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1変数関数の積分

1変数関数のリーマン積分可能性と定積分の定義

目次

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区間の分割とその大きさ

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。それに対して、以下の条件\begin{equation*}
a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる集合\begin{equation*}P=\left\{ x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} =\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}
\end{equation*}を区間\(\left[ a,b\right] \)の分割(partition)と呼びます。なお、分割\(P\)の要素である分点の個数や、分点間の距離は自由に選ぶことができるものとします。分点どうしは等間隔である必要もありません。

図:区間の分割
図:区間の分割

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)が与えられれば、区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である有限\(n\)個の小区間\begin{eqnarray*}J_{1} &=&\left[ x_{0},x_{1}\right] \\
J_{2} &=&\left[ x_{1},x_{2}\right] \\
&&\vdots \\
J_{n} &=&\left[ x_{n-1},x_{n}\right] \end{eqnarray*}が得られます。すべての小区間\(J_{1},J_{2},\cdots ,J_{n}\)の和集合をとればもとの区間\(\left[ a,b\right] \)が得られます。また、2つの小区間どうしは境界においてのみ交わり得るため、2つの小区間を任意に選んだとき、それらの内部どうしは互いに素です。

分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を通じて区間\(\left[ a,b\right] \)を有限個\(n\)の小区間\(\left\{ J_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)へと分割した場合、それぞれの小区間\(J_{k}=\left[x_{k-1},x_{k}\right] \)の長さは、\begin{equation*}\left\vert J_{k}\right\vert =x_{k}-x_{k-1}
\end{equation*}と定まります。すべての小区間\(J_{1},\cdots ,J_{n}\)の長さ\(\left\vert J_{1}\right\vert ,\cdots ,\left\vert J_{n}\right\vert \)どうしを比べた上で、その中の最大値を分割\(P\)の大きさ(norm)と定義し、それを、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \left\vert J_{k}\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\} \\
&=&\max \left\{ x_{k}-x_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。

例(区間の分割)
区間\(\left[ 0,1\right] \)の分割として、\begin{equation*}P=\left\{ 0,\frac{1}{2},1\right\}
\end{equation*}に注目した場合、2つの小区間\begin{eqnarray*}
J_{1} &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \\
J_{2} &=&\left[ \frac{1}{2},1\right] \end{eqnarray*}が得られます。この分割\(P\)の大きさは、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \left\vert J_{1}\right\vert
,\left\vert J_{2}\right\vert \right\} \quad \because \text{分割の大きさの定義} \\
&=&\max \left\{ \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}です。別の分割\begin{equation*}
P=\left\{ 0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},1\right\}
\end{equation*}に注目した場合、3つの小区間\begin{eqnarray*}
J_{1} &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \\
J_{2} &=&\left[ \frac{1}{2},\frac{3}{4}\right] \\
J_{3} &=&\left[ \frac{3}{4},1\right] \end{eqnarray*}が得られます。この分割\(P\)の大きさは、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \left\vert J_{1}\right\vert
,\left\vert J_{2}\right\vert ,\left\vert J_{3}\right\vert \right\} \quad
\because \text{分割の大きさの定義} \\
&=&\max \left\{ \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right\} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}です。これらの例が示唆するように、同一の区間を対象としていても、その分割のとり方は様々です。

例(区間を等分する分割)
区間\(\left[ 0,1\right] \)を\(n\)等分する分割は、\begin{equation*}P=\left\{ 0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots ,\frac{n-1}{n},1\right\}
\end{equation*}です。実際、この分割\(P\)のもとでは\(n\)個の小区間\begin{eqnarray*}J_{1} &=&\left[ 0,\frac{1}{n}\right] \\
J_{2} &=&\left[ \frac{1}{n},\frac{2}{n}\right] \\
&&\vdots \\
J_{n} &=&\left[ \frac{n-1}{n},1\right] \end{eqnarray*}が得られるとともに、これらの小区間の長さはいずれも\(\frac{1}{n}\)であり、したがって、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\frac{1}{n}
\end{equation*}となります。

 

関数のリーマン和

有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left[ a,b\right] :L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U\)は\(f \)の値域の上界であり、\(L\)は下界です。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選ぶと有限\(n\)個の小区間\begin{equation*}J_{k}=\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \quad \left( k=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}が得られますが、それぞれの小区間\(J_{k}\)から点\begin{equation*}x_{k}^{\ast }\in J_{k}
\end{equation*}を1つずつ任意に選びます。この点\(x_{k}^{\ast }\)を小区間\(J_{k}\)の代表点(representative point)と呼びます。また、すべての小区間から代表点を1つずつ選ぶことにより得られる代表点からなる集合を、\begin{equation*}P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\in J_{k}\ |\ k\in \left\{ 1,\cdots
,n\right\} \right\}
\end{equation*}で表記します。

