一般の領域上に定義された3変数関数の3重積分

基本領域上に定義された3変数関数の3重積分

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する有界かつ閉な直方体領域\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}をとります。ただし、\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)かつ\(a_{3}<b_{3}\)です。以降ではこれを直方体と呼びます。直方体上に定義された有界な3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において3重リーマン積分可能であることとは、直方体\(R\)の分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の集合\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)の3重リーマン和\(S\left( f,P,P^{\ast }\right) \)がある有限な実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このとき、極限\(\alpha \)を関数\(f\)の\(R\)上での3重リーマン積分と呼び、そのことを、\begin{equation*}\int \int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy=\alpha
\end{equation*}で表記します。特に、関数\(f\)が直方体\(R\)上において連続である場合には\(f\)は\(R\)上において3重積分可能であることが保証されるとともに、フビニの定理より、以下の関係\begin{eqnarray*}\int \int \int_{R}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left( x,y,z\right)
dx\right) dy\right) dz \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left( x,y,z\right) dx\right) dz\right) dy \\
&=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f\left( x,y,z\right) dy\right) dx\right) dz \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f\left( x,y,z\right) dy\right) dz\right) dx \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f\left( x,y,z\right) dz\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f\left( x,y,z\right) dz\right) dy\right) dz
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、逐次積分を用いて3重積分を特定できます。では、直方体とは限らない集合上に定義された3変数関数の3重リーマン積分をどのように考えればよいでしょうか。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合である有界集合\(X\)上に定義された3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は定義域\(X\)上において連続であるものとします。\(f\)の定義域\(X \)は有界であるため、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす有界かつ閉な直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}が存在することが保証されます。その上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right)\in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in X\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash X\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\begin{equation*}
f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(X\)に属さない\(R\)上の点\(\left( x,y,z\right) \)に対しては\(0\)を定める形で\(f\)の定義域を\(X\)から\(R\)へ拡張することにより得られる関数が\(f^{\ast }\)です。

仮定より\(f\)は\(X\)上において連続であるため、\(f^{\ast }\)もまた\(X\)上において連続です。また、\(f^{\ast }\)は\(R\backslash X\)上において定数関数であるため\(f^{\ast }\)は\(R\backslash X\)上において連続です。したがって、\(f^{\ast }\)が不連続な点\(\left( x,y,z\right) \)が存在する場合、それはいずれも\(X\)の境界\(X^{f}\)上に存在することになります。つまり、\(f^{\ast }\)が不連続であるような点からなる集合を、\begin{equation*}D=\left\{ \left( x,y,z\right) \in R\ |\ f^{\ast }\text{は点}\left( x,y,z\right) \text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記する場合、以下の関係\begin{equation}
D\subset X^{f} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。

直方体\(R\)上に存在する有限\(n\)個の連続な曲面\(S_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)が、有界閉区間どうしの直積上に定義された連続なベクトル値関数\(g^{\left( i\right)}:\mathbb{R} \supset I_{i}\times J_{i}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{equation*}S_{i}=\left\{ g^{\left( i\right) }\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( s,t\right) \in I_{i}\times J_{i}\right\}
\end{equation*}とそれぞれ表現されているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} ,\ \forall \left( s,t\right) \in
I_{i}\times J_{i}:g^{\left( i\right) }\left( s,t\right) \in R
\end{equation*}です。以下の条件\begin{equation}
X^{f}\subset \bigcup_{i=1}^{n}S_{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、\(X\)を基本領域（elementary region）と呼びます。この場合には\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}D\subset \bigcup_{i=1}^{n}S_{i}
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、関数\(f^{\ast }\)が不連続であるような点はいずれも直方体\(R\)上に存在する有限個の連続な曲線上に分布するということです。したがって、この場合には、関数\(f^{\ast }\)は直方体\(R\)上において3重リーマン積分可能であり、\(f^{\ast }\)の\(R\)上における3重リーマン積分\begin{equation*}\int \int \int_{R}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dxdydz
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。そこで、これをもとの関数\(f\)の\(X\)上における3重リーマン積分として採用します。つまり、\begin{equation*}\int \int \int_{X}f\left( x,y,z\right) dxdydz=\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz
\end{equation*}と定めるということです。特に、\(f^{\ast }\)がフビニが要求する条件を満たす場合には、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{R}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dxdydz
&=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dx\right) dy\right) dz \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dx\right) dz\right) dy \\
&=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dy\right) dx\right) dz \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dy\right) dz\right) dx \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dz\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dz\right) dy\right) dz
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\int \int \int_{X}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y,z\right)
dx\right) dy\right) dz \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dx\right) dz\right) dy \\
&=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dy\right) dx\right) dz \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dy\right) dz\right) dx \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dz\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dz\right) dy\right) dz
\end{eqnarray*}を得ます。

