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関数の積分

関数のリーマン積分と定積分

目次

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区間の分割とその大きさ

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。それに対して、以下の条件\begin{equation}
a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)を指定すれば、区間\(\left[ a,b\right] \)を有限\(n\)個の小区間\begin{equation*}\left[ x_{0},x_{1}\right] ,\left[ x_{1},x_{2}\right] ,\cdots ,\left[
x_{k-1},x_{k}\right] ,\cdots ,\left[ x_{n-1},x_{n}\right] \end{equation*}へと分割することができます。このような事情もあり、条件\(\left( 1\right) \)を満たす\(\left[ a,b\right] \)の分点からなる組を、\begin{equation*}P=\left\{ x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} =\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}
\end{equation*}で表記し、これを\(\left[ a,b\right] \)の分割(partition)と呼びます。なお、分割を構成する分点の個数や、分点間の距離は自由に選ぶことができるものとします。分点どうしは等間隔である必要もありません。

図:区間の分割
図:区間の分割

区間\(\left[ a,b\right] \)を分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を通じて有限\(n\)個の小区間へと分割した場合、それぞれの小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の長さは、\begin{equation*}x_{k}-x_{k-1}
\end{equation*}となりますが、有限\(n\)個の小区間の中でも最大の長さを持つ小区間の長さを分割\(P\)の大きさ(norm)と呼び、それを、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ x_{k}-x_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}で表記します。

例(区間の分割)
区間\(\left[ 0,1\right] \)が与えられたとき、以下の点の組\begin{equation*}P=\left\{ 0,\frac{1}{2},1\right\}
\end{equation*}は\(\left[ 0,1\right] \)の分割であり、その大きさは、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \frac{1}{2}-0,1-\frac{1}{2}\right\}
\\
&=&\max \left\{ \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。また、以下の点の組\begin{equation*}
P=\left\{ 0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1\right\}
\end{equation*}もまた\(\left[ 0,1\right] \)の分割ですが、その大きさは、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \frac{1}{4}-0,\frac{1}{2}-\frac{1}{4},\frac{3}{4}-\frac{1}{2},1-\frac{3}{4}\right\} \\
&=&\max \left\{ \frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right\} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}です。以下の点の組\begin{equation*}
P=\left\{ 0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},1\right\}
\end{equation*}もまた\(\left[ 0,1\right] \)の分割ですが、その大きさは、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \frac{1}{2}-0,\frac{3}{4}-\frac{1}{2},1-\frac{3}{4}\right\} \\
&=&\max \left\{ \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right\} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。これらの例が示唆するように、区間の分割のとり方は様々です。

 

関数のリーマン和

有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left[ a,b\right] :L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U\)は\(f\)の値域の上界であり、\(L\)は下界です。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選ぶと有限\(n\)個の小区間\begin{equation*}\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \quad \left( k=1,2,\cdots ,n\right)
\end{equation*}が得られますが、それぞれの小区間から点\begin{equation*}
x_{k}^{\ast }\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \end{equation*}を1つずつ任意に選びます。この点\(x_{k}^{\ast }\)を小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の代表点(representative point)と呼びます。また、それぞれの小区間の代表点からなる組を、\begin{equation*}P^{\ast }=\left\{ x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast },\cdots ,x_{n}^{\ast }\right\}
=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}
\end{equation*}で表記します。定義より、分割\(P\)と代表点の組\(P^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }\in \left[
x_{k-1},x_{k}\right] \end{equation*}という関係が成り立ちます。

小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)を底辺とし、代表点\(x_{k}^{\ast }\)に対して関数\(f\)が定める値\(f\left( x_{k}^{\ast }\right) \)を高さとする長方形の面積は、\begin{equation*}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right)
\end{equation*}として定まりますが、これを長方形の符号付き面積(signed area)と呼びます。小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)は有界であるためその長さ\(x_{k}-x_{k-1}\)は有限な実数として定まります。また、仮定より\(f\)は有界であるため\(f\left( x_{k}^{\ast }\right) \)もまた有限な実数として定まります。以上より、長方形の符号付き面積は有限な実数どうしの積であるため、これもまた有限な実数として定まります。長方形の符号付き面積は下図の青い長方形の面積に相当します。代表点の選び方に応じて長方形は変化するため、符号付き面積の値もまた代表点の選び方に依存します。