区間\(\left[ a,b\right] \)に対して分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)と代表点の集合\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)をそれぞれ指定した場合、それぞれの小区間\begin{equation*}J_{k}=\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \end{equation*}の長さは、\begin{equation*}
\left\vert J_{k}\right\vert =x_{k}-x_{k-1}
\end{equation*}と定まる一方で、この小区間の代表点\(x_{k}^{\ast}\in J_{k}\)に対して関数\(f\)が定める値は、\begin{equation*}f\left( x_{k}^{\ast }\right)
\end{equation*}となります。そこで、両者の積\begin{equation*}
\left\vert J_{k}\right\vert \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) =\left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right)
\end{equation*}をとれば、小区間\(J_{k}\)を底辺とし、高さが\(f\left( x_{k}^{\ast }\right) \)であるような長方形の面積が得られます。これを小区間\(J_{k}\)を底辺とする長方形の符号付き面積(signed area)と呼びます。小区間\(J_{k}\)は有界であるためその長さ\(\left\vert J_{k}\right\vert \)は有限な実数として定まります。また、仮定より関数\(f\)は有界であるため\(f\left(x_{k}^{\ast }\right) \)もまた有限な実数として定まります。以上より、長方形の符号付き面積は有限な実数どうしの積であるため、これもまた有限な実数として定まります。長方形の符号付き面積は下図の青い長方形の面積に相当します。小区間\(J_{k}\)から選ぶ代表点\(x_{k}^{\ast }\)に応じて\(f\left( x_{k}^{\ast }\right) \)の値は変化するため、符号付き面積の値もまた代表点の選び方に依存します。

図:符号付き面積
図:符号付き面積

有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)および代表点からなる集合\(P^{\ast }=\left\{x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)をそれぞれ選べば、それぞれの小区間を底辺とする長方形の符号付き面積が明らかになるため、それらの総和をとることができます。そこでそれを、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert
J_{k}\right\vert \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left(
x_{k}^{\ast }\right) \right] \\
&=&\left( x_{1}-x_{0}\right) \cdot f\left( x_{1}^{\ast }\right) +\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot f\left( x_{2}^{\ast }\right) +\cdots +\left(
x_{n}-x_{n-1}\right) \cdot f\left( x_{n}^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}で表記し、これを関数\(f\)の分割\(P\)と代表点の集合\(P^{\ast }\)に関するリーマン和(Riemann sum of \(f\) for \(P\)and \(P^{\ast }\))と呼びます。個々の長方形の符号付き面積は有限な実数であるため、リーマン和は有限個の有限な実数の和であり、したがって有限な実数として定まります。リーマン和は下図の青い領域の面積に相当します。関数が与えられたとき、分割や代表点の選び方に応じてそれぞれの長方形は変化するため、リーマン和の値もまた分割や代表点の選び方に依存します。

図:リーマン和
図:リーマン和
例(左側リーマン和)
有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)が与えられたとき、代表点からなる集合\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\}_{k=1}^{n}\)が以下の条件\begin{equation}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }=x_{k-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす場合、すなわち任意の代表点\(x_{k}^{\ast}\)が区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の左側の端点と一致する場合、リーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert
J_{k}\right\vert \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \quad \because
\text{リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left(
x_{k-1}\right) \right] \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これを左側リーマン和(left Riemann sum)と呼びます。

例(右側リーマン和)
有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)が与えられたとき、代表点からなる集合\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\}_{k=1}^{n}\)が以下の条件\begin{equation}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }=x_{k} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす場合、すなわち任意の代表点\(x_{k}^{\ast}\)が区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の右側の端点と一致する場合、リーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert
J_{k}\right\vert \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \quad \because
\text{リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left(
x_{k}\right) \right] \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これを右側リーマン和(right Riemann sum)と呼びます。

例(中点リーマン和)
有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)が与えられたとき、代表点からなる集合\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\}_{k=1}^{n}\)が以下の条件\begin{equation}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }=\frac{x_{k}+x_{k-1}}{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす場合、すなわち任意の代表点\(x_{k}^{\ast}\)が区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の中点である場合、リーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert
J_{k}\right\vert \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \quad \because
\text{リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( \frac{x_{k}+x_{k-1}}{2}\right) \right] \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これを中点リーマン和(midpoint Riemann sum)と呼びます。

