一般の領域上に定義された3変数関数の3重積分

基本集合上に定義された3変数関数の3重積分（パターン1-1）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(x\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( x\right) \leq g_{2}\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、\(xy\)平面の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b\wedge g_{1}\left( x\right) \leq y\leq g_{2}\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}x=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}x=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( x\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( x\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(xy\)平面上の領域です。

集合\(X\)上に定義された変数\(x,y\)に関する2つの連続な2変数関数\begin{eqnarray*}h_{1} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h_{2} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) \in X:h_{1}\left( x,y\right) \leq h_{2}\left(
x,y\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(Y\)が、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y\right) \in X\wedge h_{1}\left( x,y\right) \leq z\leq
h_{2}\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a\leq x\leq b\wedge g_{1}\left( x\right) \leq y\leq g_{2}\left(
x\right) \wedge h_{1}\left( x,y\right) \leq z\leq h_{2}\left( x,y\right)
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。つまり、\(Y\)は以下の6つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{平面}x=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{平面}x=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{曲面}y=g_{1}\left( x\right) \\
&&\left( 4\right) \ \text{曲面}y=g_{2}\left( x\right) \\
&&\left( 5\right) \ \text{関数}h_{1}\left( x,y\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 6\right) \ \text{関数}h_{2}\left( x,y\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{3}\)上の領域です。この集合\(Y\)は基本集合です。

集合\(Y\)上に定義された連続な3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(Y\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(Y\)上において3重積分可能です。そこで、\begin{equation*}Y\subset R
\end{equation*}を満たす直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in Y\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(Y\)上における3重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{Y}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( x\right) }^{g_{2}\left( x\right)
}\left( \int_{h_{1}\left( x,y\right) }^{h_{2}\left( x,y\right) }f\left(
x,y,z\right) dz\right) dy\right) dx
\end{eqnarray*}と定まります（演習問題）。

基本集合上に定義された3変数関数の3重積分（パターン1-2）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall y\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( y\right) \leq g_{2}\left(
y\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、\(xy\)平面の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ g_{1}\left( y\right) \leq x\leq g_{2}\left( y\right) \wedge a\leq
y\leq b\right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}y=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}y=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( y\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( y\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(xy\)平面上の領域です。

集合\(X\)上に定義された変数\(x,y\)に関する2つの連続な2変数関数\begin{eqnarray*}h_{1} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h_{2} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) \in X:h_{1}\left( x,y\right) \leq h_{2}\left(
x,y\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(Y\)が、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y\right) \in X\wedge h_{1}\left( x,y\right) \leq z\leq
h_{2}\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ g_{1}\left( y\right) \leq x\leq g_{2}\left( y\right) \wedge a\leq
y\leq b\wedge h_{1}\left( x,y\right) \leq z\leq h_{2}\left( x,y\right)
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。つまり、\(Y\)は以下の6つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{平面}y=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{平面}y=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{曲面}x=g_{1}\left( y\right) \\
&&\left( 4\right) \ \text{曲面}x=g_{2}\left( y\right) \\
&&\left( 5\right) \ \text{関数}h_{1}\left( x,y\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 6\right) \ \text{関数}h_{2}\left( x,y\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{3}\)上の領域です。この集合\(Y\)は基本集合です。

集合\(Y\)上に定義された連続な3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(Y\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(Y\)上において3重積分可能です。そこで、\begin{equation*}Y\subset R
\end{equation*}を満たす直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in Y\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(Y\)上における3重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{Y}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( y\right) }^{g_{2}\left( y\right)
}\left( \int_{h_{1}\left( x,y\right) }^{h_{2}\left( x,y\right) }f\left(
x,y,z\right) dz\right) dx\right) dy
\end{eqnarray*}と定まります（演習問題）。

基本集合上に定義された3変数関数の3重積分（パターン2-1）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall y\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( y\right) \leq g_{2}\left(
y\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、\(yz\)平面の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( y,z\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b\wedge g_{1}\left( y\right) \leq z\leq g_{2}\left(
y\right) \right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}y=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}y=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( y\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( y\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(yz\)平面上の領域です。

集合\(X\)上に定義された変数\(y,z\)に関する2つの連続な2変数関数\begin{eqnarray*}h_{1} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h_{2} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall \left( y,z\right) \in X:h_{1}\left( y,z\right) \leq h_{2}\left(
y,z\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(Y\)が、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( y,z\right) \leq x\leq h_{2}\left( y,z\right) \wedge
\left( y,z\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( y,z\right) \leq x\leq h_{2}\left( y,z\right) \wedge
a\leq y\leq b\wedge g_{1}\left( y\right) \leq z\leq g_{2}\left( y\right)
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。つまり、\(Y\)は以下の6つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{平面}y=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{平面}y=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{曲面}z=g_{1}\left( y\right) \\
&&\left( 4\right) \ \text{曲面}z=g_{2}\left( y\right) \\
&&\left( 5\right) \ \text{関数}h_{1}\left( y,z\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 6\right) \ \text{関数}h_{2}\left( y,z\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{3}\)上の領域です。この集合\(Y\)は基本集合です。

集合\(Y\)上に定義された連続な3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(Y\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(Y\)上において3重積分可能です。そこで、\begin{equation*}Y\subset R
\end{equation*}を満たす直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in Y\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(Y\)上における3重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{Y}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( y\right) }^{g_{2}\left( y\right)
}\left( \int_{h_{1}\left( y,z\right) }^{h_{2}\left( y,z\right) }f\left(
x,y,z\right) dx\right) dz\right) dy
\end{eqnarray*}と定まります。証明は先の命題と同様です。