図:符号付き面積
図:符号付き面積

有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)および代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)をそれぞれ選べば、それぞれの小区間を底辺とする長方形の符号付き面積が明らかになるため、それらの総和をとることができます。そこでそれを、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \\
&=&\left( x_{1}-x_{0}\right) \cdot f\left( x_{1}^{\ast }\right) +\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot f\left( x_{2}^{\ast }\right) +\cdots +\left(
x_{n}-x_{n-1}\right) \cdot f\left( x_{n}^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}で表記し、これを関数\(f\)の分割\(P\)と代表点の組\(P^{\ast }\)に関するリーマン和(Riemann sum of \(f\) for \(P\) and \(P^{\ast }\))と呼びます。個々の長方形の符号付き面積は有限な実数であるため、リーマン和は有限個の有限な実数の和であり、したがって有限な実数として定まります。リーマン和は下図の青い領域の面積に相当します。関数が与えられたとき、分割や代表点の選び方に応じてそれぞれの長方形は変化するため、リーマン和の値もまた分割や代表点の選び方に依存します。

図:リーマン和
図:リーマン和
例(左側リーマン和)
有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)が与えられたとき、代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)が、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }=x_{k-1}
\end{equation*}を満たす場合、すなわち任意の代表点\(x_{k}^{\ast}\)が区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の左側の端点である場合、リーマン和は、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( x_{k-1}\right) \right] \end{equation*}となりますが、これを左側リーマン和(left Riemann sum)と呼びます。

例(右側リーマン和)
有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)が与えられたとき、代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)が、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }=x_{k}
\end{equation*}を満たす場合、すなわち任意の代表点\(x_{k}^{\ast}\)が区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の右側の端点である場合、リーマン和は、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( x_{k}\right) \right] \end{equation*}となりますが、これを右側リーマン和(right Riemann sum)と呼びます。

例(中点リーマン和)
有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)が与えられたとき、代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)が、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }=\frac{x_{k}+x_{k-1}}{2}
\end{equation*}を満たす場合、すなわち任意の代表点\(x_{k}^{\ast}\)が区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の中点である場合、リーマン和は、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( \frac{x_{k}+x_{k-1}}{2}\right) \right] \end{equation*}となりますが、これを中点リーマン和(midpoint Riemann sum)と呼びます。

例(リーマン和)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は恒等関数です。この関数\(f\)のリーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \quad
\because \text{リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot x_{k}^{\ast }\right] \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。特に、左側リーマン和は、\begin{eqnarray*}
S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( x_{k-1}\right) \right] \quad \because
\text{左側リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot x_{k-1}\right] \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であり、右側リーマン和は、\begin{eqnarray*}
S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( x_{k}\right) \right] \quad \because \text{右側リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot x_{k}\right] \quad
\because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であり、中点リーマン和は、\begin{eqnarray*}
S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( \frac{x_{k}+x_{k-1}}{2}\right) \right] \quad \because \text{中点リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \frac{x_{k}+x_{k-1}}{2}\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}^{2}-x_{k-1}^{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \left( x_{1}^{2}-x_{0}^{2}\right) +\left(
x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right) +\cdots +\left( x_{n}^{2}-x_{n-1}^{2}\right) \right] \\
&=&\frac{1}{2}\left( x_{n}^{2}-x_{0}^{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。

例(リーマン和)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値は、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}で表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この関数\(f\)のリーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \quad
\because \text{リーマン和の定義} \\
&=&c\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&c\left[ \left( x_{1}-x_{0}\right) +\left( x_{2}-x_{1}\right) +\cdots
+\left( x_{n}-x_{n-1}\right) \right] \\
&=&c\left( x_{n}-x_{0}\right) \\
&=&c\left( b-a\right)
\end{eqnarray*}となります。定数関数のリーマン和は分割\(P\)や代表点の組\(P^{\ast }\)によらず定数\(c\left( b-a\right) \)であるということです。したがって、特別なリーマン和である左側リーマン和、右側リーマン和、中点リーマン和などはすべて\(c\left( b-a\right) \)と一致します。

 

