区間の分割とその大きさ
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。それに対して、以下の条件\begin{equation*}
a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる集合\begin{equation*}P=\left\{ x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} =\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}
\end{equation*}を区間\(\left[ a,b\right] \)の分割（partition）と呼びます。なお、分割\(P\)の要素である分点の個数や、分点間の距離は自由に選ぶことができるものとします。分点どうしは等間隔である必要もありません。
区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)が与えられれば、区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である有限\(n\)個の小区間\begin{eqnarray*}J_{1} &=&\left[ x_{0},x_{1}\right] \\
J_{2} &=&\left[ x_{1},x_{2}\right] \\
&&\vdots \\
J_{n} &=&\left[ x_{n-1},x_{n}\right]
\end{eqnarray*}が得られます。すべての小区間\(J_{1},J_{2},\cdots ,J_{n}\)の和集合をとればもとの区間\(\left[ a,b\right] \)が得られます。また、2つの小区間どうしは境界においてのみ交わり得るため、2つの小区間を任意に選んだとき、それらの内部どうしは互いに素です。
分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を通じて区間\(\left[ a,b\right] \)を有限個\(n\)の小区間\(\left\{ J_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)へと分割した場合、それぞれの小区間\(J_{k}=\left[x_{k-1},x_{k}\right] \)の長さは、\begin{equation*}\left\vert J_{k}\right\vert =x_{k}-x_{k-1}
\end{equation*}と定まります。すべての小区間\(J_{1},\cdots ,J_{n}\)の長さ\(\left\vert J_{1}\right\vert ,\cdots ,\left\vert J_{n}\right\vert \)どうしを比べた上で、その中の最大値を分割\(P\)の大きさ（norm）と定義し、それを、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \left\vert J_{k}\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\} \\
&=&\max \left\{ x_{k}-x_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。
\end{equation*}に注目した場合、2つの小区間\begin{eqnarray*}
J_{1} &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \\
J_{2} &=&\left[ \frac{1}{2},1\right] \end{eqnarray*}が得られます。この分割\(P\)の大きさは、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \left\vert J_{1}\right\vert
,\left\vert J_{2}\right\vert \right\} \quad \because \text{分割の大きさの定義} \\
&=&\max \left\{ \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}です。別の分割\begin{equation*}
P=\left\{ 0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},1\right\}
\end{equation*}に注目した場合、3つの小区間\begin{eqnarray*}
J_{1} &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \\
J_{2} &=&\left[ \frac{1}{2},\frac{3}{4}\right] \\
J_{3} &=&\left[ \frac{3}{4},1\right] \end{eqnarray*}が得られます。この分割\(P\)の大きさは、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \left\vert J_{1}\right\vert
,\left\vert J_{2}\right\vert ,\left\vert J_{3}\right\vert \right\} \quad
\because \text{分割の大きさの定義} \\
&=&\max \left\{ \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right\} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}です。これらの例が示唆するように、同一の区間を対象としていても、その分割のとり方は様々です。
\end{equation*}です。実際、この分割\(P\)のもとでは\(n\)個の小区間\begin{eqnarray*}J_{1} &=&\left[ 0,\frac{1}{n}\right] \\
J_{2} &=&\left[ \frac{1}{n},\frac{2}{n}\right] \\
&&\vdots \\
J_{n} &=&\left[ \frac{n-1}{n},1\right] \end{eqnarray*}が得られるとともに、これらの小区間の長さはいずれも\(\frac{1}{n}\)であり、したがって、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\frac{1}{n}
\end{equation*}となります。
直方体の分割とその大きさ
それぞれの\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする\(n\)個の有界な閉区間\begin{gather*}\left[ a_{1},b_{1}\right] =\left\{ x_{1}\in \mathbb{R} \ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\right\} \\
\vdots \\
\left[ a_{n},b_{n}\right] =\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n}\right\}
\end{gather*}を定義します。これらの直積\begin{equation*}
\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right]
\end{equation*}はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な超直方体領域です。以降では、必要に応じてこれを、\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right]
\end{equation*}と表記します。また、\(R\)をシンプルに直方体と呼ぶこととします。
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}となりますが、これは空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する直方体領域です。
直方体\(R\)を形作る\(n\)個の区間\(\left[ a_{1},b_{1}\right] ,\cdots ,\left[a_{n},b_{n}\right] \)の分割\begin{eqnarray*}P_{1} &=&\left\{ x_{0}^{\left( 1\right) },x_{1}^{\left( 1\right) },\cdots
,x_{m_{1}}^{\left( 1\right) }\right\} =\left\{ x_{k_{1}}^{\left( 1\right)
}\right\} _{k_{1}=0}^{m_{1}} \\
&&\vdots \\
P_{n} &=&\left\{ x_{0}^{\left( n\right) },x_{1}^{\left( n\right) },\cdots
,x_{m_{n}}^{\left( n\right) }\right\} =\left\{ x_{k_{n}}^{\left( n\right)
}\right\} _{k_{n}=0}^{m_{n}}
