多変数関数の定数倍の上リーマン積分と下リーマン積分
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な超直方体領域\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right]
\end{equation*}をとります。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。以降ではこれを直方体と呼びます。直方体上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれのベクトル\(\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in R\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =cf\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right)
\end{equation*}を値として定める新たな多変数関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。以降では必要に応じて、\begin{equation*}
x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}と表記します。
関数\(f\)は\(R\)上で有界であるものとします。このとき、関数\(cf\)もまた\(R\)上で有界です（演習問題）。有界かつ閉な直方体上に定義された有界関数は上リーマン積分可能かつ下リーマン積分可能ですが、両者の上リーマン積分と下リーマン積分の間には以下の関係が成り立ちます。
cf\right) \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=c\overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n} \\
&&\left( b\right) \ \underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}\left(
cf\right) \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=c\underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{eqnarray*}がともに成り立ち、\(c<0\)である場合には、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}\left(
cf\right) \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=c\underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n} \\
&&\left( d\right) \ \underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}\left(
cf\right) \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=c\overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}\left( cf\right) \left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。したがって、\(c=-1\)の場合には、\(\left( c\right) ,\left( d\right) \)より、\begin{eqnarray*}&&\left( e\right) \ \overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}\left(
-f\right) \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=-\underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n} \\
&&\left( f\right) \ \underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}\left(
-f\right) \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=-\overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}\left( cf\right) \left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
多変数関数の定数倍の定積分
有界かつ閉な直方体上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれのベクトル\(\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in R\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =cf\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right)
\end{equation*}を値として定める新たな多変数関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f\)は\(R\)上で有界かつ多重リーマン積分可能であるならば、関数\(cf\)もまた\(R\)上で有界かつ多重リーマン積分可能であるとともに、両者の定積分は一致することが保証されます。証明では上積分と下積分に関する先の命題を利用します。
dx_{1}\cdots dx_{n}=c\int \cdots \int_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
つまり、多重リーマン積分可能な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた多重リーマン積分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の定積分を\(c\)倍すれば\(cf\)の定積分が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の多重リーマン積分可能性を検討する際には、多重リーマン積分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が多重リーマン積分可能であることを確認すればよいということになります。
\end{equation*}で表されるものとします。ただし、\begin{equation*}
R=\left[ a,b\right] \times \left[ c,d\right] \end{equation*}です。\(f\)は定数関数\(c\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されていますが、定数関数\(c\)は\(R\)上で2重リーマン積分可能であるため、先の命題より\(f\)もまた\(R\)上で2重リーマン積分可能です。また、定数関数\(c\)の\(R\)上での定積分は、\begin{equation}\int \int_{R}cdxdy=c\left( b-a\right) \left( d-c\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}です。以上を踏まえると、関数\(f\)の\(R\)上での定積分は、\begin{eqnarray*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int \int_{R}-cdxdy\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\int \int_{R}cdxdy\quad \because \text{関数の定数倍の定積分} \\
&=&-c\left( b-a\right) \left( d-c\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
R=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}です。以下の関係\begin{equation*}
-x-y=-\left( x+y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(f\)は関数\(x+y\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されていますが、関数\(x+y\)は\(R\)上で2重リーマン積分可能であるため、先の命題より\(f\)もまた\(R\)上で2重リーマン積分可能です。また、関数\(x+y\)の\(R\)上での定積分は、\begin{equation}\int \int_{R}\left( x+y\right) dxdy=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}です。以上を踏まえると、関数\(f\)の\(R\)上での定積分は、\begin{eqnarray*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int \int_{R}\left( -x-y\right)
dxdy\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \int_{R}-\left( x+y\right) dxdy \\
&=&-\int \int_{R}\left( x+y\right) dxdy\quad \because \text{関数の定数倍の定積分} \\
&=&-1\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
R=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}です。定積分\begin{equation*}
\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left[ -2,2\right] \times \left[ -2,2\right] \end{equation*}です。\(f\)は\(X\)上で2重積分可能でしょうか。議論してください。
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