リーマン積分と定積分

繰り返しになりますが、有界な閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)および代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)が与えられれば、関数\(f\)のリーマン和は、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right)
\end{equation*}として定まります。さて、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が小さくなるように分割を変更すれば区間\(\left[ a,b\right] \)に含まれる最長の小区間の長さは小さくなるため、\(\left[ a,b\right] \)に含まれるすべての小区間の長さも小さくなり、その結果、区間\(\left[ a,b\right] \)はより多くの細かい小区間へ分割されることになります(\(n\)が増加する)。さらに、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が\(0\)へ限りなく近づくように分割を変更していけば、区間\(\left[ a,b\right] \)を構成するすべての小区間の長さもまた\(0\)へ限りなく近づきます。さて、分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)のリーマン和がある有限な実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ限りなく近づく場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能(Riemann integrable on \(\left[ a,b\right] \))であると言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right)
=\alpha
\end{equation*}で表記します。また、この極限を\(f\)の\(\left[ a,b\right]\)間の定積分(definite integral from \(a\) to \(b\))と呼び、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\alpha
\end{equation*}で表記します。つまり、関数\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)間の定積分\(\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\)とは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす有限な実数として定義されるということです。

図:定積分
図:定積分

定積分\(\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\)を構成する\(\int \)を積分記号(integral sign)と呼びます。定積分はリーマン和の極限であることから、和(sum)の頭文字である\(S\)を変形させた\(\int \)が積分を表す記号として採用されました。この記号の発案者はライプニッツ(Liebniz)です。また、定積分する対象となる関数\(f\left( x\right) \)を被積分関数(integrand)と呼び、定積分を行う範囲を表す\(a,b\)を積分の極限(limits of integration)と呼びます。特に、\(a\)を上限(upper limit)と呼び、\(b\)を下限(lower limit)と呼びます。定積分を求めるプロセスを積分(integration)と呼びます。記号\(dx\)は被積分関数\(f\left( x\right) \)を変数\(x\)に関して積分することを明示する記号です。

例(リーマン積分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値は、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}で表されるものとします。先に示したように、この関数の任意のリーマン和は、\begin{equation*}
S\left( f,P,P^{\ast }\right) =c\left( b-a\right)
\end{equation*}ですが、これは\(P\)や\(P^{\ast }\)に依存しない定数であるため、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right)
=c\left( b-a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=c\left( b-a\right)
\end{equation*}となります。厳密には、定積分の定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -c\left( b-a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert c\left(
b-a\right) -c\left( b-a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow 0<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標ですが、これは明らかに成り立つため証明が完了しました。

 

リーマン積分可能性の判定方法

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がリーマン積分可能であることを示すためには、ある有限な実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示す必要があります。では、定積分\(\alpha \)の候補をどのように絞り込めばいいでしょうか。

本来、関数\(f\)がリーマン積分可能であることを示すためには、大きさが\(\left\vert P\right\vert <\delta \)を満たす「任意の」分割\(P\)および代表点の組\(P^{\ast }\)に対して上の命題が成り立つことを示す必要があります。ただ、関数\(f\)がリーマン積分可能であることを仮定するのであれば、「特定の」分割\(P\)および代表点の組\(P^{\ast }\)のもとでリーマン和がある有限な実数\(\alpha \)へ収束することが判明した場合、その実数\(\alpha \)は定積分の候補となります。定積分の候補を特定する際には、区間\(\left[ a,b\right] \)を等分する分割や、左側リーマン和、右側リーマン和、中点リーマン和などが頻繁に利用されます。いずれにせよ、何らかの方法にもとづき定積分の候補\(\alpha \)が明らかになった後、それに対して、大きさが\(\left\vert P\right\vert <\delta \)を満たす「任意の」分割\(P\)および代表点の組\(P^{\ast }\)に対して上の命題が成り立つことを確認すれば、リーマン積分可能性の検証および定積分の特定が行われたことになります。