\end{eqnarray*}がそれぞれ与えられれば、それらの直積\begin{eqnarray*}
P &=&P_{1}\times \cdots \times P_{n} \\
&=&\left\{ \left( x_{k_{1}}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{k_{n}}^{\left(
n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k_{1}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{1}\right\} \wedge \cdots \wedge
k_{n}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{n}\right\} \right\}
\end{eqnarray*}をとることができます。これを直方体\(R\)の分割（partition）と呼びます。
直方体\(R\)の分割\(P\)が与えられれば、直方体\(R\)の部分集合である有限\(m_{1}\times \cdots \times m_{n}\)個の小直方体\begin{equation*}R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}=\left[ x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right)
},x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }\right] \times \cdots \times \left[
x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) },x_{k_{n}}^{\left( n\right) }\right] \quad
\left( k_{1}=1,\cdots ,m_{1};\ \cdots \ ;\ k_{n}=1,\cdots ,m_{n}\right)
\end{equation*}が得られます。すべての小直方体の和集合をとればもとの直方体\(R\)が得られます。また、2つの小直方体どうしは境界においてのみ交わり得るため、2つの小直方体を任意に選んだとき、それらの内部どうしは互いに素です。
直方体\(R\)の分割\(P\)を生成するもととなった\(n\)個の区間\(P_{1},\cdots ,P_{n}\)の大きさ\(\left\vert P_{1}\right\vert ,\cdots ,\left\vert P_{n}\right\vert \)どうしを比べた上で、その中での最大値を直方体\(R\)の分割\(P\)の大きさ（norm）と定義し、それを、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ \left\vert P_{1}\right\vert ,\cdots
,\left\vert P_{n}\right\vert \right\}
\end{equation*}で表記するものと定めます。これは、分割\(P\)に要素であるすべての小直方体のすべての辺の中でも最長の辺の長さに他なりません。
P &=&P_{1}\times P_{2} \\
&=&\left\{ 0,\frac{1}{2},1\right\} \times \left\{ 1,\frac{4}{3},2\right\} \\
&=&\left\{ \left( 0,1\right) ,\left( 0,\frac{4}{3}\right) ,\cdots ,\left(
1,2\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目した場合、\(2\times 2=4\)個の小長方形領域\begin{eqnarray*}R_{1} &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \times \left[ 1,\frac{4}{3}\right] \\
R_{2} &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \times \left[ \frac{4}{3},2\right] \\
R_{3} &=&\left[ \frac{1}{2},1\right] \times \left[ 1,\frac{4}{3}\right] \\
R_{4} &=&\left[ \frac{1}{2},1\right] \times \left[ \frac{4}{3},2\right] \end{eqnarray*}が得られます。また、それぞれの区間の分割の大きさは、\begin{eqnarray*}
\left\vert P_{1}\right\vert &=&\max \left\{ \frac{1}{2}-0,1-\frac{1}{2}\right\} =\frac{1}{2} \\
\left\vert P_{2}\right\vert &=&\max \left\{ \frac{4}{3}-1,2-\frac{4}{3}\right\} =\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}であるため、この分割\(P\)の大きさは、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \left\vert P_{1}\right\vert
,\left\vert P_{2}\right\vert \right\} \\
&=&\max \left\{ \frac{1}{2},\frac{2}{3}\right\} \\
&=&\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}です。
P &=&P_{1}\times P_{2}\times P_{3} \\
&=&\left\{ 0,\frac{1}{2},1\right\} \times \left\{ 1,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\right\} \times \left\{ 0,\frac{1}{5},1\right\} \\
&=&\left\{ \left( 0,1,0\right) ,\left( 0,1,\frac{1}{5}\right) ,\cdots
,\left( 1,1,1\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目した場合、\(2\times3\times 2=12\)個の小立方体領域\begin{eqnarray*}R_{1} &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \times \left[ 1,\frac{1}{3}\right] \times \left[ 0,\frac{1}{5}\right] \\
R_{2} &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \times \left[ 1,\frac{1}{3}\right] \times \left[ \frac{1}{5},1\right] \\
&&\vdots \\
R_{12} &=&\left[ \frac{1}{2},1\right] \times \left[ \frac{2}{3},1\right] \times \left[ \frac{1}{5},1\right] \end{eqnarray*}が得られます。また、それぞれの区間の分割の大きさは、\begin{eqnarray*}
\left\vert P_{1}\right\vert &=&\max \left\{ \frac{1}{2}-0,1-\frac{1}{2}\right\} =\frac{1}{2} \\
\left\vert P_{2}\right\vert &=&\max \left\{ \frac{1}{3}-0,\frac{2}{3}-\frac{1}{3},1-\frac{2}{3}\right\} =\frac{1}{3} \\
\left\vert P_{3}\right\vert &=&\max \left\{ \frac{1}{5}-0,1-\frac{1}{5}\right\} =\frac{4}{5}
\end{eqnarray*}であるため、この分割\(P\)の大きさは、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \left\vert P_{1}\right\vert
,\left\vert P_{2}\right\vert ,\left\vert P_{3}\right\vert \right\} \\
&=&\max \left\{ \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{4}{5}\right\} \\
&=&\frac{4}{5}
\end{eqnarray*}です。
&=&\left\{ 0,\frac{1}{N},\cdots ,\frac{N-1}{N},1\right\} \times \cdots
\times \left\{ 0,\frac{1}{N},\cdots ,\frac{N-1}{N},1\right\} \\
