、\(f\)が\(R\)上で\(n\)重リーマン積分可能であるか検討できます。以上の条件を満たす関数\(f\)は\(R\)上で\(n\)重リーマン積分可能であることが保証されます。直方体上に定義された単調減少関数はリーマン積分可能であるということです。証明は先の命題と同様です。

単調増加関数と単調減少関数を総称して単調関数と呼びます。先の2つの命題より、直方体上に定義された単調関数は多重リーマン積分可能であることが保証されます。