例(リーマン和)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は恒等関数です。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)と代表点からなる集合\(P^{\ast}=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)のもとでの\(f\)のリーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert
J_{k}\right\vert \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \quad \because
\text{リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot x_{k}^{\ast }\right] \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。特に、左側リーマン和をとるような\(P^{\ast }\)のもとでは、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert
J_{k}\right\vert \cdot f\left( x_{k-1}\right) \right] \quad \because \text{左側リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot x_{k-1}\right] \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、右側リーマン和をとるような\(P^{\ast }\)のもとでは、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert
J_{k}\right\vert \cdot f\left( x_{k}\right) \right] \quad \because \text{右側リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot x_{k}\right] \quad
\because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、中点リーマン和をとるような\(P^{\ast }\)のもとでは、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert
J_{k}\right\vert \cdot f\left( \frac{x_{k}+x_{k-1}}{2}\right) \right] \quad
\because \text{中点リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \frac{x_{k}+x_{k-1}}{2}\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}^{2}-x_{k-1}^{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \left( x_{1}^{2}-x_{0}^{2}\right) +\left(
x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right) +\cdots +\left( x_{n}^{2}-x_{n-1}^{2}\right) \right] \\
&=&\frac{1}{2}\left( x_{n}^{2}-x_{0}^{2}\right) \quad \because \text{相殺} \\
&=&\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \quad \because x_{0}=a,x_{n}=b
\end{eqnarray*}となります。

例(リーマン和)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値は、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}で表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)と代表点からなる集合\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)のもとでの\(f\)のリーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert
J_{k}\right\vert \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \quad \because
\text{リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot c\right] \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&c\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \\
&=&c\left[ \left( x_{1}-x_{0}\right) +\left( x_{2}-x_{1}\right) +\cdots
+\left( x_{n}-x_{n-1}\right) \right] \\
&=&c\left( x_{n}-x_{0}\right) \quad \because \text{相殺} \\
&=&c\left( b-a\right) \quad \because x_{0}=a,x_{n}=b
\end{eqnarray*}となります。定数関数のリーマン和は分割\(P\)や代表点の集合\(P^{\ast }\)によらず定数\(c\left( b-a\right) \)であるということです。したがって、特別なリーマン和である左側リーマン和、右側リーマン和、中点リーマン和などはすべて\(c\left( b-a\right) \)と一致します。

 

リーマン積分と定積分

繰り返しになりますが、有界な閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)および代表点からなる集合\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)が与えられれば、関数\(f\)のリーマン和が、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert
J_{k}\right\vert \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left(
x_{k}^{\ast }\right) \right] \end{eqnarray*}として定まります。さて、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が小さくなるように分割を変更すれば区間\(\left[ a,b\right] \)に含まれる最長の小区間の長さは小さくなるため、\(\left[ a,b\right] \)に含まれるすべての小区間の長さも小さくなり、その結果、区間\(\left[ a,b\right] \)はより多くの細かい小区間へ分割されることになります(\(n\)が増加する)。さらに、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が\(0\)へ限りなく近づくように分割を変更していけば、区間\(\left[ a,b\right] \)を構成するすべての小区間の長さもまた\(0\)へ限りなく近づきます。さて、分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)のリーマン和がある有限な実数\(L\in \mathbb{R} \)へ限りなく近づく場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -L\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能(Riemann integrable on \(\left[ a,b\right] \))であると言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =L
\end{equation*}で表記します。また、この極限を\(f\)の\(\left[ a,b\right]\)間の定積分(definite integralfrom \(a\) to \(b\))と呼び、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=L
\end{equation*}で表記します。つまり、関数\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)間の定積分は、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす有限な実数として定義されるということです。

図:定積分
図:定積分

定積分\(\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\)を構成する記号\(\int \)を積分記号(integral sign)と呼びます。定積分はリーマン和の極限であることから、和(sum)の頭文字である\(S\)を変形させた\(\int \)が積分を表す記号として採用されました。この記号の発案者はライプニッツ(Liebniz)です。また、定積分する対象となる関数\(f\left( x\right) \)を被積分関数(integrand)と呼び、定積分を行う範囲を表す\(a,b\)を積分の極限(limits of integration)と呼びます。特に、\(a\)を上限(upper limit)と呼び、\(b\)を下限(lower limit)と呼びます。定積分を求めるプロセスを積分(integration)と呼びます。記号\(dx\)は被積分関数\(f\left( x\right) \)を変数\(x\)に関して積分することを明示する記号です。