&=&\left\{ \left( 0,\cdots ,0\right) ,\cdots ,\left( 1,\cdots ,1\right)
\right\}
\end{eqnarray*}です。この分割\(P\)のもとでは\(N\times \cdots \times N=N^{n}\)個の小直方体\begin{eqnarray*}R_{1} &=&\left[ 0,\frac{1}{N}\right] \times \cdots \times \left[ 0,\frac{1}{N}\right] \\
R_{2} &=&\left[ 0,\frac{1}{N}\right] \times \cdots \times \left[ \frac{1}{N},1\right] \\
&&\vdots \\
R_{N^{n}} &=&\left[ \frac{1}{N},1\right] \times \cdots \times \left[ \frac{1}{N},1\right] \end{eqnarray*}が得られます。また、それぞれの区間の分割の大きさは、\begin{equation*}
\left\vert P_{1}\right\vert =\cdots =\left\vert P_{n}\right\vert =\frac{1}{N}
\end{equation*}であるため、この分割\(P\)の大きさは、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \left\vert P_{1}\right\vert ,\cdots
,\left\vert P_{n}\right\vert \right\} \\
&=&\max \left\{ \frac{1}{N},\cdots ,\frac{1}{N}\right\} \\
&=&\frac{1}{N}
\end{eqnarray*}です。
多変数関数の多重リーマン和
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直方体\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right]
\end{equation*}上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in R\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めるということです。加えて、\(f\)は\(R\)上において有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( R\right) &=&\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in R\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge \cdots \wedge a_{n}\leq x_{n}\leq
b_{n}\right\}
\end{eqnarray*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in R:L\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U\)は\(f\)の値域の上界であり、\(L\)は下界です。
直方体\(R\)の分割\(P\)を選ぶと有限\(m_{1}\times \cdots \times m_{n}\)個の小直方体\begin{equation*}R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}=\left[ x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right)
},x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }\right] \times \cdots \times \left[
x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) },x_{k_{n}}^{\left( n\right) }\right] \quad
\left( k_{1}=1,\cdots ,m_{1};\ \cdots \ ;\ k_{n}=1,\cdots ,m_{n}\right)
\end{equation*}が得られますが、それぞれの小直方体\(R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\)から点\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{k_{1},\cdots ,k_{n}}^{\ast }=\left( x_{k_{1}}^{\ast },\cdots
,x_{k_{n}}^{\ast }\right) \in R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}
\end{equation*}を1つずつ任意に選びます。この点\(\boldsymbol{x}_{k_{1},\cdots ,k_{n}}^{\ast }\)を小直方体\(R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\)の代表点（representative point）と呼びます。また、分割\(P\)の要素であるすべての小長方形から代表点を1つずつ選ぶことにより得られる代表点からなる集合を、\begin{equation*}P^{\ast }=\left\{ \boldsymbol{x}_{k_{1},\cdots ,k_{n}}^{\ast }\in
R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\ |\ k_{1}\in \left\{ 1,\cdots ,m_{1}\right\} \wedge
\cdots \wedge k_{n}\in \left\{ 1,\cdots ,m_{n}\right\} \right\}
\end{equation*}で表記します。\(P^{\ast }\)がどのような集合になるかは代表点の選び方に依存します。
直方体\(R\)に対して分割\(P\)を指定した場合、\(R\)を構成するそれぞれの小直方体\begin{equation}R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}=\left[ x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right)
},x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }\right] \times \cdots \times \left[
x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) },x_{k_{n}}^{\left( n\right) }\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}の超体積を、\begin{equation}
\mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) =\left( x_{k_{1}}^{\left(
1\right) }-x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) }\right) \times \cdots \times \left(
x_{k_{n}}^{\left( n\right) }-x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) }\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}で表記します。この小直方体の代表点\(\boldsymbol{x}_{k_{1},\cdots ,k_{n}}^{\ast }\in R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\)に対して関数\(f\)が定める値は、\begin{equation}f\left( \boldsymbol{x}_{k_{1},\cdots ,k_{n}}^{\ast }\right) =f\left(
x_{k_{1}}^{\ast },\cdots ,x_{k_{n}}^{\ast }\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}です。そこで、両者の積\begin{equation}
\mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \cdot f\left( \boldsymbol{x}_{k_{1},\cdots ,k_{n}}^{\ast }\right) =\left( x_{k_{1}}^{\left( 1\right)
}-x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) }\right) \times \cdots \times \left(
x_{k_{n}}^{\left( n\right) }-x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) }\right) \cdot