改めて整理すると、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する有界集合上に定義された3変数関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であるとともに、その定義域\(X\)が基本領域である場合には、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{3}\)上の有界かつ閉な長方形\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in X\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。その上で、\(f\)の\(X\)上における3重リーマン積分を、\begin{equation*}\int \int \int_{X}f\left( x,y,z\right) dxdydz=\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz
\end{equation*}と定義します。特に、\(f^{\ast }\)がフビニが要求する条件を満たす場合には、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{X}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y,z\right)
dx\right) dy\right) dz \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dx\right) dz\right) dy \\
&=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dy\right) dx\right) dz \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dy\right) dz\right) dx \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dz\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dz\right) dy\right) dz
\end{eqnarray*}が成り立ちます。先の議論より、これは有限な実数として定まることが保証されます。

基本集合上に定義された3変数関数の3重積分（パターン1-1）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(x\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( x\right) \leq g_{2}\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、\(xy\)平面の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b\wedge g_{1}\left( x\right) \leq y\leq g_{2}\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}x=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}x=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( x\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( x\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(xy\)平面上の領域です。

集合\(X\)上に定義された変数\(x,y\)に関する2つの連続な2変数関数\begin{eqnarray*}h_{1} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h_{2} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) \in X:h_{1}\left( x,y\right) \leq h_{2}\left(
x,y\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(Y\)が、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y\right) \in X\wedge h_{1}\left( x,y\right) \leq z\leq
h_{2}\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a\leq x\leq b\wedge g_{1}\left( x\right) \leq y\leq g_{2}\left(
x\right) \wedge h_{1}\left( x,y\right) \leq z\leq h_{2}\left( x,y\right)
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。つまり、\(Y\)は以下の6つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{平面}x=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{平面}x=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{曲面}y=g_{1}\left( x\right) \\
&&\left( 4\right) \ \text{曲面}y=g_{2}\left( x\right) \\
&&\left( 5\right) \ \text{関数}h_{1}\left( x,y\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 6\right) \ \text{関数}h_{2}\left( x,y\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{3}\)上の領域です。この集合\(Y\)は基本集合です。

集合\(Y\)上に定義された連続な3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(Y\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(Y\)上において3重積分可能です。そこで、\begin{equation*}Y\subset R
\end{equation*}を満たす直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in Y\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(Y\)上における3重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{Y}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( x\right) }^{g_{2}\left( x\right)
}\left( \int_{h_{1}\left( x,y\right) }^{h_{2}\left( x,y\right) }f\left(
x,y,z\right) dz\right) dy\right) dx
\end{eqnarray*}と定まります（演習問題）。

基本集合上に定義された3変数関数の3重積分（パターン1-2）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall y\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( y\right) \leq g_{2}\left(
y\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、\(xy\)平面の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ g_{1}\left( y\right) \leq x\leq g_{2}\left( y\right) \wedge a\leq
y\leq b\right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}y=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}y=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( y\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( y\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(xy\)平面上の領域です。

集合\(X\)上に定義された変数\(x,y\)に関する2つの連続な2変数関数\begin{eqnarray*}h_{1} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h_{2} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) \in X:h_{1}\left( x,y\right) \leq h_{2}\left(
x,y\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(Y\)が、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y\right) \in X\wedge h_{1}\left( x,y\right) \leq z\leq
h_{2}\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ g_{1}\left( y\right) \leq x\leq g_{2}\left( y\right) \wedge a\leq
y\leq b\wedge h_{1}\left( x,y\right) \leq z\leq h_{2}\left( x,y\right)
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。つまり、\(Y\)は以下の6つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{平面}y=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{平面}y=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{曲面}x=g_{1}\left( y\right) \\
&&\left( 4\right) \ \text{曲面}x=g_{2}\left( y\right) \\
&&\left( 5\right) \ \text{関数}h_{1}\left( x,y\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 6\right) \ \text{関数}h_{2}\left( x,y\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{3}\)上の領域です。この集合\(Y\)は基本集合です。