例(リーマン積分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値は、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}で表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。先に示したように、この関数の任意のリーマン和は、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =c\left( b-a\right)
\end{equation*}ですが、これは\(P\)や\(P^{\ast }\)に依存しない定数であるため、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right)
=c\left( b-a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=c\left( b-a\right)
\end{equation*}となります。厳密には、定積分の定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -c\left( b-a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert c\left(
b-a\right) -c\left( b-a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow 0<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示す必要がありますが、\(0<\varepsilon \)は真であるため、上の命題は真です。したがって証明が完了しました。

 

定積分の候補を特定する方法

有界閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がリーマン積分可能であることを示すためには、ある有限な実数\(L\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -L\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示す必要があります。では、定積分\(L\)の候補をどのように絞り込めばいいでしょうか。

本来、関数\(f\)がリーマン積分可能であることを示すためには、大きさが\(\left\vert P\right\vert <\delta \)を満たす「任意の」分割\(P\)および代表点の集合\(P^{\ast }\)に対して上の命題が成り立つことを示す必要があります。ただ、関数\(f\)がリーマン積分可能であることを仮定するのであれば、「特定の」分割\(P\)および代表点の集合\(P^{\ast }\)のもとでリーマン和がある有限な実数\(L\)へ収束することが判明した場合、その実数\(L\)を定積分の候補とすることができます。なぜなら、後ほど示すように、関数がリーマン積分可能である場合、定積分は1つの実数として定まることが保証されるからです。

定積分の候補を特定する際には、区間\(\left[ a,b\right] \)を等分する分割や、左側リーマン和、右側リーマン和、中点リーマン和などが頻繁に利用されます。いずれにせよ、何らかの方法にもとづき定積分の候補\(L\)が明らかになった後、それに対して、大きさが\(\left\vert P\right\vert <\delta \)を満たす「任意の」分割\(P\)および代表点からなる集合\(P^{\ast }\)に対して先の命題が成り立つことを確認すれば、すなわち、以下の命題\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -L\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示せば、リーマン積分可能性の検証および定積分の特定が行われたことになります。以下が具体例です。

例(リーマン積分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は恒等関数です。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選びます。定積分の候補を絞るため、中点リーマン和をとるような代表点の集合\(P^{\ast \ast }\)にあえて注目すると、その場合のリーマン和、すなわち中点リーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast \ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \frac{x_{k}+x_{k-1}}{2}\right] \quad \because
P^{\ast \ast }\text{は小区間の中点からなる集合} \\
&=&\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}^{2}-x_{k-1}^{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \left( x_{1}^{2}-x_{0}^{2}\right) +\left(
x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right) +\cdots +\left( x_{n}^{2}-x_{n-1}^{2}\right) \right] \\
&=&\frac{1}{2}\left( x_{n}^{2}-x_{0}^{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
S\left( f,P,P^{\ast \ast }\right) =\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}となります。これは定数であるため、中点リーマン和をとる限りにおいて、分割\(P\)を限りなく細かくしても変化しません。そこで、これを定積分の候補として採用します。その上で、中点リーマン和に限定されない任意のリーマン和に関して、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを以下で確認します。つまり、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。結論について、\begin{eqnarray*}
&&\left\vert S\left( f,P,P^{\ast }\right) -\frac{1}{2}\left(
b^{2}-a^{2}\right) \right\vert \\
&=&\left\vert S\left( f,P,P^{\ast }\right) -S\left( f,P,P^{\ast \ast
}\right) \right\vert \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left\vert \sum_{k=1}^{n}\left\vert J_{k}\right\vert \cdot x_{k}^{\ast
}-S\left( f,P,P^{\ast \ast }\right) \right\vert \\
&=&\left\vert \sum_{k=1}^{n}\left\vert J_{k}\right\vert \cdot x_{k}^{\ast
}-\sum_{k=1}^{n}\left\vert J_{k}\right\vert \cdot \frac{x_{k-1}+x_{k}}{2}\right\vert \quad \because P^{\ast \ast }\text{は小区間の中点からなる集合} \\
&=&\left\vert \sum_{k=1}^{n}\left\vert J_{k}\right\vert \cdot \left(
x_{k}^{\ast }-\frac{x_{k-1}+x_{k}}{2}\right) \right\vert \\
&\leq &\sum_{k=1}^{n}\left\vert J_{k}\right\vert \cdot \left\vert
x_{k}^{\ast }-\frac{x_{k-1}+x_{k}}{2}\right\vert \\
&\leq &\sum_{k=1}^{n}\left\vert J_{k}\right\vert \cdot \left\vert x_{k}-\frac{x_{k-1}+x_{k}}{2}\right\vert \quad \because x_{k}^{\ast }\in \left[
x_{k-1},x_{k}\right] \\
&\leq &\sum_{k=1}^{n}\left\vert J_{k}\right\vert \cdot \left\vert
x_{k}-x_{k-1}\right\vert \quad \because \frac{x_{k-1}+x_{k}}{2}\in \left[
x_{k-1},x_{k}\right] \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert J_{k}\right\vert \cdot \left\vert
J_{k}\right\vert \\
&\leq &\sum_{k=1}^{n}\left\vert J_{k}\right\vert \cdot \left\vert
P\right\vert \quad \because \left\vert P\right\vert \text{の定義} \\
&=&\left\vert P\right\vert \sum_{k=1}^{n}\left\vert J_{k}\right\vert \\
&=&\left\vert P\right\vert \sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \quad
\because J_{k}=\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \\
&=&\left\vert P\right\vert \left( x_{n}-x_{0}\right) \quad \because \text{相殺} \\
&=&\left\vert P\right\vert \left( b-a\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert S\left( f,P,P^{\ast }\right) -\frac{1}{2}\left(
b^{2}-a^{2}\right) \right\vert \leq \left\vert P\right\vert \left(
b-a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{b-a}>0 \quad \cdots (3)
\end{equation}をとることができます。その上で、\begin{equation}
\left\vert P\right\vert <\delta \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たす\(P\)を任意に選びます。すると、任意の\(P^{\ast }\)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert S\left( f,P,P^{\ast }\right) -\frac{1}{2}\left(
b^{2}-a^{2}\right) \right\vert &\leq &\left\vert P\right\vert \left(
b-a\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&<&\delta \left( b-a\right) \quad \because \left( 4\right) \\
&=&\frac{\varepsilon }{b-a}\left( b-a\right) \quad \because \left( 3\right)
\\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。したがって、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。