f\left( x_{k_{1}}^{\ast },\cdots ,x_{k_{n}}^{\ast }\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}をとります。\(n=2\)の場合、小直方体\(\left( 1\right) \)は長方形領域であるため、\(\left( 4\right) \)は小長方形\(\left(1\right) \)を底面積とし\(\left( 3\right) \)を高さとする直方体の体積に相当します。そこで、便宜的に、以降では\(\left( 4\right) \)を符号付き体積（signed volume）と呼ぶこととします。小直方体\(\left( 1\right) \)は有界であるためその超体積\(\left( 2\right) \)は有限な実数として定まります。また、仮定より\(f\)は有界であるため\(f\)が小直方体の代表点に対して定める値\(\left( 3\right) \)もまた有限な実数として定まります。以上より、符号付き体積\(\left( 4\right) \)は有限な実数どうしの積であるため、これもまた有限な実数として定まります。小直方体から選ぶ代表点に応じて\(\left( 3\right) \)は変化するため、符号付き体積もまた代表点の選び方に依存します。
直方体上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、直方体\(R\)の分割\(P\)および代表点の集合\(P^{\ast }\)をそれぞれ指定すれば、それぞれの小直方体に関する符号付き体積が明らかになるため、それらの総和をとることができます。そこでそれを、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots
\sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right)
\cdot f\left( \boldsymbol{x}_{k_{1},\cdots ,k_{n}}^{\ast }\right) \right] \\
&=&\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots \sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}\left[ \left(
x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }-x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) }\right) \times
\cdots \times \left( x_{k_{n}}^{\left( n\right) }-x_{k_{n}-1}^{\left(
n\right) }\right) \cdot f\left( x_{k_{1}}^{\ast },\cdots ,x_{k_{n}}^{\ast
}\right) \right]
\end{eqnarray*}で表記し、これを関数\(f\)の分割\(P\)と代表点の集合\(P^{\ast }\)に関する\(n\)次元のリーマン和（\(n\)-dimensional Rieman sum）や多重リーマン和（multiple Riemann sum）などと呼びます。個々の符号付き体積は有限な実数であるため、多重リーマン和は有限個の有限な実数の和であり、したがって有限な実数として定まります。関数が与えられたとき、分割や代表点の選び方に応じて小直方体や符号付き体積は変化するため、多重リーマン和の値もまた分割や代表点の選び方に依存します。
f:\mathbb{R} ^{2}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において有界であるものとします。\(R\)の分割が、\begin{eqnarray*}P &=&P_{1}\times P_{2} \\
&=&\left\{ \left( x_{i},y_{j}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ i\in \left\{ 0,\cdots ,I\right\} \wedge j\in \left\{ 0,\cdots
,J\right\} \right\}
\end{eqnarray*}であり、代表点からなる集合\(P^{\ast }\)が、\begin{equation*}P^{\ast }=\left\{ \left( x_{i}^{\ast },y_{j}^{\ast }\right) \in R_{i,j}\ |\
i\in \left\{ 1,\cdots ,I\right\} \wedge j\in \left\{ 1,\cdots ,J\right\}
\right\}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
R_{i,j}=\left[ x_{i},x_{i-1}\right] \times \left[ y_{j},y_{j-1}\right] \end{equation*}です。この場合、関数\(f\)の2重リーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i,j}\right) \cdot f\left( x_{i}^{\ast },y_{j}^{\ast }\right) \right] \quad \because \text{2重リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\left[ \left( x_{i}-x_{i-1}\right) \left(
y_{j}-y_{j-1}\right) \cdot f\left( x_{i}^{\ast },y_{j}^{\ast }\right) \right] \quad \because \text{長方形の面積の定義} \\
&=&\left( x_{1}-x_{0}\right) \left( y_{1}-y_{0}\right) \cdot f\left(
x_{1}^{\ast },y_{1}^{\ast }\right) +\cdots +\left( x_{I}-x_{I-1}\right)
\left( y_{J}-y_{J-1}\right) \cdot f\left( x_{I}^{\ast },y_{J}^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}となります。
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}上に定義された3変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{3}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において有界であるものとします。\(R\)の分割が、\begin{eqnarray*}P &=&P_{1}\times P_{2}\times P_{3} \\
&=&\left\{ \left( x_{i},y_{j},z_{k}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ i\in \left\{ 0,\cdots ,I\right\} \wedge j\in \left\{ 0,\cdots
,J\right\} \wedge k\in \left\{ 0,\cdots ,K\right\} \right\}
\end{eqnarray*}であり、代表点からなる集合\(P^{\ast }\)が、\begin{equation*}P^{\ast }=\left\{ \left( x_{i}^{\ast },y_{j}^{\ast },z_{k}^{\ast }\right)
\in R_{i,j,k}\ |\ i\in \left\{ 1,\cdots ,I\right\} \wedge j\in \left\{
1,\cdots ,J\right\} \wedge k\in \left\{ 1,\cdots ,K\right\} \right\}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
R_{i,j,k}=\left[ x_{i-1},x_{i}\right] \times \left[ y_{j-1},y_{j}\right] \times \left[ z_{k-1},z_{k}\right] \end{equation*}です。この場合、関数\(f\)の3重リーマン和は、\begin{eqnarray*}&&S\left( f,P,P^{\ast }\right) \\
&=&\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\sum_{k=1}^{K}\left[ \mathrm{vol}\left(
R_{i,j,k}\right) \cdot f\left( x_{i}^{\ast },y_{j}^{\ast },z_{k}^{\ast
}\right) \right] \quad \because \text{3重リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\sum_{k=1}^{K}\left[ \left(