基本集合上に定義された3変数関数の3重積分（パターン2-2）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(z\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall z\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( z\right) \leq g_{2}\left(
z\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、\(yz\)平面の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( y,z\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ g_{1}\left( z\right) \leq y\leq g_{2}\left( z\right) \wedge a\leq
z\leq b\right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}z=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}z=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( z\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( z\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(yz\)平面上の領域です。

集合\(X\)上に定義された変数\(y,z\)に関する2つの連続な2変数関数\begin{eqnarray*}h_{1} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h_{2} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall \left( y,z\right) \in X:h_{1}\left( y,z\right) \leq h_{2}\left(
y,z\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(Y\)が、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( y,z\right) \leq x\leq h_{2}\left( y,z\right) \wedge
\left( y,z\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( y,z\right) \leq x\leq h_{2}\left( y,z\right) \wedge
g_{1}\left( z\right) \leq y\leq g_{2}\left( z\right) \wedge a\leq z\leq
b\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。つまり、\(Y\)は以下の6つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{平面}z=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{平面}z=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{曲面}y=g_{1}\left( z\right) \\
&&\left( 4\right) \ \text{曲面}y=g_{2}\left( z\right) \\
&&\left( 5\right) \ \text{関数}h_{1}\left( y,z\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 6\right) \ \text{関数}h_{2}\left( y,z\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{3}\)上の領域です。この集合\(Y\)は基本集合です。

集合\(Y\)上に定義された連続な3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(Y\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(Y\)上において3重積分可能です。そこで、\begin{equation*}Y\subset R
\end{equation*}を満たす直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in Y\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(Y\)上における3重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{Y}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( z\right) }^{g_{2}\left( z\right)
}\left( \int_{h_{1}\left( y,z\right) }^{h_{2}\left( y,z\right) }f\left(
x,y,z\right) dx\right) dy\right) dz
\end{eqnarray*}と定まります。証明は先の命題と同様です。

基本集合上に定義された3変数関数の3重積分（パターン3-1）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(x\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( x\right) \leq g_{2}\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、\(xz\)平面の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,z\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b\wedge g_{1}\left( x\right) \leq z\leq g_{2}\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}x=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}x=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( x\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( x\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(xz\)平面上の領域です。

集合\(X\)上に定義された変数\(x,z\)に関する2つの連続な2変数関数\begin{eqnarray*}h_{1} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h_{2} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall \left( x,z\right) \in X:h_{1}\left( x,z\right) \leq h_{2}\left(
x,z\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(Y\)が、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( x,z\right) \leq y\leq h_{2}\left( x,z\right) \wedge
\left( x,z\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( x,z\right) \leq y\leq h_{2}\left( x,z\right) \wedge
a\leq x\leq b\wedge g_{1}\left( x\right) \leq z\leq g_{2}\left( x\right)
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。つまり、\(Y\)は以下の6つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{平面}x=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{平面}x=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{曲面}z=g_{1}\left( x\right) \\
&&\left( 4\right) \ \text{曲面}z=g_{2}\left( x\right) \\
&&\left( 5\right) \ \text{関数}h_{1}\left( x,z\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 6\right) \ \text{関数}h_{2}\left( x,z\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{3}\)上の領域です。この集合\(Y\)は基本集合です。

集合\(Y\)上に定義された連続な3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(Y\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(Y\)上において3重積分可能です。そこで、\begin{equation*}Y\subset R
\end{equation*}を満たす直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in Y\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(Y\)上における3重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{Y}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( x\right) }^{g_{2}\left( x\right)
}\left( \int_{h_{1}\left( x,z\right) }^{h_{2}\left( x,z\right) }f\left(
x,y,z\right) dy\right) dz\right) dx
\end{eqnarray*}と定まります。証明は先の命題と同様です。

基本集合上に定義された3変数関数の3重積分（パターン3-2）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(z\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall z\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( z\right) \leq g_{2}\left(
z\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、\(xz\)平面の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,z\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ g_{1}\left( z\right) \leq x\leq g_{2}\left( z\right) \wedge a\leq
z\leq b\right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}z=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}z=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( z\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( z\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(xz\)平面上の領域です。

集合\(X\)上に定義された変数\(x,z\)に関する2つの連続な2変数関数\begin{eqnarray*}h_{1} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h_{2} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall \left( x,z\right) \in X:h_{1}\left( x,z\right) \leq h_{2}\left(
x,z\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(Y\)が、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( x,z\right) \leq y\leq h_{2}\left( x,z\right) \wedge
\left( x,z\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( x,z\right) \leq y\leq h_{2}\left( x,z\right) \wedge
g_{1}\left( z\right) \leq x\leq g_{2}\left( z\right) \wedge a\leq z\leq
b\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。つまり、\(Y\)は以下の6つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{平面}z=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{平面}z=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{曲面}x=g_{1}\left( z\right) \\
&&\left( 4\right) \ \text{曲面}x=g_{2}\left( z\right) \\
&&\left( 5\right) \ \text{関数}h_{1}\left( x,z\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 6\right) \ \text{関数}h_{2}\left( x,z\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{3}\)上の領域です。この集合\(Y\)は基本集合です。

集合\(Y\)上に定義された連続な3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(Y\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(Y\)上において3重積分可能です。そこで、\begin{equation*}Y\subset R
\end{equation*}を満たす直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in Y\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(Y\)上における3重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{Y}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( z\right) }^{g_{2}\left( z\right)
}\left( \int_{h_{1}\left( x,z\right) }^{h_{2}\left( x,z\right) }f\left(
x,y,z\right) dy\right) dx\right) dz
\end{eqnarray*}と定まります。証明は先の命題と同様です。