 

関数がリーマン積分可能ではないことの証明

有界閉区間上に定義された有界関数であっても、その関数はその区間上においてリーマン積分可能であるとは限りません。

有界閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることは、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -L\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。したがって、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能ではないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\forall L\in \mathbb{R} ,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists P,\ \exists P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \wedge \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -L\right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

もしくは、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)や代表点の集合\(P^{\ast }\)の選び方に応じて、リーマン和\(S\left( f,P,P^{\ast}\right) \)が異なる複数の極限へ収束してしまう場合にも、その関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能ではありません。なぜなら、後ほど示すように、関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能である場合、\(\left[ a,b\right] \)上での定積分は一意的に定まることが保証されるからです。

例(リーマン積分と定積分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\mathbb{Q} \)は有理数集合です。区間\(\left[ 0,1\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選びます。代表点からなる集合\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)が、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }\in \mathbb{Q} \end{equation*}を満たす場合のリーマン和は、\begin{eqnarray*}
S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert J_{k}\right\vert
\cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \quad \because \text{リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot 1\quad \because P^{\ast }\text{および}f\text{の定義} \\
&=&x_{n}-x_{0} \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}ですが、これは定数であるため、\begin{equation*}
\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =1
\end{equation*}となります。一方、代表点からなる集合\(P^{\ast \ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)が、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }\not\in \mathbb{Q} \end{equation*}を満たす場合のリーマン和は、\begin{eqnarray*}
S\left( f,P,P^{\ast \ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert
J_{k}\right\vert \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \quad \because \text{リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot 0\quad \because P^{\ast }\text{および}f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}ですが、これは定数であるため、\begin{equation*}
\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast \ast
}\right) =0
\end{equation*}となります。代表点からなる集合の選び方に依存して\(\left\vert P\right\vert\rightarrow 0\)のときのリーマン和の極限は異なる値をとり得るため、\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能ではないことが明らかになりました。

 

演習問題

問題(リーマン積分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\pi
\end{equation*}を定めるものとします。定積分\begin{equation*}
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。

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問題(リーマン積分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,3\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,3\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}-6x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が\(\left[ 0,3\right] \)上でリーマン積分可能であることを認めた上で(実際、\(f\)は\(\left[ 0,3\right] \)上でリーマン積分可能です)、定積分\begin{equation*}\int_{0}^{3}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。

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問題(リーマン積分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ x\not=0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx=0
\end{equation*}であることを示してください。

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