x_{i}-x_{i-1}\right) \left( y_{j}-y_{j-1}\right) \left( z_{k}-z_{k-1}\right)
\cdot f\left( x_{i}^{\ast },y_{j}^{\ast },z_{k}^{\ast }\right) \right] \quad
\because \text{直方体の体積の定義} \\
&=&\left( x_{1}-x_{0}\right) \left( y_{1}-y_{0}\right) \left(
z_{1}-z_{0}\right) \cdot f\left( x_{1}^{\ast },y_{1}^{\ast },z_{1}^{\ast
}\right) +\cdots +\left( x_{I}-x_{I-1}\right) \left( y_{J}-y_{J-1}\right)
\left( z_{K}-z_{K-1}\right) \cdot f\left( x_{I}^{\ast },y_{J}^{\ast
},z_{K}^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}となります。
f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において有界であるものとします。\(R\)の分割が、\begin{eqnarray*}P &=&P_{1}\times \cdots \times P_{n} \\
&=&\left\{ \left( x_{k_{1}}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{k_{n}}^{\left(
n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k_{1}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{1}\right\} \wedge \cdots \wedge
k_{n}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{n}\right\} \right\}
\end{eqnarray*}であり、代表点からなる集合\(P^{\ast }\)が以下の条件\begin{gather*}\forall k_{1}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{1}\right\} :x_{k_{1}}^{\ast
}=x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) } \\
\vdots \\
\forall k_{n}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{n}\right\} :x_{k_{n}}^{\ast
}=x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) }
\end{gather*}を満たす場合、すなわち、任意の代表点\(\left( x_{k_{1}}^{\ast },\cdots ,x_{k_{n}}^{\ast }\right) \)について、それぞれの成分\(x_{k_{1}}^{\ast },\cdots ,x_{k_{n}}^{\ast }\)が区間の左側の端点と一致する場合、多重リーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots
\sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right)
\cdot f\left( x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{k_{n}-1}^{\left(
n\right) }\right) \right] \\
&=&\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots \sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}\left[ \left(
x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }-x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) }\right) \times
\cdots \times \left( x_{k_{n}}^{\left( n\right) }-x_{k_{n}-1}^{\left(
n\right) }\right) \cdot f\left( x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) },\cdots
,x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) }\right) \right] \end{eqnarray*}となりますが、これを左側リーマン和（left Riemann sum）と呼びます。
f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において有界であるものとします。\(R\)の分割が、\begin{eqnarray*}P &=&P_{1}\times \cdots \times P_{n} \\
&=&\left\{ \left( x_{k_{1}}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{k_{n}}^{\left(
n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k_{1}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{1}\right\} \wedge \cdots \wedge
k_{n}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{n}\right\} \right\}
\end{eqnarray*}であり、代表点からなる集合\(P^{\ast }\)が以下の条件\begin{gather*}\forall k_{1}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{1}\right\} :x_{k_{1}}^{\ast
}=x_{k_{1}}^{\left( 1\right) } \\
\vdots \\
\forall k_{n}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{n}\right\} :x_{k_{n}}^{\ast
}=x_{k_{n}}^{\left( n\right) }
\end{gather*}を満たす場合、すなわち、任意の代表点\(\left( x_{k_{1}}^{\ast },\cdots ,x_{k_{n}}^{\ast }\right) \)について、それぞれの成分\(x_{k_{1}}^{\ast },\cdots ,x_{k_{n}}^{\ast }\)が区間の右側の端点と一致する場合、多重リーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots
\sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right)
\cdot f\left( x_{k_{1}}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{k_{n}}^{\left(
n\right) }\right) \right] \\
&=&\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots \sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}\left[ \left(
x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }-x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) }\right) \times
\cdots \times \left( x_{k_{n}}^{\left( n\right) }-x_{k_{n}-1}^{\left(
n\right) }\right) \cdot f\left( x_{k_{1}}^{\left( 1\right) },\cdots
,x_{k_{n}}^{\left( n\right) }\right) \right] \end{eqnarray*}となりますが、これを右側リーマン和（right Riemann sum）と呼びます。
f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において有界であるものとします。\(R\)の分割が、\begin{eqnarray*}P &=&P_{1}\times \cdots \times P_{n} \\