集合\(Y\)上に定義された連続な3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(Y\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(Y\)上において3重積分可能です。そこで、\begin{equation*}Y\subset R
\end{equation*}を満たす直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in Y\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(Y\)上における3重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{Y}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( y\right) }^{g_{2}\left( y\right)
}\left( \int_{h_{1}\left( x,y\right) }^{h_{2}\left( x,y\right) }f\left(
x,y,z\right) dz\right) dx\right) dy
\end{eqnarray*}と定まります（演習問題）。

基本集合上に定義された3変数関数の3重積分（パターン2-1）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall y\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( y\right) \leq g_{2}\left(
y\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、\(yz\)平面の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( y,z\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b\wedge g_{1}\left( y\right) \leq z\leq g_{2}\left(
y\right) \right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}y=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}y=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( y\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( y\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(yz\)平面上の領域です。

集合\(X\)上に定義された変数\(y,z\)に関する2つの連続な2変数関数\begin{eqnarray*}h_{1} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h_{2} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall \left( y,z\right) \in X:h_{1}\left( y,z\right) \leq h_{2}\left(
y,z\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(Y\)が、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( y,z\right) \leq x\leq h_{2}\left( y,z\right) \wedge
\left( y,z\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( y,z\right) \leq x\leq h_{2}\left( y,z\right) \wedge
a\leq y\leq b\wedge g_{1}\left( y\right) \leq z\leq g_{2}\left( y\right)
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。つまり、\(Y\)は以下の6つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{平面}y=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{平面}y=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{曲面}z=g_{1}\left( y\right) \\
&&\left( 4\right) \ \text{曲面}z=g_{2}\left( y\right) \\
&&\left( 5\right) \ \text{関数}h_{1}\left( y,z\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 6\right) \ \text{関数}h_{2}\left( y,z\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{3}\)上の領域です。この集合\(Y\)は基本集合です。

集合\(Y\)上に定義された連続な3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(Y\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(Y\)上において3重積分可能です。そこで、\begin{equation*}Y\subset R
\end{equation*}を満たす直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in Y\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(Y\)上における3重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{Y}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( y\right) }^{g_{2}\left( y\right)
}\left( \int_{h_{1}\left( y,z\right) }^{h_{2}\left( y,z\right) }f\left(
x,y,z\right) dx\right) dz\right) dy
\end{eqnarray*}と定まります。証明は先の命題と同様です。

基本集合上に定義された3変数関数の3重積分（パターン2-2）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(z\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall z\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( z\right) \leq g_{2}\left(
z\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、\(yz\)平面の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( y,z\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ g_{1}\left( z\right) \leq y\leq g_{2}\left( z\right) \wedge a\leq
z\leq b\right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}z=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}z=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( z\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( z\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(yz\)平面上の領域です。

集合\(X\)上に定義された変数\(y,z\)に関する2つの連続な2変数関数\begin{eqnarray*}h_{1} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h_{2} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall \left( y,z\right) \in X:h_{1}\left( y,z\right) \leq h_{2}\left(
y,z\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(Y\)が、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( y,z\right) \leq x\leq h_{2}\left( y,z\right) \wedge
\left( y,z\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( y,z\right) \leq x\leq h_{2}\left( y,z\right) \wedge
g_{1}\left( z\right) \leq y\leq g_{2}\left( z\right) \wedge a\leq z\leq
b\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。つまり、\(Y\)は以下の6つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{平面}z=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{平面}z=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{曲面}y=g_{1}\left( z\right) \\
&&\left( 4\right) \ \text{曲面}y=g_{2}\left( z\right) \\
&&\left( 5\right) \ \text{関数}h_{1}\left( y,z\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 6\right) \ \text{関数}h_{2}\left( y,z\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{3}\)上の領域です。この集合\(Y\)は基本集合です。