例(リーマン積分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。定積分の候補を絞るために、中点リーマン和\begin{eqnarray*}
S\left( f,P,P^{\ast \ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \frac{x_{k}+x_{k-1}}{2}\right] \quad \because
P^{\ast \ast }\text{は中点の組} \\
&=&\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}^{2}-x_{k-1}^{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \left( x_{1}^{2}-x_{0}^{2}\right) +\left(
x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right) +\cdots +\left( x_{n}^{2}-x_{n-1}^{2}\right) \right] \\
&=&\frac{1}{2}\left( x_{n}^{2}-x_{0}^{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。これは定数であるため、仮に\(f\)がリーマン積分可能であるならば、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{equation*}となるはずです。これを示します。定積分の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。結論について、\begin{eqnarray*}
\left\vert S\left( f,P,P^{\ast }\right) -\frac{1}{2}\left(
b^{2}-a^{2}\right) \right\vert &=&\left\vert S\left( f,P,P^{\ast }\right)
-S\left( f,P,P^{\ast \ast }\right) \right\vert \quad \because S\left(
f,P,P^{\ast \ast }\right) =\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \\
&=&\left\vert \sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot x_{k}^{\ast
}-S\left( f,P,P^{\ast \ast }\right) \right\vert \\
&=&\left\vert \sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot x_{k}^{\ast
}-\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \frac{x_{k-1}+x_{k}}{2}\right\vert \quad \because P^{\ast \ast }\text{は中点の組} \\
&=&\left\vert \sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \left( x_{k}^{\ast }-\frac{x_{k-1}+x_{k}}{2}\right) \right\vert \\
&\leq &\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \left\vert x_{k}^{\ast }-\frac{x_{k-1}+x_{k}}{2}\right\vert \\
&\leq &\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\quad \because x_{k}^{\ast }\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \wedge \frac{x_{k-1}+x_{k}}{2}\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \\
&\leq &\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \left\vert P\right\vert
\quad \because \left\vert P\right\vert \text{の定義} \\
&=&\left\vert P\right\vert \sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \\
&=&\left\vert P\right\vert \left( x_{n}-x_{0}\right) \\
&=&\left\vert P\right\vert \left( b-a\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert S\left( f,P,P^{\ast }\right) -\frac{1}{2}\left(
b^{2}-a^{2}\right) \right\vert \leq \left\vert P\right\vert \left(
b-a\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\delta =\frac{\varepsilon }{b-a}>0
\end{equation*}をとることができ、\(\left\vert P\right\vert <\delta \)すなわち\(\left\vert P\right\vert <\frac{\varepsilon }{b-a}\)を満たす任意の\(P\)と任意の\(P^{\ast }\)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert S\left( f,P,P^{\ast }\right) -\frac{1}{2}\left(
b^{2}-a^{2}\right) \right\vert &\leq &\left\vert P\right\vert \left(
b-a\right) \quad \because \left( 3\right) \\
&<&\frac{\varepsilon }{b-a}\left( b-a\right) \quad \because \left\vert
P\right\vert <\frac{\varepsilon }{b-a} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

関数はリーマン積分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(リーマン積分と定積分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。区間\(\left[ 0,1\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選びます。代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)が、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }\in \mathbb{Q} \end{equation*}を満たす場合のリーマン和は、\begin{eqnarray*}
S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \quad \because \text{リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot 1\quad \because P^{\ast }\text{および}f\text{の定義} \\
&=&x_{n}-x_{0} \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}ですが、これは定数であるため、\begin{equation*}
\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =1
\end{equation*}となります。一方、代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast}\right\} _{k=1}^{n}\)が、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }\not\in \mathbb{Q} \end{equation*}を満たす場合のリーマン和は、\begin{eqnarray*}
S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right) \quad \because \text{リーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot 0\quad \because P^{\ast }\text{および}f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}ですが、これは定数であるため、\begin{equation*}
\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =0
\end{equation*}となります。代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方に依存して\(\left\vert P\right\vert \rightarrow 0\)のときのリーマン和\(S\left(f,P,P^{\ast }\right) \)の極限は異なる値をとり得るため、\(f\)はリーマン積分可能ではないことが明らかになりました。

 

演習問題

問題(リーマン積分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\pi
\end{equation*}を定めるものとします。定積分\begin{equation*}
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。

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問題(リーマン積分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,3\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,3\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}-6x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が\(\left[ 0,3\right] \)上でリーマン積分可能であることを認めた上で(実際、\(f\)は\(\left[ 0,3\right] \)上でリーマン積分可能です)、定積分\begin{equation*}\int_{0}^{3}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。

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問題(リーマン積分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx=0
\end{equation*}であることを示してください。

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