&=&\left\{ \left( x_{k_{1}}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{k_{n}}^{\left(
n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k_{1}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{1}\right\} \wedge \cdots \wedge
k_{n}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{n}\right\} \right\}
\end{eqnarray*}であり、代表点からなる集合\(P^{\ast }\)が以下の条件\begin{gather*}\forall k_{1}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{1}\right\} :x_{k_{1}}^{\ast }=\frac{x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) }+x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }}{2} \\
\vdots \\
\forall k_{n}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{n}\right\} :x_{k_{n}}^{\ast }=\frac{x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) }+x_{k_{n}}^{\left( n\right) }}{2}
\end{gather*}を満たす場合、すなわち、任意の代表点\(\left( x_{k_{1}}^{\ast },\cdots ,x_{k_{n}}^{\ast }\right) \)について、それぞれの成分\(x_{k_{1}}^{\ast },\cdots ,x_{k_{n}}^{\ast }\)が区間の中点と一致する場合、多重リーマン和は、\begin{eqnarray*}&&S\left( f,P,P^{\ast }\right) \\
&=&\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots \sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \cdot f\left( \frac{x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) }+x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }}{2},\cdots ,\frac{x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) }+x_{k_{n}}^{\left( n\right) }}{2}\right) \right] \\
&=&\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots \sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}\left[ \left(
x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }-x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) }\right) \times
\cdots \times \left( x_{k_{n}}^{\left( n\right) }-x_{k_{n}-1}^{\left(
n\right) }\right) \cdot f\left( \frac{x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right)
}+x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }}{2},\cdots ,\frac{x_{k_{n}-1}^{\left(
n\right) }+x_{k_{n}}^{\left( n\right) }}{2}\right) \right] \end{eqnarray*}となりますが、これを中点リーマン和（midpoint Riemann sum）と呼びます。
f:\mathbb{R} ^{2}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は定義域である長方形領域\(R\)上で有界です。\(R\)の分割が、\begin{eqnarray*}P &=&P_{1}\times P_{2} \\
&=&\left\{ \left( x_{i},x_{j}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ i\in \left\{ 0,\cdots ,I\right\} \wedge j\in \left\{ 0,\cdots
,J\right\} \right\}
\end{eqnarray*}であり、代表点からなる集合\(P^{\ast }\)が、\begin{equation*}P^{\ast }=\left\{ \left( x_{i}^{\ast },y_{j}^{\ast }\right) \in R_{i,j}\ |\
i\in \left\{ 1,\cdots ,I\right\} \wedge j\in \left\{ 1,\cdots ,J\right\}
\right\}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
R_{i,j}=\left[ x_{i-1},x_{i}\right] \times \left[ y_{j-1},y_{j}\right] \end{equation*}です。この場合、関数\(f\)の2重リーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i,j}\right) \cdot f\left( x_{i}^{\ast },y_{j}^{\ast }\right) \right] \quad \because \text{2重リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\left[ \left( x_{i}-x_{i-1}\right) \left(
y_{j}-y_{j-1}\right) \left( x_{i}^{\ast }+y_{j}^{\ast }\right) \right] \quad
\because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。特に、左側リーマン和をとるような\(P^{\ast }\)のもとでは、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\left(
x_{i}-x_{i-1}\right) \left( y_{j}-y_{j-1}\right) \left(
x_{i-1}+y_{j-1}\right)
\end{equation*}となり、右側リーマン和をとるような\(P^{\ast }\)のもとでは、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\left(
x_{i}-x_{i-1}\right) \left( y_{j}-y_{j-1}\right) \left( x_{i}+y_{j}\right)
\end{equation*}となり、中点リーマン和をとるような\(P^{\ast }\)のもとでは、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\left(
x_{i}-x_{i-1}\right) \left( y_{j}-y_{j-1}\right) \left( \frac{x_{i}+x_{i-1}}{2}+\frac{y_{j}+y_{j-1}}{2}\right)
\end{equation*}となります。
f:\mathbb{R} ^{2}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in R\)に対して定める値は、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数であるため、\(f\)は定義域である長方形領域\(R\)上で有界です。\(R\)の分割が、\begin{eqnarray*}P &=&P_{1}\times P_{2} \\
&=&\left\{ \left( x_{i},x_{j}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ i\in \left\{ 0,\cdots ,I\right\} \wedge j\in \left\{ 0,\cdots
,J\right\} \right\}
\end{eqnarray*}であり、代表点からなる集合\(P^{\ast }\)が、\begin{equation*}P^{\ast }=\left\{ \left( x_{i}^{\ast },y_{j}^{\ast }\right) \in R_{i,j}\ |\