集合\(Y\)上に定義された連続な3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(Y\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(Y\)上において3重積分可能です。そこで、\begin{equation*}Y\subset R
\end{equation*}を満たす直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in Y\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(Y\)上における3重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{Y}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( z\right) }^{g_{2}\left( z\right)
}\left( \int_{h_{1}\left( y,z\right) }^{h_{2}\left( y,z\right) }f\left(
x,y,z\right) dx\right) dy\right) dz
\end{eqnarray*}と定まります。証明は先の命題と同様です。

基本集合上に定義された3変数関数の3重積分（パターン3-1）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(x\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( x\right) \leq g_{2}\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、\(xz\)平面の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,z\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b\wedge g_{1}\left( x\right) \leq z\leq g_{2}\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}x=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}x=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( x\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( x\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(xz\)平面上の領域です。

集合\(X\)上に定義された変数\(x,z\)に関する2つの連続な2変数関数\begin{eqnarray*}h_{1} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h_{2} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall \left( x,z\right) \in X:h_{1}\left( x,z\right) \leq h_{2}\left(
x,z\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(Y\)が、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( x,z\right) \leq y\leq h_{2}\left( x,z\right) \wedge
\left( x,z\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( x,z\right) \leq y\leq h_{2}\left( x,z\right) \wedge
a\leq x\leq b\wedge g_{1}\left( x\right) \leq z\leq g_{2}\left( x\right)
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。つまり、\(Y\)は以下の6つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{平面}x=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{平面}x=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{曲面}z=g_{1}\left( x\right) \\
&&\left( 4\right) \ \text{曲面}z=g_{2}\left( x\right) \\
&&\left( 5\right) \ \text{関数}h_{1}\left( x,z\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 6\right) \ \text{関数}h_{2}\left( x,z\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{3}\)上の領域です。この集合\(Y\)は基本集合です。

集合\(Y\)上に定義された連続な3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(Y\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(Y\)上において3重積分可能です。そこで、\begin{equation*}Y\subset R
\end{equation*}を満たす直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in Y\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(Y\)上における3重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{Y}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( x\right) }^{g_{2}\left( x\right)
}\left( \int_{h_{1}\left( x,z\right) }^{h_{2}\left( x,z\right) }f\left(
x,y,z\right) dy\right) dz\right) dx
\end{eqnarray*}と定まります。証明は先の命題と同様です。

基本集合上に定義された3変数関数の3重積分（パターン3-2）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(z\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall z\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( z\right) \leq g_{2}\left(
z\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、\(xz\)平面の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,z\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ g_{1}\left( z\right) \leq x\leq g_{2}\left( z\right) \wedge a\leq
z\leq b\right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}z=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}z=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( z\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( z\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(xz\)平面上の領域です。

集合\(X\)上に定義された変数\(x,z\)に関する2つの連続な2変数関数\begin{eqnarray*}h_{1} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h_{2} &:&\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall \left( x,z\right) \in X:h_{1}\left( x,z\right) \leq h_{2}\left(
x,z\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(Y\)が、\begin{eqnarray*}Y &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( x,z\right) \leq y\leq h_{2}\left( x,z\right) \wedge
\left( x,z\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ h_{1}\left( x,z\right) \leq y\leq h_{2}\left( x,z\right) \wedge
g_{1}\left( z\right) \leq x\leq g_{2}\left( z\right) \wedge a\leq z\leq
b\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。つまり、\(Y\)は以下の6つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{平面}z=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{平面}z=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{曲面}x=g_{1}\left( z\right) \\
&&\left( 4\right) \ \text{曲面}x=g_{2}\left( z\right) \\
&&\left( 5\right) \ \text{関数}h_{1}\left( x,z\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 6\right) \ \text{関数}h_{2}\left( x,z\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{3}\)上の領域です。この集合\(Y\)は基本集合です。

集合\(Y\)上に定義された連続な3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(Y\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(Y\)上において3重積分可能です。そこで、\begin{equation*}Y\subset R
\end{equation*}を満たす直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in Y\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(Y\)上における3重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{Y}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( z\right) }^{g_{2}\left( z\right)
}\left( \int_{h_{1}\left( x,z\right) }^{h_{2}\left( x,z\right) }f\left(
x,y,z\right) dy\right) dx\right) dz
\end{eqnarray*}と定まります。証明は先の命題と同様です。