i\in \left\{ 1,\cdots ,I\right\} \wedge j\in \left\{ 1,\cdots ,J\right\}
\right\}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\begin{equation*}
R_{i,j}=\left[ x_{i-1},x_{i}\right] \times \left[ y_{j-1},y_{j}\right] \end{equation*}です。この場合、関数\(f\)の2重リーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i,j}\right) \cdot f\left( x_{i}^{\ast },y_{j}^{\ast }\right) \right] \quad \because \text{2重リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\left[ \left( x_{i}-x_{i-1}\right) \left(
y_{j}-y_{j-1}\right) \cdot c\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&c\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\left( x_{i}-x_{i-1}\right) \left(
y_{j}-y_{j-1}\right) \\
&=&c\left( b_{1}-a_{1}\right) \left( b_{2}-a_{2}\right) \quad \because \text{相殺}
\end{eqnarray*}となります。定数関数の2重リーマン和は分割\(P\)や代表点の集合\(P^{\ast }\)によらず定数\(c\left(b_{1}-a_{1}\right) \left( b_{2}-a_{2}\right) \)であるということです。したがって、特別な2重リーマン和である左側リーマン和、右側リーマン和、中点リーマン和などはすべて\(c\left( b_{1}-a_{1}\right) \left( b_{2}-a_{2}\right) \)と一致します。
多重リーマン積分と定積分
繰り返しになりますが、有界かつ閉な直方体上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、直方体\(R\)の分割\(P\)および代表点からなる集合\(P^{\ast }\)が与えられれば、関数\(f\)の多重リーマン和が、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots
\sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right)
\cdot f\left( x_{k_{1},\cdots ,k_{n}}^{\ast }\right) \right] \\
&=&\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots \sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}\left[ \left(
x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }-x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) }\right) \times
\cdots \times \left( x_{k_{n}}^{\left( n\right) }-x_{k_{n}-1}^{\left(
n\right) }\right) \cdot f\left( x_{k_{1}}^{\ast },\cdots ,x_{k_{n}}^{\ast
}\right) \right]
\end{eqnarray*}として定まります。さて、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が小さくなるように分割を変更すれば直方体\(R\)に含まれる最長の辺を持つ小直方体の辺の長さが短くなるため、\(R\)に含まれるすべての小直方体の超体積は小さくなり、その結果、\(R\)はより多くの小さい小直方体へ分割されることになります（\(m_{1},\cdots ,m_{n}\)が増加する）。さらに、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が\(0\)へ限りなく近づくように分割を変更していけば、\(R\)を構成するすべての小直方体の超体積もまた\(0\)へ限りなく近づきます。さて、分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の集合\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)の多重リーマン和がある有限な実数\(L\in \mathbb{R} \)へ限りなく近づく場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -L\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(R\)上で\(n\)重積分可能（\(n\)-dimensional integrable on \(R\)）であるとか\(n\)重リーマン積分可能（\(n\)-dimensional Riemann integrable）であるなどと言い、そのことを、\begin{equation*}
\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =L
\end{equation*}で表記します。また、この極限を\(f\)の\(R\)上での定積分（definite integralon \(R\)）と呼び、\begin{equation*}\int \cdots \int_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=L
\end{equation*}で表記します。つまり、関数\(f\)の\(R\)上での定積分は、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\int \cdots \int_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n}\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす有限な実数として定義されるということです。
f:\mathbb{R} ^{2}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in R\)に対して定める値は、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。先に示したように、\(R\)の分割および代表点からなる集合\(P^{\ast }\)を任意に選んだとき、\(f\)の2重リーマン和は、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =c\left( b_{1}-a_{1}\right) \left(
b_{2}-a_{2}\right)
\end{equation*}となりますが、これは\(P\)や\(P^{\ast }\)に依存しない定数であるため、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right)
=c\left( b_{1}-a_{1}\right) \left( b_{2}-a_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int \int_{R}f\left( x\right) dxdy=c\left( b_{1}-a_{1}\right) \left(
b_{2}-a_{2}\right)
\end{equation*}となります。厳密には、2重積分の定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -c\left( b_{1}-a_{1}\right) \left( b_{2}-a_{2}\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert c\left(
b_{1}-a_{1}\right) \left( b_{2}-a_{2}\right) -c\left( b_{1}-a_{1}\right)
\left( b_{2}-a_{2}\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow 0<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示す必要がありますが、\(0<\varepsilon \)は真であるため、上の命題は真です。したがって証明が完了しました。
定積分の候補を特定する方法
有界かつ閉な直方体領域上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が重積分可能であることを示すためには、ある有限な実数\(L\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -L\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示す必要があります。では、定積分\(L\)の候補をどのように絞り込めばいいでしょうか。
本来、関数\(f\)が重積分可能であることを示すためには、大きさが\(\left\vert P\right\vert <\delta \)を満たす「任意の」分割\(P\)および代表点の集合\(P^{\ast }\)に対して上の命題が成り立つことを示す必要があります。ただ、関数\(f\)が重積分可能であることを仮定するのであれば、「特定の」分割\(P\)および代表点の集合\(P^{\ast }\)のもとで多重リーマン和がある有限な実数\(L\)へ収束することが判明した場合、その実数\(L\)は定積分の候補となります。なぜなら、後ほど示すように、関数が多重リーマン積分可能である場合、定積分は1つの実数として定まることが保証されるからです。
定積分の候補を特定する際には、直方体\(R\)を等分する分割や、左側リーマン和、右側リーマン和、中点リーマン和などが頻繁に利用されます。いずれにせよ、何らかの方法にもとづき定積分の候補\(L\)が明らかになった後、それに対して、大きさが\(\left\vert P\right\vert <\delta \)を満たす「任意の」分割\(P\)および代表点の組\(P^{\ast }\)に対して上の命題が成り立つことを確認すれば、すなわち、以下の命題\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -L\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示せば、重積分可能性の検証および定積分の特定が行われたことになります。以下が具体例です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
R=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}です。定積分の候補を絞るために、領域\(R\)の各辺を\(n\)等分する\(R\)の分割\(P\)と、中点リーマン和をとるような代表点の集合\(P^{\ast }\)のもとでの2重リーマン和は、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\frac{\left( n-1\right) \left( n+1\right) ^{2}}{n^{3}}
\end{equation*}となります（演習問題）。したがって、この場合、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\left( n-1\right) \left( n+1\right) ^{2}}{n^{3}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n^{3}+n^{2}-n-1}{n^{3}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{3}}}{1} \\
&=&\frac{1+0-0-0}{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、領域\(R\)の各辺を等分し、なおかつ中点リーマン和をとる限りにおいて、2重リーマン和は\(1\)へ収束します。そこで、これを定積分の候補として採用します。その上で、領域の各辺を等分するとは限らない任意の分割や、中点リーマン和に限定されない任意の2重リーマン和に関しても、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =1
\end{equation*}が成り立つことを確認することになります。つまり、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -1\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すということです。詳細は省略しますが上の命題は成立するため、\(f\)は\(R\)上で2重積分可能であり、定積分は、\begin{equation*}\int \int_{D}f\left( x,y\right) dxdy=1
\end{equation*}となります。
多変数関数が多重リーマン積分可能ではないことの証明
有界かつ閉な直方体領域上に定義された有界関数であっても、その関数はその領域上において多重積分可能であるとは限りません。
有界かつ閉な直方体領域上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が\(R\)上で\(n\)重リーマン積分可能であることは、\begin{equation*}\forall L\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -L\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。したがって、\(f\)が\(R\)上で\(n\)重リーマン積分可能ではないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists P,\ \exists P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \wedge \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -L\right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
もしくは、領域\(R\)の分割\(P\)や代表点の集合\(P^{\ast} \)の選び方に応じて、多重リーマン和\(S\left( f,P,P^{\ast}\right) \)が異なる複数の極限へ収束してしまう場合にも、その関数\(f\)は\(R\)上で多重リーマン積分可能ではありません。なぜなら、後ほど示すように、関数\(f\)が領域\(R\)上で多重積分可能である場合、\(R\)上での定積分は一意的に定まることが保証されるからです。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \wedge y\in \mathbb{Q} \right) \\
2 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \wedge y\not\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
R=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}です。関数\(f\)は明らかに領域\(R\)上で有界ですが、\(f\)は\(R\)上で有界ですが、\(R\)上で2重リーマン積分可能ではありません（演習問題）。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
R=\left[ 1,3\right] \times \left[ -2,1\right] \end{equation*}です。領域\(R\)を6個の等しい正方形に分割するような分割\(P\)と、左側リーマン和をとるような代表点\(P^{\ast }\)を採用した場合の2重リーマン和\(S\left( f,P,P^{\ast }\right) \)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
R=\left[ 0,2\right] \times \left[ 0,3\right] \end{equation*}です。領域\(R\)を6個の等しい正方形に分割するような分割\(P\)と、右側リーマン和をとるような代表点\(P^{\ast }\)を採用した場合の2重リーマン和\(S\left( f,P,P^{\ast }\right) \)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。領域\(R\)の各辺を\(n\)等分する\(R\)の分割\(P\)と、中点リーマン和をとるような代表点の集合\(P^{\ast }\)のもとでの2重リーマン和が、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\frac{\left( n-1\right) \left( n+1\right) ^{2}}{n^{3}}
\end{equation*}となることを示してください。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \wedge y\in \mathbb{Q} \right) \\
2 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \wedge y\not\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
R=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}です。関数\(f\)は\(R\)上で2重リーマン積分可能ではないことを示してください。
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